固体物理 第13讲、晶体热容的量子理论和晶格振动模式密度

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第十三讲 晶体热容的量子理论和晶格振动模式密度,一、 晶体热容的量子理论,固体的定容热容, 固体的平均内能, 固体内能包括,晶格振动的能量,和,电子热运动的能量,实验结果：低温下，金属的热容, 温度不是太低的情况，忽略电子对比热的贡献, 电子对比热的贡献, 晶格振动对比热的贡献,1,晶格振动对热容的贡献 经典理论,一个简谐振动平均能量,N,个原子，总的平均能量,摩尔固体热容,杜隆 珀替定律, 实验表明在低温时，,热容量随温度迅速趋于零 !, 能量均分定律,2,晶格热容的量子理论,一个频率为,j,的,振动模对热容的贡献,频率为,j,的,振动模由一系列量子能级为 组成, 子体系,子体系处于量子态 的概率,3,振动模的平均能量,一个振动模的平均能量,4, 与晶格振动频率和温度有关系,一个振动模对热容贡献,高温极限,5, 与杜隆 珀替定律相符, 忽略不计,6,低温极限,一个振动模对热容贡献, 与实验结果相符(趋势相符), 从物理上看，在低温下，声子被冻结在基态，因而对热容的贡献趋于零。,7,晶体中有3N个振动模，总的能量,晶体总的热容,可见，只要知道晶体的各简正振动的频率，就可直接计算出晶体的热容。,但是，对于具体的晶体，3N个简正频率是很复杂的，因而计算也复杂。,8,1. 爱因斯坦模型,N,个原子构成的晶体，所有的原子以相同的频率,0,振动,一个振动模式的平均能量,晶体热容,总能量,9,爱因斯坦热容函数,爱因斯坦温度,爱因斯坦热容, 选取合适的,E,值，在较大温度变化的范围内，理论计算的结果和实验结果相当好地符合, 大多数固体,也有可能低于和高于这个范围的固体。,10,金刚石,理论计算和实验结果比较,在极低温范围内，爱因斯坦理论值下降比较陡，与实验不符合。,爱因斯坦理论值反映了随温度下降的趋势。,11,温度较高时,晶体热容, 与杜隆 珀替定律相符,12,温度非常低时,晶体热容, 按温度的指数形式降低,实验测得结果, 爱因斯坦模型认为各原子的振动是相互独立的，因而3N个频率是相同的。, 爱因斯坦模型忽略了各格波的频率差别。,13,2. 德拜模型,1912年德拜提出以,连续介质的弹性波来代表格波，将布喇菲晶格看作是各向同性的连续介质,。, 对于一定的波矢量,q,，有1个纵波和2个独立的横波, 不同,q,的纵波和横波，构成了晶格的全部振动模, 不同的振动模，能量不同,色散关系,14,三维晶格，态密度 ,V,: 晶体体积, 受边界条件限制波矢,q,分立取值，允许的取值在,q,空间形成了均匀分布的点子,体积元,态的数目,q,是近连续变化的,振动数目,15,频率在 之间振动模式的数目,各向同性的介质, 频率也近似于连续取值, 振动频率分布函数，或者振动模的态密度函数,一个振动模的热容,晶体总的热容,振动频率分布函数 和,m,的计算,16,频率在 之间，纵波数目,频率在 之间，格波数目,频率在 之间，横波数目,波矢的数值在 之间的振动方式的数目,17,频率分布函数,频率在 间，格波数目,频率在 之间振动模式的数目,实际晶体由N个原子组成，自由度为3N个,格波总的数目,德拜认为： 当频率,大于某一,频率,m,时，短波,振动不存在，在,m,之上的振动可当作弹性波来处理。,18,晶体总的热容,令,气体常数,R,=,Nk,B,19,德拜温度,晶体总的热容,德拜热容函数,20,在高温极限下,晶体总的热容, 与杜隆珀替定律一致,德拜热容函数,21,低温极限,晶体热容,22, 与T,3,成正比, 德拜定律,晶体热容, 温度愈低时，德拜模型近似计算结果愈好, 温度很低时，主要的只有长波格波的激发,在德拜理论中，特征温度,D,是待定的常数，常常将理论与实验数据比较得到它。,D,不是常数，而是随温度变化而变化，如图,p131,图,3-24金属铟的,D,。,P132表3-1列出了一些固体元素的,D,，多数在200400K之间，个别的弹性模量大、密度低的在1000K以上。,23,二、,晶格振动模式密度,晶体中同时可以存在不同频率的简谐振动, 不同频率的振动模对应不同的能量,给定晶体，总的振动模数目是一定的,按振动频率分布 用,晶格振动模式密度来描述, 利用振动模式密度，不但可以研究晶格热容，还能研究晶体电学、光学性质。,晶格振动模式密度,单位频率间隔，振动模式的数目,24,在,q,空间，晶格振动模是均匀分布的，状态密度,根据,做出一个等频率面,两个等频率面 和,之间的振动模式数目,频率是,q,的连续函数,25,之间振动模式数目,振动模式密度函数,26,在 的一些点,奇点,范,霍夫奇点,，是晶体中一些高对称点(布里渊区边界), 这些临界点与晶体的对称性密切相联,27,