数学建模讲座

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2016/4/19,#,数学模型与数学建模竞赛,吉林大学数学学院,曹春玲,数学是一种逻辑思维,数学是人的一种逻辑思维方式，是人们理性的研究各种问题的方法总结。,纯粹的数学可能暂时没有用处，但是也许几十年、几百年后会有作用。比如说矩阵、数论、群论、黎曼几何、偏微分方程,开始出来的时候仅仅是纯粹的数学理论。但是现在却广泛的用于工程计算、密码学、相对论和天文学、物理学中。,数学是一种思维方法，所以数学涉与到社会的方方面面。 其中复杂的数学理论与物理学往往是走得最近的，与信息科学、计算机科学有着很强的联系。而应用数学则与工程科学、经济金融、市场管理等紧密结合。 对于绝大多数人而言，数学是一种解决问题的工具，将问题抽象、建模、解决数学方程、获得结果再去还原成解决问题的结果。,数学模型与数学建模竞赛,数学模型,与其分类,数学建模的方法和步骤,数学建模的重要意义,数学建模教学与数学建模竞赛,历届赛题与数学建模方法回顾,数学模型,(Mathematical Model),和,数学建模（,Mathematical Modeling),对于一个现实对象，为了一个特定目的，,根据其内在规律，作出必要的简化假设，,运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。,建立数学模型的全过程,（包括表述、求解、解释、检验等）,数学模型,数学建模,问题,计算,(,预测,),某地域,某种生物的数量,生物种群的数量,指数增长模型,马尔萨斯提出,(,1798,),模型假设,生物群体的总数原来是整数，因此是离散量，,但当群体较大时，不妨用一个连续量 来表示，,即 是,t,时刻该生物种群的数量，并假设其连续可微,该群体的自然增长率（出生率与死亡率之差）为常数,r,模型建立和求解,考察时段,该,种群数量由自然增长引起的变化，应有,两边同除,并令,模型建立和求解,若在初始时刻生物总数为,应用分离变量法可得,随着时间增加，种群数量按指数规律无限增长,模型检验和评价,观察一片土地上田鼠的数量，开始时为,2,只，,2,个月后为,5,只，,6,个月后为,20,只，,10,个月后增加到,109,只，设田鼠的自然增长率为，那么田鼠数量满足,月数,0,2,6,10,观察数,2,5,20,109,计算数,2,4.5,22.0,109.2,模型改进,:,阻滞增长模型,(,Logistic,模型,),种群增长到一定数量后，增长率下降的原因：,资源、环境等因素对生物种群增长的阻滞作用,且阻滞作用随种群数量增加而变大,假设,r,固有增长率,(,N,很小时,),N,m,种群容量（资源、环境能容纳的最大数量）,r,是,N,的减函数,改进模型,求解得,模型检验,草履虫实验,:,将,5,个草履虫放在盛有营养液的小试管中，,连续,6,天观察草履虫的个数，发现开始时草履虫的增长率为,239.9%,，后来增长逐渐缓慢，第,4,天草履虫的数量达到最,高水平,375,个。若用自限模型，时刻,t,草履虫个数为,上述公式计算的结果和观察值的吻合程度相当令人满意,美国的兰德公司（,RAND,）,兰德公司,(,Research and Development，,简称,RAND）,是美国非盈利性的研究和咨询服务机构,主要对国家安全和公共福利方面的各种问题进行系统的跨学科分析研究。,1948,年由福特基金会提供资金正式成立。总部设在加利福尼亚州。,美国兰德公司,(,RAND Corporation)：,现代智囊的“大脑集中营”、“超级军事学院”，以与世界智囊团的开创者和代言人 。,The RAND Corporation is a nonprofit institution that helps improve policy and decision making through research and analysis.,兰德的长处是进行战略研究。它开展过不少预测性、长远性研究，提出的不少想法和预测是当事人根本就没有想到的，尔后经过很长时间才被证实了的。兰德正是通过这些准确的预测，在全世界咨询业中建立了自己的信誉。,数学模型的分类,应用领域,物理、人口、交通、经济、生态, ,数学方法,初等数学、微分方程、规划、统计, ,表现特性,描述、优化、预报、决策, ,建模目的,了解程度,白箱,灰箱,黑箱,确定和随机,静态和动态,线性和非线性,离散和连续,数学建模的基本方法,机理分析,测试分析,根据对客观事物特性的认识，,找出反映内部机理的数量规律,将对象看作“黑箱”,通过对量测数据的,统计分析，找出与数据拟合最好的模型,二者结合,用机理分析建立模型结构,用测试分析确定模型参数,2.,数学建模的方法和步骤,类比仿真（模拟）,是以类比为逻辑基础，用计算机模仿实际系统的运行,过程，在整个运行时间内，对系统状态的变化进行观,察和统计，从而得到系统基本性能的估计和认识,.,一,般不能得到解析的结果,.,数学建模的一般步骤,模型准备,模型假设,模型构成,模型求解,模型分析,模型检验,模型应用,模,型,准,备,了解实际背景,明确建模目的,搜集有关信息,掌握对象特征,形成一个,比较清晰,的问题,模,型,假,设,针对问题特点和建模目的,作出合理的、简化的假设,在合理与简化之间作出折中,模,型,构,成,用数学的语言、符号描述问题,发挥想像力,使用类比法,尽量采用简单的数学工具,数学建模的一般步骤,模型,求解,各种数学方法、软件和计算机技术,如结果的误差分析、统计分析、,模型对数据的稳定性分析,模型,分析,模型,检验,与实际现象、数据比较，,检验模型的合理性、适用性,模型应用,数学建模的一般步骤,1,观察、分析实际问题,作出合理的假设,;,2,涉与的数学问题可能是复杂、困难的,求解也许涉与深刻的数学方法,.,如何作出正确的判断,寻找合适的,(,解析或近似,),解法,;,3,如何验证模型求解的结果是合理、正确的,.,数学建模三难点,3.,研究,数学模模的重要意义,数学模型有悠久的历史,数学以空前的广度和深度向一切领域渗透。,在一般工程技术领域数学建模仍然大有用武之地；,在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具；,数学模型在其他科学中的应用,物理和力学 化学和生物,生物医学 经济和社会,数学建模在国民经济中具体应用,产品的设计和制造,质量控制,控制与优化,预测与管理,资源和环境,其他,数学模型和数学技术,高新技术的新特征之一,数学不仅是科学而且是技术,数学是一种关键性的、普遍的、能够实行的技术,高技术本质上是一种数学技术,数学建模教学与数学建模竞赛,开设数学建模课程,科学技术发展的需要,培养高质量、高层次科技人才的需要,教育改革的需要,发现和总结建立数学模型的规律和方法,上世纪七十年代，国外开设数学建模课程,二十世纪八、九十年代我国各高校相继开设数学 建模课程,各 项 赛 事 时 间,1985,年，美国大学生数学建模竞赛（,UCMCM,）开始举行，每年一次，,2,月份初左右,1992,年，我国大学生数学建模竞赛开始举行（,CUMCM,），每年一次，,9,月第二个周末,吉林省赛每年的,5,月初,全国大学生数学建模夏令营 每年的,4,月初，大约一个月的时间,竞赛内容：题目由工程技术、管理科学中的实际问题简化而成，没有事先设定的标准答案，但留有充分余地供参赛者发挥其聪明才智和创造精神。,竞赛形式：三名大学生组成一队，可以自由地收集资料、调查研究，使用计算机、互联网和任何软件，在三天时间内分工合作完成一篇论文。,评奖标准：假设的合理性、建模的创造性、结果的正确性、文字表述的清晰程度。,竞赛宗旨：创新意识 团队精神 重在参与 公平竞争,全国大学生数学建模竞赛,运用学过的数学知识和计算机（包括选择合适的数学软件）分析和解决实际问题的能力,面对复杂事物的想象力、洞察力、创造力和独立进行研究的能力,关心、投身国家经济建设的意识和理论联系实际的学风,团结合作精神和进行协调的组织能力,勇于参与的竞争意识和不怕困难、奋力攻关的顽强意志,查阅文献、收集资料与撰写科技论文的文字表达能力,数学建模竞赛培养学生创新精神，提高学生综合素质,每年四道题,大学本科,:A,B,题,任选一题,;,专科高职,:C,D,题,任选一题,),A,C,为连续型题目;,B,D,为离散型,题目,(,原则,),优秀论文登在,(,2001,年起,), (,2001,年前,),来年第,1,期上,数学建模竞赛的准备（培训）内容,1,）建模的基本概念和方法（数学建模课程的主要内容）,2,）建模过程中常用的数学方法,(,微积分、代数、概率外,),，主要有：计算方法,(,如数值微分和积分、微分方程数值解、代数方程组解法,),，优化方法,(,如线性、非线性规划,),，数理统计,(,如假设检验、回归分析,),，图论,(,如最短路,),等。,只要求知道实际问题与这些数学知识之间的对应关系（如哪些问题可用线性规划求解，或线性规划可解决哪些问题），以与用它们建立模型的方法，基本上不必涉与模型的求解。,3,）数学软件的用法。基本上能完成上述方法的软件，如,MATLAB ,MATHEMATICA, LINDO,LINGO,SAS,等。,4,）历届赛题的研讨。,5,）撰写数学建模论文的练习。,数学建模竞赛准备的（培训）内容,历届赛题与数学建模方法回顾,优化方法,一般函数优化,用微积分的方法解决（小规模）；规划问题,使用软件求解（包括线性规划、非线性规划、多目标规划、动态规划、整数优化、组合优化（离散优化、网络优化）,；,数据处理方法,曲线拟合，数据回归分析，插值,；,概率统计方法,期望分析，排队论，回归分析，模式识别，判别分析,；,微分方程方法,稳定性分析，预测,；,图论方法,最短路问题，最大流问题，最小生成树,；,计算机技术,图像处理，随机模拟，各种算法实现，神经网络方法,；,离散方法,层次分析法，决策分析，对策论,；,模糊数学,模糊聚类分析，模糊层次分析，模糊规划,常用的软件工具,MATLAB/C/C+,科学计算，最优化求解，微分方程求解，统计分析，编程、符号运算、结果可视化,SPSS,SAS,统计分析,LINDO/LINGO,最优化求解,MATHEMATICA,符号运算、科学计算，最优化求解，微分方程求解，统计分析，编程,参考资料,数学模型（,第四版,），姜启源等编， 高等教育出版社,2011,数学模型， 谭永基等编，复旦大学出版社，,2005,Models in Applied Mathematics,Vol1-3,F.Lacos,Springer-Verlag,New York,1983,数学建模，,Giordano,著 叶其孝等译 机械工业出版社，,2005,数学模型引论（第三版）唐焕文等编，高等教育出版社,参考资料,数学模型方法与算法,边馥萍等,高教社,2005,数学建模方法与其应用,韩中庚,高教社,2005,中国大学生数学建模竞赛,(,第二版,),李大潜,高教社,2001,优化建模与,LINDO/LINGO,软件,谢金星等,清华大学出版社,2005,数学建模与数学实验,赵静等,高教社,2003,数学模型案例选集,姜启源等编， 高等教育出版社,2006,参考资料,数学模型与数学建模,刘来福等,北京师范大学出版社,2005,数学模型讲义,雷功炎,北京大学出版社,1994,数学模型案例集,杨启帆等,高教社,2006,经济管理数学模型案例教程,谭永基等,高教社,2006,全国大学生数学建模竞赛优秀论文汇编,(1992-2000),中国物价出版社,2002,参考资料,科学计算技术与,MATLAB,刘则毅等,科学出版社,2001,最优化模型与实验,朱德通,同济大学出版社, 2003,现代优化计算方法,刑文训等,清华大学出版社,2005,网络优化，谢金星等，清华大学出版,2005,LINGO,和,EXCEL,在数学建模中的应用，袁新生等，科学出版社，,2007,参赛情况,我们近年来的大学生数学建模竞赛进行得如火如荼。据说每年有接近,30000,多个队 报名参加比赛，现在已经发展成了大学生学习过程中的主要赛事之一。,赛题来源于实际问题，解决实际问题，再还原为实际问题，这个是大学生在大学学习过程中唯一能够应用所学的数学、物理、计算机等知识解决实际问题。,参与建模的感悟,我个人认为通过数学模型我了解了不少和我的专业不同学科的知识和背景，扩宽、丰富了我的知识范围和结构。,也让我对其他学科产生了兴趣，发现其他的学科也和数学一样有那么多有趣的事情和问题可以去研究。,赛题的特点,1,、对选手的计算机能力要求越来越高，赛题的解决依赖计算机，数据量越来越大，这也是近年来所说的大数据。,2,、赛题的开放性增大 解题方法也在增多。一题有多种解法。开放性主要表现在对模型的假设上和数据处理上。,3,、赛题向大规模数据处理的方向发展。,4,、求解算法和现代算法结合。,基于这些特点，学生建模的过程中要积极应用计算机，应用计算机编程语言来分析问题，解决问题。,首先要解决的是对已知数据的分析处理上，方法很多，对于不同的问题应用不同方法。,美国大学生数学建模竞赛是由美国数学与其应用联合会主办的一项国际级的大学生竞赛，内容为当今世界科技研究的热点内容，着重强调研究问题、解决方案的原创性、团队合作、交流以与结果的合理性，采用英文答题的方式，赛题难度大，写作要求高，对培养大学生的创新意识、实践能力与团队合作精神，具有重要意义。,历年赛题：,Tool booths,，,Nonrenewable Resources,，,Wheel Chair Access at Airport,，,Trade-offs in the fight against HIV/AIDS,，,Puzzle,，不公正的选区划分，设计一个交通环岛问题，能源和手机，构建食物系统等问题。,建模历程,艰苦,漫长,毅力,创造力,团队精神,赛前准备,看看、编编、,查查、做做、,排排、睡睡,1,、看看书、优秀论文等等。,2,、编编程序，必须会！所用的软件只要能解决问题即可，,Matlab,，,Maple,，,Mathematics,，,Lindo,，,Lingo,3,、查查方法。,4,、做做题。,5,、排排版。,6,、睡睡觉。,参赛过程,1,、选题不宜换题。,2,、团结协作。,3,、分工合作。,4,、打点存点。,注意：论文语言一定要言简意赅！简单明了，切记啰嗦！不需要名人的话。,熟悉数学公式操作，,Mathtype,或者公式编辑器，或者用,Latex,，,Ctex,。,谢 谢,预祝大家在数学建模竟赛,中取得优异,成绩！,