静力学一般力系

单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第,3,章 一般力系,静力学,1,目 录,静力学,3.1,力线平移定理,3.2,平面一般力系向一点简化,3.3,一般力系的平衡方程,3.4,物体系统的平衡,静定问题和超静定问题,3.5,平面简单桁架的内力计算,3.6,摩擦,2,静力学,平面任意力系,：,各力的作用线在同一平面内，既不汇交为一点又不相互平行的力系，叫,平面任意力系,。,例,力系向一点简化,：,把未知力系（平面任意力系）变成已知 力系（平面汇交力系和平面力偶系）,引 言,3,静力学,工程中常常存在着很多各力的作用线不在同一平面内的力系，即空间力系，空间力系是最一般的力系。,(,a,),图为空间汇交力系；,(,b,),图为空间任意力系。,(,b,),图中,，若,去了风力,，则,为空间平行力系。,迎 面风 力,侧 面风 力,b,4,静力学,证,力,力系,3,.,1,力线平移定理,作用在刚体上点,A,的力,F,，,可以平行移到任一点,B,，但必须同时附加一个力偶。这个力偶的矩，等于原来的力,F,对新作用点,B,的矩。,5,静力学,力线平移定理揭示了力与力偶的关系：力 力,+,力偶,（例断丝锥）, 力平移的条件是附加一个力偶,m,，且,m,与,d,有关，,m=Fd,力线平移定理是力系简化的理论基础。,说明,：,6,静力学,一般力系（任意力系）,向一点简化,汇交力系,+,力偶系,（未知力系）,（已知力系）,汇交力系 力 ，,R,(,主矢,),，,(,作用在简化中心,),力 偶 系 力偶 ，,M,O,(,主矩,),，,(,作用在该平面上,),3,.,2,平面一般力系向作用面内一点简化,一、平面一般力系的简化,7,大小,：,主矢,方向,：,简化中心,(,与简化中心位置无关,),因主矢等于各力的矢量和,静力学,（移动效应,）,8,静力学,大小,：,主矩,M,O,方向,： 方向规定,+,-,简化中心,：,(,与简化中心有关,),（因主矩等于各力对简化中心取矩的代数和）,（,转动效应,）,固定端（插入端）约束,雨 搭,车 刀,9,静力学,固定端（插入端）约束,说明：,认为,F,i,这群力在同一平面内,;,将,F,i,向,A,点简化得一力和一力偶,;,R,A,方向不定可用正交分力,Y,A,X,A,表示,;,Y,A,X,A,M,A,为固定端约束反力,;,Y,A,X,A,限制物体平动,M,A,为限制转动。,10,静力学,简化结果：主矢,，主矩,M,O,，下面分别讨论,。,=0,，,M,O,0,，,即简化结果为一合力偶,M,O,=,M,，此时,刚体等效于只有一个力偶的作用，因为力偶可以在刚体,平面内任意移动，故这时主矩与简化中心,O,无关。,=,0,，,M,O,=0,，,则力系平衡，下节专门讨论。,0,，,M,O,=0,，即简化为一个作用于简化中心的合力。这时简化结果就是合力,（,这个力系的合力），,。,（,此时与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）,二、平面任意力系的简化结果分析,11,静力学,0,，,M,O,0,，为最一般的情况。此种情况还,可以继续简化为一个合力,。,合力 的大小等于原力系的主矢,合力 的作用线位置,12,静力学,结论,：,平面任意力系的简化结果,：合力偶,M,O,；,合力,合力矩定理,：由于主矩,而合力对,O,点的矩,合力矩定理,由于简化中心是任意选取的，故此式有普遍意义。,即：,平面任意力系的合力对作用面内任一点之矩等于力系,中各力对于同一点之矩的代数和。,13,静力学,3,.,3,一般力系的平衡条件和平衡方程,一、平面一般力系的平衡条件和平衡方程,由于,=0,为力平衡,M,O,=0,为力偶也平衡,所以,平面任意力系平衡的充要条件为,：,力系的主矢 和主矩,M,O,都等于零,，,即,：,14,静力学,二矩式,条件：,x,轴不,AB,连线,三矩式,条件：,A,、,B,、,C,不在同一直线上,上式有三个独立方程，只能求出三个未知数。,一矩式,15,静力学,例,1,已知：,P,，,a,， 求：,A,、,B,两点的支座反力。,解,：, 选,AB,梁研究；, 画受力图（,以后注明,解除约束，可把支反,力直接画在整体结构,的原图上,）；, 列平衡方程：,解除约束,16,例,2,悬臂吊车如图,a),所示。,A,、,B,、,C,处均为铰接。,AB,梁自重,W,1,4 kN,，载荷重,W,l0 kN,，,B,C,杆自重不计，有关尺寸如图,a),所示。求,BC,杆所受的力和铰,A,处的约束反力。,静力学,17,解,(1),选,AB,梁为研究对象，画出分离体图。在,AB,梁上主动力有,W,1,，和,W,；约束反力有支座,A,处的反力,F,Ax,和,F,Ay,；由于,BC,为二力杆，故,B,处反力为,F,BC,，该力系为平面一般力系，受力图如图,b),所示。,(2),列平衡方程并求解。选取坐标轴如图,b),所示。为避免解联立方程，在列平衡方程时尽可能做到一个方程中只包含一个未知量，并且先列出能解出未知量的方程，于是有,F,x,=,0,，,F,y,=,0,，,M,A,(,F,),=,0,，,解得：,静力学,18,静力学,例,3,自重,W,100 kN,的,T,形刚架,ABD,，置于铅垂面内，载荷如图,a),所示。已知,M,20 kNm,，,F,400 kN,，,q,20 kN,/,m,，,L,l m,。求固定端,A,处的约束反力。,19,静力学,解,(1),取,T,形刚架为研究对象，其上作用有主动力,W,、,F,、,M,和线性分布载荷。将线性分布载荷化为一合力，其大小等于线性分布载荷的面积，即,F,1,q,3,L,2,30 kN,，其作用线作用于三角形分布载荷的几何中心，即距点,A,为,L,处。约束反力有,F,Ax,，,F,Ay,和,M,A,。其受力与坐标如图,b),所示。,(2),列平衡方程：,F,x,=,0,，,F,y,=,0,，,M,A,(,F,),=,0,，,解得：,20,设有,F,1,F,2,F,n,各平行力系，,向,O,点简化得：,合力作用线的位置为：,平衡的充要条件为 主矢,=0,主矩,M,O,=0,静力学,平面平行力系,：,各力的作用线在同一平面内且相互平行的力系，叫平面平行力系。,21,静力学,所以 平面平行力系的,平衡方程为：,二矩式,条件：,AB,连线不能平行,于力的作用线,实质上是各力在,x,轴上的投影恒等于零，即 恒成立 ，所以只有两个独立方程，只能求解两个独立的未知数。,一矩式,22,静力学,例,4,已知：,P,=20kN,m,=16kN,m,，,q,=20kN,/,m,，,a,=0.8m,，,求：,A,、,B,的支反力。,解,：,研究,AB,梁,解得：,23,静力学,例,5,塔式起重机如图所示。机架自重,W,1,500 kN,，其作用线至右轨的距离,e,0.5 m,，最大起重量,W,2,250 kN,，其作用线至右轨的距离,L,10 m,，轨道,AB,的间距,b,4 m,，平衡重,W,到左轨的距离,a,6 m,。若,W,=300 kN,，,W,2,250 kN,，求轨道,A,、,B,对两轮的反力。,24,静力学,解,取起重机为研究对象。画出受力图如图所示，该力系为一平面平行力系。其平衡方程为,F,y,=,0,，,M,B,(,F,),=,0,，,解得,讨论：为了保证起重机安全工作，设计时需要考虑两种翻倒情况。,(1),当满载时，为了使起重机不绕,B,点翻倒，考虑平衡的临界状况,F,A,0,，这时列,M,B,(,F,),0,的平衡方程，可求出平衡重的最小值,W,min,275 kN,，,25,静力学,(2),当空载时，为了使起重机不绕,A,点翻倒，考虑平衡的临界状况,F,B,0,，这时列,M,A,(,F,),0,的平衡方程，可求出平衡重的最大值,W,max,375 kN,。实际工作时不允许处于极限状态，需使其安全工作，平衡重应在这两者之间，即,W,min,W,W,max,。,26,静力学,所以,空间任意力系的平衡方程,为：,还有四矩式，五矩式和六矩式，,同时各有一定限制条件。,二、空间一般力系的平衡条件和平衡方程,1,、空间任意力系的平衡充要条件是：,27,静力学,空间汇交力系的平衡方程为：,因为各力线都汇交于一点，各轴都通过,该点，故各力矩方程都成为了恒等式。,空间平行力系的平衡方程，设各力线都,/,z,轴。,因为,均成为了恒等式。,28,静力学,1,）球形铰链,2,、空间约束,观察物体在空间的六种（沿三轴移动和绕三轴转动）可能的运动中，有哪几种运动被约束所阻碍，有阻碍就有约束反力。阻碍移动为反力，阻碍转动为反力偶。,例,29,静力学,球形铰链,30,静力学,2,）向心轴承，蝶铰链，滚珠,(,柱,),轴承,31,静力学,3,）滑动轴承,32,静力学,4,）止推轴承,33,静力学,5,）带有销子的夹板,34,静力学,6,）空间固定端,35,静力学,3,.,4,物体系统的平衡,静定与超静定问题,一、静定与静不定问题的概念,我们学过：,平面汇交力系 两个独立方程，只能求两个独立未知数。,一个独立方程，只能求一个独立未知数。,三个独立方程,只能求三个独立未知数。,力偶系,平面,任意力系,当：,独立方程数目未知数数目时，是静定问题（可求解）,独立方程数目,未知数数目时，是静不定问题,(,超静定问题,),36,静力学,例,静不定问题在强度力学,（,材力,结力,弹力）中用位移谐调条件来求解,。,静定（未知数三个） 静不定（未知数四个）,37,静力学,例,二、物体系统的平衡问题,外力,：外界物体作用于系统上的力叫,外力,。,内力,：系统内部各物体之间的相互作用力叫,内力,。,物体系统（,物系,）：由若干个物体通过约束所组成的系统，,叫物体系统，简称,物系,。,38,静力学,物系平衡的特点：, 物系静止, 物系中每个单体也是平衡的。每个单体可列,3,个平衡方程，整个系统可列,3,n,个方程（设物系中有,n,个物体）,解物系问题的一般方法：,由整体 局部（常用），由局部 整体（用较少）,39,静力学,例,6,已知：,OA=R,，,AB= l,， 当,OA,水平时，冲压力为,P,时，求：,M,=,？,O,点的约束反力？,AB,杆内力？, 冲头给导轨的侧压力？,解,：,研究,B,40,静力学,负号表示力的方向与图中所设方向相反,再研究轮,41,静力学,（,a,）,（,b,）,（,c,）,例,7,由不计自重的三根直杆组成的,A,字形支架置于光滑地面上，如图,a),所示，杆长,AC,BC,L,3 m,，,AD,BE,L,/5,，支架上有作用力,F,1,0.8 kN,，,F,2,0.4 kN,，求横杆,DE,的拉力及铰,C,和,A,、,B,处的反力。,42,静力学,解,A,字形支架由三根直杆组成，要求横杆,DE,的拉力和铰,C,的反力，必须分开研究，又,DE,为二力杆，所以可分别研究,AC,和,BC,两部分，但这两部分上,A,、,B,、,C,、,D,、,E,处都有约束反力，且未知量的数目都多于,3,个。用各自的平衡方程都不能直接求得未知量。如果选整个系统为研究对象，则可一次求出系统的外约束反力。,(1),先取整体为研究对象，在其上作用有主动力,F,l,和,F,2,，,A,、,B,处均为光滑面约束，而,A,处是两个方向上受到约束，因而约束反力有,F,Ax,，,F,Ay,和,F,B,，并选取坐标轴如图,b),所示。列出平衡方程,43,静力学,F,x,0,，,F,y,0,，,M,A,(,F,),0,，,解得,(2),再取较简易部分,BC,为研究对象，其受力图如图,c),所示。这里需要注意的是,C,处反力，在整体研究时为内力，在分开研究,BC,时，则变成了外力。列出平衡方程。,F,x,0,，,F,y,0,，,M,C,(,F,),0,，,解得,44,静力学,例,8,如图所示均质矩形平板，重为,P,=800N,，用三条铅垂绳索悬挂在水平位置，一绳系在一边的中点,A,处，另两绳分别系在其对边距各端点均为 边长的,B,、,C,点上，求各绳所受的拉力。,解,：取正方形板为研究对象，受力分析如图所示，列平衡方程：,解得：,45,静力学,例,9,正方形板,ABCD,重为,P,，,A,和,B,蝶形铰链固定在墙上，并用,ED,斜杆支承，使正方形板,ABCD,成水平面位置，设正方形边长为,a,，试求铰链,A,和,B,的约束反力以及,ED,杆所受的力。,解,：,DE,杆为二力杆，,取正方形板为研究对象，,受力分析如图所示，,列平衡方程：,46,静力学,解得：,X,A,=,P,/2,，,Z,A,=0,；,X,B,=0,，,Z,B,=,P,/2,，,S,DE,=0.707,P,。,47,静力学,此题训练：,力偶不出现在投影式中；,力偶在力矩方程中出现是把力偶当成矢量后，类似力在投影式中投影；,力争一个方程求一个支反力；,了解空间支座反力。,例,10,曲杆,ABCD,，已知 ,ABC,=,BCD,=90,0,，,AB=a,，,BC=b,，,CD=c,，,m,2,、,m,3,求：支座反力及,m,1,=?,48,静力学,解,：,49,静力学,3,.,5,平面简单桁架的内力计算,由物系的多样化，引出仅由杆件组成的系统,桁架,50,静力学,桁架,：,由杆组成，用铰联接，受力不变形的系统。,节点,杆件,51,(,a,),静力学,桁架的优点：,轻，充分发挥材料性能。,桁架的特点：,直杆，不计自重，均为二力杆；杆端铰接；,外力作用在节点上。,力学中的桁架模型：,基本三角形 ，,三角形有稳定性。,(,b,),(,c,),52,静力学,工程力学中常见的桁架简化计算模型,53,静力学,解,：,研究整体，求支座反力,一、节点法,例,11,已知：如图,P,=10kN,，求各杆内力？,计算平面简单桁架的内力的方法有两种：,1,、节点法,2,、截面法,54,静力学,依次取,A,、,C,、,D,节点研究，计算各杆内力。,55,静力学,节点,D,的另一个方程可用来校核计算结果,恰与 相等,计算准确无误。,56,静力学,解,： 研究整体求支反力,二、截面法,例,12,已知：如图，,h,，,a,，,P,，,求：,4,、,5,、,6,杆的内力。,选截面,I,-,I,，取左半部研究,I,I,A,57,静力学,说明 ：,节点法：用于设计，计算全部杆内力；,截面法：用于校核，计算部分杆内力；,先把杆都设为拉力，计算结果为负时；说明是压力，与所设方向相反。,58,静力学,三杆节点无载荷、其中两杆在,一条直线上，另一杆必为零杆。,四杆节点无载荷、其中两两在,一条直线上，同一直线上两杆,内力等值、同性。,两杆节点无载荷、且两杆不在,一条直线上时，该两杆是零杆。,三、特殊杆件的内力判断,59,静力学,1,、,滑动摩擦力,：相接触物体，产生相对滑动（趋势）时，其接触面产生阻止物体运动的力叫滑动摩擦力。,（ 就是接触面对物体作用的切向约束反力）,2,、,状态,： 静止：,临界：（将滑未滑）,滑动：,3,.,6,摩 擦,一、滑动摩擦,（翻页请看动画）,增大摩擦力的途径为：,加大正压力,N,， 加大摩擦系数,f,（,f,静滑动摩擦系数）,（,f,动摩擦系数）,60,静力学,61,静力学,4,、动滑动摩擦力,：,（与静滑动摩擦力不同的是产生了滑动）,大小： （无平衡范围）,动摩擦力特征,：方向：与物体运动方向相反,定律： （,f ,只与材料和表面情况有,关，与接触面积大小无关。）,3,、,特征：,大小： （平衡范围）满足,静摩擦力特征,：方向：与物体相对滑动趋势方向相反,定律：,（,f,只与材料和表面情况有,关，与接触面积大小无关。）,62,静力学,1,、摩擦角,定义：当摩擦力达到最大值 时其全反力 与法线的夹角 叫做,摩擦角,。,翻页请看动画,计算：,二、摩擦角与自锁现象,63,静力学,64,静力学,2,、自锁,定义：当物体依靠接触面间的相互作用的摩擦 力 与正,压力（即全反力），自己把自己卡 紧，不会松开（无论外力多大），这种现象称为自锁。,当 时，永远平衡（即自锁）,自锁条件：,65,静力学,摩擦系数的测定,：,OA,绕,O,轴转动使物块刚开始下滑时测出,a,角，,tg,a,=,f,，,(,该两种材料间静,摩,擦系数,),（翻页请看动画）,自锁应用举例,66,静力学,67,静力学,68,静力学,考虑摩擦时的平衡问题，一般是对临界状态求解，这时可列出 的补充方程。其它解法与平面任意力系相同。只是平衡常是一个范围,。,例,13,已知：,a,=30,，,G,=100N,，,f,=0.2,求：物体静止时，,水平力,Q,的平衡范围。当水平力,Q,= 60N,时，物体能否平衡？,(,翻页请看动画）,三、考虑滑动摩擦时的平衡问题,69,静力学,70,静力学,解,：,先求使物体不致于上滑的 图,(1),71,静力学,同理,：,再求使物体不致下滑的 图,(2),解得：,平衡范围应是,72,静力学,例,14,梯子长,AB,=,l,，重为,P,，若梯子与墙和地面的静摩擦系数,f,=0.5,，求,a,多大时，梯子能处于平衡？,解,：,考虑到梯子在临界平衡状态有下滑趋势，画受力图。,73,静力学,注意,，由于,a,不可能大于 ，,所以梯子平衡倾角,a,应满足,74,静力学,四、滚动摩阻的概念,由实践可知，使滚子滚动比使它滑动省力，下图的受力分析看出一个问题，即此物体平衡，但没有完全满足平衡方程。,Q,与,F,形成主动力偶使前滚,出现这种现象的原因是，实际接触面并不是刚体，它们在力的作用下都会发生一些变形，如图：,75,静力学,此力系向,A,点简化,滚阻力偶,M,随主动力偶（,Q,F,）的增大而增大,;,有个平衡范围,;,滚动摩擦, 与滚子半径无关,;,滚动摩擦定律：,，,d,为滚动,摩,擦系数。,滚阻力偶与主动力偶（,Q,F,）相平衡,（翻页请看动画）,d,76,静力学,77,静力学,滚动摩擦系数,d,的说明,：,有长度量纲，单位一般用,mm,cm,；,与滚子和支承面的材料的硬度和温度有关。,d,的物理意义见图示。,根据力线平移定理，,将,N,和,M,合成一个力,N,，,N=N,从图中看出，滚阻力偶,M,的力偶臂正是,d,（滚阻系数），,所以，,d,具有长度量纲,。,由于滚阻系数很小，所以在工程中大多数情况下滚阻力偶不计，即滚动摩擦忽略不计。,d,78,解,：,选整体研究 ；,受力如图；,选坐标,Bxy,；,列方程为：,解方程得 ：,静力学,例,1,已知各杆均铰接，,B,端插入地内，,P,=1000N,，,AE,=,BE,=,CE,=,DE,=1m,，杆重不计。,求,AC,杆内力？,B,点的反力？,习 题 课,79,受力如图,取,E,为矩心，列方程,解方程求未知数,静力学,再研究,CD,杆,80,例,2,已知,:,P,=100N,AC,=1.6m,BC,=0.9m,CD=EC,=1.2m,AD,=2m,且,AB,水平,ED,铅垂,BD,垂直于 斜面。,求,?,和支座反力？,静力学,解,：,研究整体；,画受力图；,选坐标，列方程：,81,静力学,再研究,AB,杆，受力如图,82,静力学,（,a,）,（,b,）,例,3,图,a),所示的组合梁由,AC,和,CD,组成，不计自重。已知,F,20 kN,，,q,10 kN,/,m,，,M,20 kNm,，,l,1 m,。试求插入端,A,和滚动支座,B,处的约束反力。,83,静力学,解,(1),先取整体为研究对象。在其上作用有主动力,F,、,M,、,q,和插入端,A,和滚动支座,B,处的约束反力,F,Ax,、,F,Ay,、,M,A,和,F,B,。列出平衡方程,F,x,0,，,(a),F,y,0,，,(b),M,A,(,F,),0,，,(c),以上三个方程包含四个未知量，必须再补充方程才能求解。,(2),再取较简易部分,CD,为研究对象，其受力图如图,b),所示。这里需要注意的是,C,处约束反力，在整体研究时为内力，在单独研究,CD,时，则变成了外力。列出平衡方程,84,静力学,M,C,(,F,),0,，,(d),由式,(d),解得,代入式,(a),、,(b),、,(c),中解得,注意：此题研究整体时，可将均布载荷作为合力通过点,C,，但在梁,CD,或,AC,平衡时，则分别受一半的均布载荷。,85,静力学,例,4,已知,P,，,d,，求：,a,、,b,、,c,、,d,四杆的内力。,解,：,由零杆判式,研究,A,点：,86,静力学,例,5,已知：连续梁上，,P,=10kN,Q,=50kN,CE,铅垂,不计梁重,求：,A ,B,和,D,点的反力,（看出未知数多余三个，不能先,整体求出，要拆开）,解,：,研究起重机；,87,静力学,再研究整体,再研究梁,CD,88,静力学,例,6,作出下列各物,体的受力图。,89,静力学,例,7,作出下列各物体的受力图。,P,最小维持平衡,P,最大维持平衡,状态,受力图；,状态受力图,90,静力学,例,8,构件,1,及,2,用楔块,3,联结，已知楔块与构件间的摩擦系数,f,=0.1,，求能自锁的倾斜角,a,。,解：,研究楔块，受力如图,91,静力学,例,9,已知：,B,块重,Q,=2000N,，与斜面的摩擦角,j,=15,，,A,块与 水 平面的摩擦系数,f,=0.4,，,不 计杆重。 求：使,B,块不下滑，,物块,A,最小重量。,解：,研究,B,块，若使,B,块不下滑，,92,静力学,再研究,A,块：,93,静力学,例,10,已知：,Q=,10N,，,f,动,=0.1,f,静,=0.2,，求：,P,=1 N; 2N, 3N,时摩擦力,F,？,解：,所以物体运动：此时,（没动，,F,等于外力）,（临界平衡）,（物体已运动）,94,例,11,制动器的构造如图,a),所示。已知重物重,W,500 N,，制动轮与制动块间的静摩擦因数,f,S,0.6,，,R,250 mm,，,r,150 mm,，,a,1000 mm,，,b,300 mm,，,h,100 mm,。求制动鼓轮转动所需的力,F,。,静力学,95,解,(1),先取鼓轮为研究对象。鼓轮在重物,W,的作用下有逆时针转动的趋势，由此可判定闸块与鼓轮之间的摩擦力,F,S,向右，其他力如图,b),所示，为平面一般力系。由于不求,O,处反力，故只需列出力矩平衡方程：,M,O,(,F,),0,，,再取杆,AB(,包括制动块,),为研究对象。其受力图如图,c),所示，为平面一般力系。由于不求,A,处反力,，,故只列力矩平衡方程,M,A,(F,),0,，,注意 ，并考虑平衡的临界状态，由静摩,擦定律有,代入数据并解得,F,120 N,这是制动鼓轮转动所需的力,F,的最小值。,静力学,96,静力学,例,12,已知,A,块重,500N,，轮,B,重,1000N,，,D,轮无摩擦，,E,点的摩擦系数,f,E,=0.2,，,A,点的摩擦系数,f,A,=0.5,。,求：使物体平衡时块,C,的重量,Q,=,？,解：,A,不动（即,i,点不产生 平移），求,Q,的大小。,由于,1,97,静力学,分析轮,B,，有,由,98,静力学,E,点不产生水平位移,99,静力学,B,轮不向上运动，即,N,0,显然，如果,I,、,E,两点均不产生运动，,Q,必须小于,208N,，即,100,静力学,补充方程 ,当时，能滚过去（这是小球与地面的,f,条件）,例,13,已知：,P,、,D,、,d,、,Q,1,、,Q,2,，,P,为水平。,求：在大球滚过小球时，,f,=?,解,：,研究整体,将、代入得：,要保证大球滚过小球，必须使大球与小球之间不打滑。,101,静力学,求大球与小球之间的,f,，研究大球,补充方程 ,将代入得： ,又,102,静力学,当 时能滚过小球,结论：,当 和时能保证大球能滚过小,球的条件。,解得：,注,大球与小球间的,f,另一种求法：,103,本章结束,104,