资源描述
*,二、中值定理的应用,一、几个中值定理,中值定理及其应用,数学竞赛专题辅导,：,1,罗尔定理：,拉格朗日定理：,柯西定理：,1. 微分中值定理,一、 几个中值定理,2,其中余项,当,时为,麦克劳林公式 .,若函数,内具有,n,+ 1,阶导数,泰勒中值定理：,3,基本初等函数的麦克劳林公式,4,拉格朗日中值定理,微分中值定理之间的相互关系,罗尔定理,柯西中值定理,泰勒中值定理,5,2. 零点定理与介值定理,1)零点定理 ：,至少有一点,且,使,2)介值定理：,则对,A,与,B,之间的任一数,C,推论:,在闭区间上的连续函数必取得介于最小值与最大值,之间的任何值 .,6,3. 费马定理,取得极值,4. 积分中值定理,积分中值定理,微分中值定理,注：,牛顿 莱布尼茨公式,7,1. 证明恒等式.,2. 证明不等式.,4. 证明有关中值问题的结论.,经验1:,二、中值定理的主要应用,利用中值定理证明不等式的步骤:,(3) 根据,a,b,的关系,证明出不等式.,(2) 利用中值定理,(1) 设出辅助函数和区间，,经验2：,经验3:,欲证,(1)设函数,(2)验证函数 在区间 上满足罗尔定理.,3. 极限的计算.,8,1. 证明恒等式,例1.,证明等式,证:,设,由推论可知,(常数),令,x,= 0 , 得,又,故所证等式在定义域 上成立.,自证:,二、中值定理的主要应用,9,例1.,证明不等式,证:,设,即,因为,所以,因此应有,10,例2,证明：,11,例3.,设函数,在,上二阶可导,且,证明,证:,由泰勒公式得,两式相减得,12,例4.,设函数,f,(,x,)在（,a,，,b,）可导，且,证明,f,(,x,)在（,a,，,b,）内有界.,证:,取点,再取异于,的点,对,为端点的区间上用拉氏中值定理,得,(定数),可见对任意,即得所证 .,13,例1,3. 极限的计算.,14,4. 证明有关中值问题的结论,题型一.,保号性,定理,例1.,设,试证：,证:,不妨设,必有,使,故,保号性,定理,必有,使,故,又在,上,连续,由零点定理知, 存在,15,例2.,设,16,例2.,设,17,题型二.,常用的构造函数的几种模型,18,例4.,设,保号性,定理,证:,不妨设,必有,保号性,定理,必有,19,例5.,设,证:,20,例6.,设,证:,21,例7,证明：,22,题型三.,例7.,设,解：,23,例7.,设,24,例7.,设,25,例7.,设,26,题型四.,27,例8.,设,在,内可导, 且,证明至少存在一点,上连续, 在,分析:,问题转化为证：,证明：,设辅助函数,显然,故至少,使,即有,存在一点,28,例8.,设,证明：,设辅助函数,只需验证：,分析:,29,例8.,设,证明：,30,例9.,设,证明：,设辅助函数：,只需验证：,分析:,31,题型五.,32,例10.,设,分析:,33,题型六.,例11.,试证存在,证:,欲证,将,代入 , 化简得,故有,即要证,34,已知函数,内可导, 且,证:,(1) 令,使,即,(2005 考研数1,2),(2) 根据拉格朗日中值定理,使,练习.,35,练习：,分析：,解：,36,Cauchy中值定理 应用举例,证明：,所以,37,备用.,若,可导, 试证在其两个零点间一定有,的零点.,提示:,设,欲证:,使,只要证,亦即,作辅助函数,验证,在,上满足,罗尔定理条件.,38,总之， 有关中值问题的解题方法,:,利用逆向思维 , 设辅助函数 .,一般,解题方法:,证明含一个中值的等式或根的存在,(2) 若结论中涉及含中值的两个不同函数 ,(3) 若结论中含两个或两个以上的中值 ,可用原函数法找辅助函数 .,多用,罗尔定理,可考虑用,柯,西中值定理,.,必须,多次应用,中值定理 .,(4) 若已知条件中含高阶导数 , 多考虑用,泰勒公式,有时也可考虑,对导数用中值定理 .,39,5、泰勒公式用于无穷小的阶的估计,例1,40,在的某邻域有一阶连续导数，且在,x,=0 处,若,在,时是,h,的高阶无穷小，试确定,a,b,的值,41,6、泰勒公式用于求函数在某点的各阶导数,例1,42,(2),f,(,x,) 在,x,= 0 的某邻域内二阶可导，且有,求,解 由题设可得,原式左端,所以有,由此可得,43,7、利用泰勒公式判别函数的极值、曲线的拐点,，,例1,44,45,46,
展开阅读全文