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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第,2,章 整式加减,2.1,代数式,2.1,代数式,学习目标,进一步理解字母表示数的意义，能结合具体情景给字母赋于实际意义；理解代数式和代数式的值的意义，能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义，在具体情景中能求出代数式的值,.,（知识与技能）,为了测试一种乒乓求的弹跳高度与下落高度之间的关系，通过试验，得到下列一组数据,： （单位：厘米）,下落高度,40,50,80,100,150,弹跳高度,20,25,40,50,75,1.,你能从表中发现每一对,(,上下两个,),数之间的数量关系吗,?,2.,在这个问题中,如果我们用,b,厘米表示下落高度,那么相对应的弹跳高度为,_,厘米。,1.,用字母表示数,1.,如果用,a,、,b,表示任意两个有理数，那么加法交换律可以用字母表示为,_,，乘法交换律可以用字母表示为,_.,a+b=b+a,ab=ba,2.图中由长方形和正方形拼成的大正方形的面积等于,我们还可以这样想，图中大正方形的边长是，因此它的面积是,a,+2ab+b,a+b,(a+b),注意：,（,1,）在用字母表示数时，字母与字母之间的 乘号，一般省略不写，或者乘号用“,”,表示。,（,2,）数字与字母相乘，数字一般放在字母的前面。,做一做：,填空：,（,1,）某种瓜子的单价为,16,元,/,千克，则,b,千克需要,_,元。,（,2,）小刚上学步行速度为,5,千米,/,小时,若小刚到学校的路程为,s,千米，则他上学需走,_,小时。,（,3,）钢笔每枝,m,元，铅笔每枝,n,元，买,2,支钢笔和,3,支铅笔共需,_,元。,16,b,s/5,（,2,m+3n,）,上面的这些问题中出现的如,16n,，,s/5,，,2a+3b,，以及上节课出现的,a,，,b,，,a+b,，,a,b,，,a,，（,a+b,）,，,15,，,5050,，,5x,，,s/t,等式子，我们称它为,代数式,。,即,代数式,是用运算符号把数和表示数的字母连接而成的式子。,问题：,单独的一个数或一个字母也是代数式吗？,我们的答案是肯定的。,即,:,单独的一个数或一个字母也是代数式。,例,1,：填空：,（,1,）圆的半径为,r cm,，它的面积为,_cm,.,（,2,）长方形的长与宽分别为,a cm,b cm,，则该长方形的周长,_cm.,（,3,）小强在小学六年中共攒了,a,元零花钱，上中学后买文具用去,b,元，剩下的钱全部存入银行，则小强可以存款,_,元。,（,4,）某机关原有工作人员,m,人，现精简机构，减少,20%,的工作人员，则有,_,人被精简。,r,2,（,a+b,）,（,a,b,）,20%,m,例,2.,结合你的生活经验对下列代数式作出具体解释：,（,1,）,a,b; (2) ab,解,：,（,1,）今年小明,b,岁、小明爸爸,a,岁，小明比他爸爸小（,ab,）岁；,（,2,）长方形的长为,a,厘米，宽为,b,厘米，长方形的面积是,ab,平方厘米。,做一做：,下列代数式哪些书写不规范，请改正过来,3x+1 2. m,n3 3. 2y,4. a,(b+c) 5. a,1b,书写代数式要注意什么？,（,1,）代数式中出现乘号，通常写作“,”,或省略不写；,（,2,）数字与字母相乘，数字写在字母前面；,（,3,）除法运算写成分数形式。,例,2.,用代数式表示,（,1,）,a,b,两数的,平方和,减去他们乘积的,2,倍；,（,2,）,a,b,两数的,和的平方,减去他们的差的平方；,（,3,）,a,b,两数的和与他们的差的乘积；,（,4,） 偶数、奇数,.,（,4,）,2n,，,2n+1(n,为整数,),（,3,）,(a+b)(a,b,),（,2,）,( a+b), (ab),（,1,）,a, +b2ab,解：,单项式,学习目标：,(1),理解单项式、单项式的系数和次数的概念,(2),会用单项式表示简单的数量关系,(3),经历单项式概念的形成过程，从中体会抽象的,数学思想，提高观察、分析、归纳、概括能力,.,字母表示数有什么意义？,用字母表示数，字母和数一样可以参与运算，可以用式子把数量关系简明地表示出来，更适合于一般规律的表达,.,【,问题,1】,和 这三个式子的运算,含义是什么？,【,问题,2】,单项式定义：表示数或字母的积的式子叫做,单项式,单独的,一个数或一个字母,也是单项式,观察式子 ， ， ， ， ，,这些式子有什么特点？,单项式,的系数：单项式中的,数字因数,叫做这个单项式的系数,.,如,单项式 ， ，,的系数分别是,100,，,1,，,-1,注意,：,（,1,）,单项式表示数与字母相乘时，通常数写在前面,（,2,）当系数为,1,或,1,时，这个“,1”,省略不写,.,（,1,）你能举出一个单项式的例子，并说出它,的系数和次数吗？,【,问题,3】,（,2,）请你写出一个单项式，并使它的系数是,2,，次数是,4,，那么该单项式可以是,.,练习,1,下列各式中哪些是单项式？,答案：,练习,2,填表：,单项式,系数,次数,2,2,1.2,1,1,3,1,2,2,3,3,（,1,） 每包书有,12,册，,n,包书有,册；,（,2,） 底边长为,a,cm,，高为,h,cm,的三角形的面积,是,cm,2,；,（,3,） 棱长为,a,cm,的正方体的体积是,cm,3,；,（,4,）一台电视机原价,a,元，现按原价的,9,折出售，,这台电视机现在的售价是,元；,（,5,）一个长方形的长是,0.9 m,，宽是,a,m,，这个长方,形的面积是,m,2,.,例,用单项式填空，并指出它们的系数和次数,:,（,1,） ，它的系数是,12,，次数是,1,；,解：,（,2,） ，它的系数是 ，次数是,2,；,（,3,） ，它的,系数是,1,，次数是,3,；,（,4,）,0.9,，它的系数是,0.9,，次数是；,（,5,）,0.9,，,它的系数是,0.9,，次数是,【,问题,5】,你能赋予,0.9,a,一个含义吗？,用字母表示数后，同一个式子可以,表示不同的含义,活动：“人人来当老师”,以小组为单位，每个小组学生说出一个单项式，然后请另一个小组的学生回答出所说单项式的系数和次数，看哪一组题目出得正确，看哪一组回答得快而准,.,若 是关于,x,，,y,的一个,四次单项式，求,m,，,n,应满足的条件？,答案：,拓展提高,（,1,）本节课学了哪些主要内容？,（,2,）请你举例说明单项式的概念、单项式的,系数和次数的概念,.,【,课堂小结,】,多项式,学习目标：,(1),理解多项式、多项式的项和次数、整式的概念,(2),会用多项式表示简单的数量关系，并根据多项式中字母的值求多项式的值,（,1,）对于单项式，我们学习了哪些内容？,（,2,）请举例说明单项式、单项式的系数,和次数的概念,，,，,，,，,（,1,）,观察式子,它们有什么共同特点？与单项式有什么联系？,多项式,x,2,+2,x,+18,的项是,x,2,，,2,x,与,18,，其中,18,是常数项,归纳：,多项式定义：几个单项式的和叫做多项式,.,每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项,叫做常数项,多项式,v,2.5,的项是,v,与,2.5,，其中,2.5,是常数项,归纳：,多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多,项式的次数,如多项式 中次数最高项是一次项，,这个多项式的次数是,多项式 中次数最高项是二次,项，这个多项式的次数是,，,，,（,2,）,的项分别是什么？次数分别是多少？,定义：单项式与多项式统称整式,（,1,）你能举出一个多项式的例子，并说出它的项和次数吗？,（,2,）请你写出一个二次三项式，并使它的二次,项系数是,2,，一次项系数是,3,，常数项是,5,，那么这个多项式可以是,.,例4,如图所示，用式子表示圆环的面积,当,cm,，,cm,时，求,圆环的面积,（ 取 ）,解：外圆的面积减去内圆的面积就是圆环,的面积，所以圆环的面积是,这个圆环的面积是,cm,2,当,cm,，,cm,时，圆环的面积,（单位：,cm,2,）是,下列整式中哪些是单项式？哪些是多项式？,是单项式的指出系数和次数，是多项式的指出项,和次数：,练习,x,32,t,3,1,32,1,3,0,6,3,1,4,2,填空：,（,2,）,，,分别表示梯形的上底和下底， 表示,梯形的高，则梯形,面积 ,，当,2 cm,， ,4 cm,，,5 cm,时，,cm,2,（,1,） ， 分别表示长方形的长和宽，则长方形的,周长,，面积 ,，当 ,2 cm,，,3 cm,时， ,cm,， ,cm,2,；,3,个球队进行单循环比赛（参加比赛的每一个队都与其他所有的队各赛一场），总的比赛场数是多少？,4,个队呢？,5,个队呢？,n,个队呢？,练习,答案：,3,，,6,，,10,，,（,1,）本节课学了哪些主要内容？,（,2,）请你举例说明多项式的概念、多项式的,项和次数的概念,.,（,3,）请你举例说明整式的概念,.,【,归纳小结,】,第,2,章 整式加减,2.2 整式的加减,2.2 整式的加减,合并同类项,学习目标,:,(,1,),理解同类项的概念；,(,2,),掌握合并同类项的方法；,(,3,),通过类比数的运算探究合并同类项的法则，从,中体会数式通性和类比的数学思想,引入,问题,1,在西宁到拉萨路段，列车在冻土地段的行驶速度是,100 km/h,，在非冻土地段的行驶速度是,120 km/h,，列车通过非冻土地段所需时间是通过冻土地段所需时间的,2.1,倍,，如果通过冻土地段需要,t,h,，你能用含,t,的式子表示这段铁路的全长吗？,100,t,1202.1,t,100,t,252,t,这个式子的结果是多少？你是怎样得到的,?,类比探究，学习新知,（1）,运用有理数的运算律计算.,100,2+252,2=,；,100,(,-,2)+252,(,-,2)=,.,（1）,运用有理数的运算律计算,100,2+252,2,=,(,100+252,),2=352,2=704,；,100,(,-,2)+252,(,-,2),=,(,100+252,),(-,2,),=352,(-,2,),=,-,704,.,100,t,+252,t,=(100+252),t,=,352,t,（,2,）类比式子的运算，化简下列式子：,问题,3,观察多项式,， ， ，,（,1,）上述各多项式的项有什么共同特点？,（,2,）上述多项式的运算有什么共同特点,?,你能从中得出什么规律,?,（,1,）上述各多项式的项有什么共同特点？,每个式子的项含有相同的字母；,并且相同字母的指数也相同,.,（,2,）上述多项式的运算有什么共同特点,?,根据分配律把多项式各项的系数相加；,字母部分保持不变,.,定义和法则：,（,1,）所含字母相同，并且相同字母的指数也,相同的项叫做,同类项,.,几个常数项也是同类项,.,（,2,）把多项式中的同类项合并成一项，叫做,合并同类项,（,3,）合并同类项后，所得项的系数是合并前,各同类项的系数的和，且字母部分不变,.,例题,:,找出多项式,中的同类项并进行合并，思考下面问题：,每一步运算的依据是什么？注意什么？,解：,(,交换律,),(,结合律,),(,分配律,),(,按字母的指数从大到小顺序排列,),归纳步骤：,（,1,）找出同类项并做标记；,（,2,）运用交换律、结合律将多项式的同类项结合；,（,3,）合并同类项；,（,4,）按同一个字母的降幂（或升幂排列）,合并下列各式的同类项:,（,1,）,（,2,）,（,3,）,例1,例2,（1）求多项式,的值，其中,（2）求多项式,的值，其中,例3,（1）水库水位第一天连续下降了a h，每小时平均下降2 cm；第二天连续上升了a h，每小时平均上升0.5 cm，这两天水位总的变化情况如何？,（2）某商店原有5袋大米，每袋大米为x kg，上午卖出3袋，下午又购进同样包装的大米4袋，进货后这个商店有大米多少千克？,解：由题意得2a-0.5a=1.5a，所以这两天水位总的下降了1.5a,解：由题意得：5x-3x+4x=6x，所以进货后这个商店有大米6x千克。,归纳小结,（,1,）本节课学了哪些主要内容？,（,2,）你能举例说明同类项的概念吗？,（,3,）举例说明合并同类项的方法,.,（,4,）本节课主要运用了什么思想方法研究问题？,去括号、添括号,用分配律计算,引入,在格尔木到拉萨路段，如果列车通过冻土地段需要u h，那么通过非冻土地段的时间是（u-0.5）h.于是，冻土地段的路程是100u km，非冻土地段的路程是120（u-0.5）km. 因此，这段铁路的全长（单位：km）是100u+120(u-0.5),冻土地段与非冻土地段相差：,100u-120(u-0.5),上面的两个式子都带有括号，类比数的运算，它们应如何化简？,利用分配律，可以去括号，再合并同类项，得,100u+120(u-0.5)=100u+120u-60=220u-60,100u-120(u-0.5)=100u-120u+60=-20u+60,即：,+120(u-0.5)=+120u-60,-120(u-0.5)= -120u+60,比较上面两式，你能发现去括号时符号变化的规律嘛？,如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同,.,如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反,.,顺口溜：,去括号，看符号：,是“,+”,号，不变号；,是“,-”,号，全变号,;,原来的符号和括号都扔掉,.,例：为下面的式子去括号,= +（3a-3b+3c）,= 3a-3b+3c,= -3a+3b-3c,= -（3a-3b+3c）,= +3（a-b+c）,= -3（a-b+c）,(1) +3,（,a - b+c,）,(2)- 3,（,a - b+c,）,结论：,括号外面的因数不是,1,或,-1,时，把符号留在外面，把因数的绝对值按分配率乘进去，最后再去括号,.,去括号时应注意的事项：,（,1,）去括号时应先判断括号前面是“,+”,还是“,-,”。,（,2,）去括号后，括号内各项符号要么全变号，要么全不变。,（,3,）括号前面是“”时，去掉括号后，括号内的各项符号都要变成相反，不能只改变第一项或前几项的符号。,（,4,）括号内原有几项，去掉括号后仍有几项，不能丢项。,（,5,）去括号法则的依据是分配律，计算时不能出现有些项漏乘的情况。,化简下列各式,例4,两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是,50 km/h,，水流速度是,a km/h.,（,1,）,2h,后两船相距多远？,（,2,）,2h,后甲船比乙船多航行多少千米？,例5,解（1）由题意得：甲船2h行驶了2(50+a) km，乙船2 h行驶了2(50-a) km，所以两船相距 ：,2(50+a)+2(50-a)=200 km。,（2）由（1）可知，2h后甲船比乙船多航行了,2(50+a)-2(50-a)=4a km。,整式加减,合并同类项的步骤,归纳步骤：,（,1,）找出同类项并做标记；,（,2,）运用交换律、结合律将多项式的同类项结合；,（,3,）合并同类项；,（,4,）按同一个字母的降幂（或升幂排列）,去括号的法则,如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同,.,如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反,.,合并同类项、去括号都是进行整式加减运算的基础。,例,6,计算,分析：第（1）题是计算多项式与多项式的和，第（2）题是计算多项式与多项式的差。,解：,例7,笔记本的单价是x元，圆珠笔的单价是y元，小红买3本笔记本，2支圆珠笔，小明买4本笔记本，3支圆珠笔，买这些笔记本和圆珠笔，小红和小明一共花了多少钱？,解法1：小红买笔记本和圆珠笔共花费（3x+2y）元，小明买笔记本和圆柱笔共花费（4x+3y）元，小红和小明一共花费（单位：元）,（3x+2y）+（4x+3y）,=3x+2y+4x+3y,=7x+5y,解法2：小红和小明买笔记本共花费（3x+4x）元，买圆珠笔共花费（2y+3y）元，小红和小明一共花费：（单位：元）,（3x+4x）+（2y+3y）,=7x+5y,例8,做大小两个长方体纸盒，尺寸如下：,长,宽,高,小纸盒,a,b,c,大纸盒,1.5a,2b,2c,（1）做这两个纸盒共用料多少平方厘米？,（2）做大纸盒比做小纸盒多用料多少平方厘米？,（,单位：,cm,）,解：,通过上面的学习，我们可以得到证实加减的运算法则：,一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。,解,：,例9,解,：,注意：,进行此类题的解答时，需先将式子化简，再代入数值进行计算，这样会使计算比较简便。,练习,
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