函数的四则运算的微分法则课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第三节函数的求导法则,函数的四则运算的微分法则,反函数的微分法则,复合函数的微分法则及微分,形式不变性,四微分法小结,函数的四则运算的微分法则第三节函数的求导法则,函数的四则运算的微分法则,反函数的微分法则,复合函数的微分法则及微分,形式不变性,四微分法小结,、函数四则运算的微分,定理1如果函数u(x),(x)在点x处可导(或可微),则它们的和、差、积、商(分母不为零)在点x处,也可导,并且,(1)u(x)v(x)=u(x)v(x);,或d(u土v)=d土dv;,(2)Lu(x) v(x=u(xv(x)+u(x)v(x,或duv=vdldv;,上一页下一页返回,u(x) u(x,(x)-u(x)v(x),(3),(v(x)0),v(r),v(r,或d(-),uy-uv,证(2)设f(x)=u(x)(x),f(x= lim,u(x+r)v(x+x)-u(x)(x),Ar-)0,= lim lu(x+x)-u(x)(x+x)+(x)v(x+x)-v(x),Ax,u(r)v(r)+u(r)v(r),上一页下一页返回,、函数四则运算的微分,定理1如果函数u(x),(x)在点x处可导(或可微),则它们的和、差、积、商(分母不为零)在点x处,也可导,并且,(1)u(x)v(x)=u(x)v(x);,或d(u土v)=d土dv;,(2)Lu(x) v(x=u(xv(x)+u(x)v(x,或duv=vdldv;,上一页下一页返回,u(x) u(x,(x)-u(x)v(x),(3),(v(x)0),v(r),v(r,或d(-),uy-uv,证(2)设f(x)=u(x)(x),f(x= lim,u(x+r)v(x+x)-u(x)(x),Ar-)0,= lim lu(x+x)-u(x)(x+x)+(x)v(x+x)-v(x),Ax,u(r)v(r)+u(r)v(r),上一页下一页返回,推论,(1)(x)=f(x,4(f(x)=d(f4(x),k=1,k=1,k=1,(2)Icf(r=cf(r, d( cf(r)=cdf(x);,Bluvw=uww+uvw +uvw,d(uvw)=vwdu +uwdv +uvdw,注意:(x)(xl(x)+v(x);,u(r) u(r),v(r) v(r),上一页下一页返回,2,例1.求f(x)=x+2x,的导数,解(x)=(x+2x-2,=x+(2xy-(,x,11,1+22x,x,上一页下一页返回,例2.设f(x)= xe Inx,求f(x),解(x)=( xe Inx),x e Inx+x(e Inx+re(n x),e- Inx + xe Inxtxe,e(+Inx+rInx,上一页下一页返回,例3求y=tanx的导数,解y=(anx),Sin d,(sin x)cos x-sin x(cos x),cos x,cosr+sinr,sec式,cos式,cos x,y=(tanx)=sec2x,同理可得y=(otx)=-csc2x,上一页下一页返回,例4求y=ecx的导数,解y=(secx)=(,cos,(cosx)sinx,coS x cos x,secx tanx,同理可得y=(cscx)=- cscxcotx,上一页下一页返回,二、反函数的微分法则,定理2.如果函数x=(y)在某区间内单调、可导,且q(y)0,那末它的反函数y=f(x)在对应区间,x内也可导,且有,f(x),o(y)dx dr,即反函数的导数等于直接函数导数的倒数.,注意:(x),(y)的均为求导,但意义不同,上一页下一页返回,证任取xl,给x以增量x(A0,x+AxI,由y=f(x)的单调性可知4y0,于是有,因为f(x)连续,r,所以当x0时,必有y0,故f(x)=lim,x0r4y,mc=p(y)(y)0),即f(x),p(y),上一页下一页返回,