数学竞赛专题函数2

,单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,函数(二),三,.,函数的周期性,函数的周期性如果函数,y,f,(,x,),对于定义域内任意的,x,，存在一个不等于,0,的常数,T,，使得,f,(,x,T,),f(x),恒成立，则称函数,f(x),是周期函数，,T,是它的一个周期,.,一般情况下，如果,T,是函数,f(x),的周期，则,kT(kN,),也是,f(x,),的周期,.,例,1.,已知函数,f(x),对任意实数,x,都有,f(x,m),f(x,m),求证,:2m,是,f(x),的一个周期,.,证明：因为,f(x,m),f(x,m),令,x,m,t,，则,x,m,t,2m,于是,f(t,2m),f(t),对于,tR,恒成立，所以,f(x),是以,2m,为周期的周期函数,.,例,2.,已知函数,f(x),对任意实数,x,都有,f(x,m),求证,:2m,是,f(x),的一个周期,.,证明：由已知,f(x,2m),f(x,m),m,f(x),所以,f(x),是以,2m,为周期的周期函数,.,例,3.,已知函数,f(x),对任意实数,x,都有,f(x,m),求证,:4m,是,f(x),的一个周期,.,证明：由已知,f(x,2m),f(x,m),m,于是,f(x,4m), ,f(x),所以,f(x),是以,4m,为周期的周期函数,.,例,4,已知函数,f,(,x,),，对任意实数,x,，有下面四个关系式成立：,（,1,）,f,(,x,) =,f,(,x,+,a,),（,a,为非零常数）；,（,2,）,f,(,x,) =,f,(,a,x,),（,a,为非零常数）；,（,3,）,f,(,a,x,) =,f,(,b,x,),（,a,b,为常数且,a,2,+,b,2,0,）,（,4,）,f,(,a,x,) =,f,(,b,x,)(,a,b,为常数且,a,2,+,b,2,0,）,其中使,f,(,x,),是周期函数的关系式是,_,【解】,考查（,1,），,f,(,x,)=,f,(,x,+,a,),说明“两个自变数相差,a,，则函数值互为相反数”，于是相差,2,a,时，函数值相等：,f,(,x,)=,f,(,x,+,a,) =,f,(,x,+2,a,),等式（,1,）使,f,(,x,),是周期函数，,且,2,a,是周期；,考查（,2,），,f,(,x,)=,f,(,a,x,),表明函数,f,(,x,),的图像关于直线 对称，这不一定能使其为周期函数；,考查（,3,），,f,(,a,x,)=,f,(,b,x,),表明自变数相差,a,b,时， 函数值相等， 即,f,(,x,) =,f,(,a,b,+,x,),等式（,3,）使,f,(,x,),是周期函数，且,a,b,是周期,考查（,4,），,f,(,a,x,) =,f,(,b,x,),表明自变数相差,a,b,时，函数值互为相反数，于是相差,2,（,a,b,）时，函数值相等故（,4,）同（,1,），能使,f,(,x,),为周期函数，且,2,（,a,b,）是周期,综上所述，应填（,1,），（,3,），（,4,）,例,5,f,(,x,),是,R,上的以,2,为周期的周期函数，又是奇函数，且,x,(0,，,1),时，,则,f,(,x,),在（,1,，,2,）上,（,A,）是增函数，且,f,(,x,),0,（,B,）是减函数，且,f,(,x,),0,（,C,）是增函数，且,f,(,x,),0,（,D,）是减函数，且,f,(,x,),0,f,(,x,),的周期是,2,f,(,x,),在（,1,，,2,）和（,1,，,0,）的性质一致，,f,(,x,),是奇函数，,f,(,x,),在（,1,，,0,）和（,0,，,1,）上的增减性相同，但符号相反,因此，函数,f,(,x,),在（,0 , 1,）上与,（,1,，,2,）上的增减性相同，而符号相反,【解法,1,】,0,x,0,x,在（,0,，,1,）上，,1,x,是减函数，,是增函数,是增函数,，,于是，,f,(,x,),在（,1,，,2,）上是增函数，且,f,(,x,),0,故选（,C,）,【解法,2,】,设,x,(1,，,2),则,1,x,2,0,且,f,(,x,) =,f,(,x,2),，,1,x,2,0, 0,2,x,1,于是，,f,(,x,),是奇函数，,f,(2,x,),f,(,x,2),，,可见，,f,(,x,),在（,1,，,2,）上是增函数，且,f,(,x,),0,故选（,C,）,例,7.,已知函数,f(x),对任意实数,x,都有,f(a,x),f(a,x),且,f(b,x),f(b,x),求证,:2|a,b|,是,f(x),的一个周期,.(ab),证明：不妨设,a,b,于是,f(x,2(a,b),f(a,(x,a,2b),f(a,(x,a,2b),f(2b,x),f(b,(x,b),f(b,(x,b),f(x) 2(a,b),是,f(x),的一个周期当,a,b,时同理可得所以，,2|a,b|,是,f(x),的周期,例,8.,已知函数,f(x),的定义域为,N,，且对任意正整数,x,，都有,f,(,x,),f,(,x,1),f,(,x,1),若,f,(0),2004,，求,f,(2004),解：因为,f,(,x,),f,(,x,1),f,(,x,1),所以,f,(,x,1),f,(,x,),f,(,x,2),两式相加得,0,f,(,x,1),f,(,x,2),即：,f,(,x,3),f,(,x,),f,(,x,6),f,(,x,),f,(,x,),是以,6,为周期的周期函数,2004,6334,f,(2004),f,(0),2004,例,9,f,(,x,),是,R,上的奇函数，且对任何实数,x,，总有,f,(,x,+2),f,(,x,),，且,x,0,，,1,时，,f,(,x,),x,，则,f,(,x,),在,R,上的解析式为,【解】,f,(,x,+2),f,(,x,),，,f,(,x,+4),f,(,x,+2),f,(,x,),，,f,(,x,),是周期函数，,4,是周期,f,(,x,),f,(,x,),f,(,x,+2),f,(,x,),，,f,(,x,),的图像关于,x,1,对称，,由上述这些性质，及,x,0,，,1,时，,y,=,x,，,得知,f,(,x,),的图像如下：,其中斜率为,1,的线段过点（,4,m,，,0,），,其中斜率为,1,的线段过,点（,4,m,+2,，,0,）,故解析式为,例,10.,已知对于任意,a,，,bR,，有,f(a,b),f(a,b),2f(a)f(b),，且,f(x)0,求证：,f(x),是偶函数；,若存在正整数,m,使得,f(m),0,，求满足,f(x,T),f(x),的一个,T,值,(T0),证明：令,a,b,0,得，,f(0),1(f(0),0,舍去,),又令,a,0,，得,f(b),f(,b),，即,f(x),f(,x),所以，,f(x),为偶函数,令,a,x,m,，,b,m,得,f(x,2m),f(x),2f(x,m)f(m),0,所以,f(x,2m),f(x),于是,f(x,4m),f(x,2m),2m=,f(x,2m),f(x),即,T,4m(,周期函数,),例,11.,数列,a,n,中，,a,1,a,，,a,2,b,，,且,a,n,2,a,n,1,a,n,(nN,),求,a,100,；,求,S,100,.,解：由已知,a,1,a,，,a,2,b,，所以,a,3,b,a,，,a,4,a,，,a,5,b,，,a,6,a,b,，,a,7,a,，,a,8,b,，,由此可知，,a,n,是以,6,为周期的周期数列，于是,a,100,a,616,4,a,4,a,又注意到,a,1,a,2,a,3,a,4,a,5,a,6,0,S,100,a,1,a,2,a,3,a,96,a,97,a,98,a,99,a,100,0,a,97,a,98,a,99,a,100,a,1,a,2,a,3,a,4,a,b,(b,a),(,a),例,12.,对每一个实数对,x,y,函数,f(t),满足,f(x,y),f(x),f(y),xy,1,若,f(,2)=,2,试求满足,f(a),a,的所有整数,a.,解：令,x,y,0,，得,f(0),1,再令,x,y,1,，得,f(,2),2f(,1),2,，又,f(,2),2,所以,f(,1),2,又令,x,1,，,y,1,，可得,f,1,令,x,y,1,得,f,2f,1,1,4,令,y,1,，得,f(x,1),f(x),x,2,即,f(x,1),f(x),x,2 ,当,x,取任意正整数时，,f(x,1),f(x),0,又,f,1,0,所以,f(x),0,于是,f(x,1),f(x),x,2,x,1,即对任意大于,1,的正整数,t,，,f(t),t,在,中，令,x,3,，得,f(,3),1,，,进一步可得,f(,4),1,注意到,f(x),f(x,1),(x,2),所以当,x,4,时，,f(x),f(x,1),0,即,f(x),f(x,1),f(x,2),f(,4),1,所以,x,4,时，,f(x),x,综上所述，满足,f(a),a,的整数只有,a,1,或,a,2,例,13.,设,f,(,x,),是一个从实数集,R,到,R,的一个映射,对于任意的实数,x,都有,|,f,(,x,)|1,并且,f(x)+,求证,:,f,(,x,),是周期函数,.,证明：由已知,f(x)+,所以,(2),于是,f(x,1),f(x),f(x,2),f(x,1),，,记这个差为,d,同理,f(x,3),f(x,2),f(x,2),f(x,1),d f(x,n,1),f(x,n),f(x,n),f(x,n,1),f(x,1),f(x),d,即是说数列,f(x,n),是一个以,f(x),为首项，,d,为公差的等差数列因此,f(x,n),f(x),nd,f(x),nf(x,1),f(x),对所有的自然数,n,成立，而对于,xR,，,|f(x)|1,，即,f(x),有界，故只有,f(x,1),f(x),0,即,f(x,1),f(x) xR,所以,f(x),是周期为,1,的周期函数,.,例,14,设,f,(,x,),的定义域为,R,，其图像关于直线,x,2,和,x,0,对称，且,x,4,，,6,时，,f,(,x,),2,x,+ 1,，那么在区间,2,，,0,上，,f,1,(,x,),的解析式为,（,A,）,y,log,2,(,x,4),（,B,）,y,4,log,2,(,x,1),（,C,）,y,4+log,2,(,x,1),（,D,）,y,log,2,(,x,1),【分析】,如何用好,x,2,，,x,0,是图像对称轴这个条件，并把两者综合而得新的性质？,这就要想到：,y,f,(,x,),图像关于,x,a,对称,x,R,时有,f,(,x,),f,(2,a,x,),【解】,y,f,(,x,),的图像关于,x,0,对称，,f,(,x,),f,(,x,),，,y,f,(,x,),的图像关于,x,2,对称，,f,(,x,),f,(4+,x,),于是有,f,(,x,),f,(4+,x,),f,(,x,),是周期为,4,的函数，,当,2,x,0,时，,0,x,2,且,x,+ 44,，,6,y,f,(,x,),的图像关于,x,0,对称，,f,(,x,),f,(,x,),周期为,4,，,f,(,x,),f,(,x,+4),2,x,+4,+1,即在,2,，,0,上，,y,f,(,x,),2,x,+4,+1, 2,x,+4,y,1,x,+4,log,2,(,y,1),x,4,log,2,(,y,1), ,2,，,0,上，,f,(,x,),4,log,2,(,x,1),应选（,B,）,1.,数列,a,n,中，,a,1,a,，,a,2,b,，且,a,n,2,a,n,1,a,n,(,n,N,),求,a,100,；,求,S,100,.,解：由已知,a,1,a,，,a,2,b,，所以,a,3,b,a,，,a,4,a,，,a,5,b,，,a,6,a,b,，,a,7,a,，,a,8,b,，,由此可知，,a,n,是以,6,为周期的周期数列，于是,a,100,a,616,4,a,4,a,又注意到,a,1,a,2,a,3,a,4,a,5,a,6,0,S,100,a,1,a,2,a,3,a,96,a,97,a,98,a,99,a,100,0,a,97,a,98,a,99,a,100,a,1,a,2,a,3,a,4,a,b,(b,a),(,a),2b,a,2.,已知函数,f,(,x,),的定义域为,N,，且对任意正整数,x,，都有,f,(,x,),f,(,x,1),f,(,x,1),若,f,(0),2004,，求,f,(2004),解：因为,f,(,x,),f,(,x,1),f,(,x,1),所以,f,(,x,1),f,(,x,),f,(,x,2),两式相加得,0,f,(,x,1),f(x,2),即：,f,(,x,3),f,(,x,),f,(,x,6),f,(,x,),练习,.1.,数列,a,n,中，,a,1,a,，,a,2,b,，且,a,n,2,a,n,1,a,n,(,n,N,),求,a,100,；,求,S,100,.,2.,已知函数,f(x),的定义域为,N,，且对任意正整数,x,，都有,f,(,x,),f(x,1),f,(,x,1) ,f,(0),2004,，求,f,(2004),3.,函数,f(x),是定义域为,R,且以,2,为周期的周期函数，当,x,0,2,时，,f(x)=|x,-1,|,；,当,x,2,k,2,k,+2(,k,Z),时，求,f(x),的解析式，并证明,f(x),是偶函数。,例,15,已知 ，函数,g,(,x,),的图像与函数,y,f,1,(,x,+1),的图像关于直线,y,x,对称，则,g,( 5 ),【分析】,很明显，,g,(,x,),是,f,1,(,x,+1),的反函数只要求出,f,1,(,x,+1),的反函数解析式，就得到,g,(,x,),，不难得到,g,( 5 ),f,1,(,x,+1),的反函数不是,f,(,x,+1),，为什么？看了下面的解法，应当能回答出来,【解法,1,】,y,f,1,(,x,+1),f,(,y,),f,f,1,(,x,+1),x,+1,x,f,(,y,),1,y,f,1,(,x,+1),的反函数是,y,f,(,x,),1,即,g,(,x,),f,(,x,),1,【解法,2,】,y,f,(,x,),和,f,1,(,x,),的图像关于,x,y,对称，当,f,1,(,x,),沿,x,轴负方向平移,1,个单位时，“镜子”,y,x,另一侧的“像”,f,(,x,),沿,y,轴负方向平移,1,个单位，于是,f,1,(,x,+1),和,f,(,x,),1,互为反函数,即,g,(,x,),f,(,x,),1,，下略,练习,1,已知函数 ，函数,y=g(x),的图像与,y,=,f,-1,(,x,+1),的图像关于直线,y=x,对称，则,g,(11),的值为：,A,B,1 C,D,2,已知定义在,R,上的函数,f(x),的反函数为,f,-1,(x),，且函数,y=,f,(,x,+1),的反函数为,y,=,f,-1,(x,+1,),。若,f,(1)=3999,求,f,(2000),3.,对于任意的,函数,f(x),表示,x,2,-4,x,+3,中的较大者,则求函数,f(x),的解析式及,f(x),的最小值,. (,f(x),min,=,2),五、一元二次函数,例,15,如果 是函数,y,(,m,1),x,2,(,m,2,+,m,2),x,1,递增区间的子集，那么,m,的取值范围是,_,【解】,依题意,解之，得,4,m,1,例,16,在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得,n,次测量分别得到,a,1,，,a,2,，,，,a,n,，共,n,个数据我们规定所测量物理量的“最佳近似值”,a,是这样一个量：与其他近似值比较，,a,与各数据的差的平方和最小依此规定，从,a,1,，,a,2,，,，,a,n,推出的,a,=,_,【讲解】,用谁做为这个物理量的近似值效果最佳？,依题意，这个最佳近似值,a,，应当使函数,y,(,x,a,1,),2,+(,x,a,2,),2,+ +(,x,a,n,),2,取最小值,【解】,设,x,是该物理量的一个近似值，建立函数,即,依题意,时，取最小值,该函数，当,【例,17,】,已知函数,，,的最小值为,m,2,+1,，求函数,f,(,x,),的最大值及取得最大值时的,x,值,2cos,2,x,【讲解】,首先要统一变元，由于有正弦一次项，故,cos,2,x,要化为,1,sin,2,x,，若再设,t,sin,x,，则,y,2,t,2,+2,mt,+,m,2,4,m,+1,，,t,1,，,1,问题转化为求闭区间,1,，,1,上的一个二次函数的最值问题,这类问题首先要讨论对称轴与闭区间的相对位置,m,值,对称轴,位 置,对称轴位置,【解】,设,t,= sin,x,，则,对称轴方程为,m,2,t,1, 1,，,（,1,）,0,m,2,时，,当,0,m,2,时， ，,这时，,m,0,，,取得最大值时， ，,k,Z,（,2,）,2,m,0,时， ,当,2,m,0,时， ,这时，,m,0,，,取得最大值时， ，,k,Z,（,3,）,m,2,时，,当,m,2,时， ,这时，函数在,1,，,1,上递减，,m,2,+ 4,m,4,0,解之，,且,，,取最大值时， ，,k,Z,综上所述，得,k,Z,k,Z,k,Z,x,的值,3,3,y,的最大值, 0,，,2 ,(,2),m,的取值,例,18,已知,f,(,x,)=,x,2,+,ax,+,b,(,a,，,b,R),的定义域为,1,，,1,(),记,|,f,(,x,)|,的最大值,M,，求证：,；,(),求出,(),中的 时，,f,(,x,),的表达式,【讲解】,已知条件是,x,1,，,1,且,|,f,(,x,)|,M,像这样在一个区间上的所有各点都,满足的性质，在各特殊点上依然成立,即,|,f,(1)|,|1+,a,+,b,|,M,|,f,(0)|,|,b,|,M,|,f,(,1)|,|1,a,+,b,|,M,接下来就要考虑由形如,M,|,m,|,的三个不等式能否构造出常数 ？或者构造出,4,M,2,？这自然想到绝对值不等式的性质：,|,x,1,|+|,x,2,| + +|,x,n,|,x,1,+,x,2,+,+,x,n,|,于是，能否巧妙安排,x,1,x,2,x,3,x,4,使其和为,2,？,另一个思路是,反证法,即若,M,由三个不等式能否导出矛盾？,(),【证法,1,】,依题意,x,1,，,1,时， 总有,|,f,(,x,) |,M,，因此有,|,f,(1) |,|1 +,a,+,b,| ,M,2 |,f,(0)|,|2,b,|,|,2,b,|2,M,|,f,(,1) |,|1,a,+,b,|,M,相加得,|1 +,a,+,b,| + |,2,b,| + |1,a,+,b,|4,M, |(1 +,a,+,b,) +(,2,b,) +(1,a,+,b,)|,|1 +,a,+,b,| + |,2,b,| + |1,a,+,b,|, 24,M,即,M,(),【证法,2,】,设,M, ,依题意,|,f,(,x,)| ,M,在,1,，,1,上成立，,从而有,|,f,(1)| ,M,|,f,(0)| ,M, ，,|,f,(,1)| ,M,即,由, + ,得,1,2 + 2,b,1,即,与,矛盾,故 不能成立因此， ,(),解：,由 ，有, ,同时还有,两式相加，得,由,，,知，,把 代入,，,得,a,0,， ,