阿贝尔群和循环群

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,5-5,阿贝尔群和循环群,定义,5-5.1,：,如果群,中的运算*是可交换的，则称该群为阿贝尔群，或称交换群。,例题,1,： 设,G,为所有,n,阶非奇（满秩）矩阵的集合，矩阵乘法运算。作为定义在集合,G,上的二元运算，则,是一个不可交换群。,解：,任意两个,n,阶非奇矩阵相乘后，仍是一个非奇矩阵，所以运算,是封闭的。,矩阵乘法运算是可结合的。,n,阶单位阵,E,是,G,中的幺元。任意一个非奇阵,A,存在着唯一的逆阵，使,A,A,-1,=A,-1,A=E,但矩阵乘法是不可交换的，因此，,是一个不可交换群。,定理,5-5.1:,设,是一个群，,是阿贝尔群的充要条件是对任意的,a,bG,有,(a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b),。,证明,:,充分性,设对任意,a,bG,有,(a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b),因为,a*(a*b)*b=(a*a)*(b*b),=(a*b)*(a*b),=a*(b*a)*b,所以,a,-1,*(a*(a*b)*b)*b,-1,=a,-1,*(a*(b*a)*b)* b,-1,即得,a*b=b*a,因此，群,是阿贝尔群。,必要性设,是阿贝尔群，则对任意的,a,bG,有,a*b=b*a,因此,(a*a)*(b*b)=a*(a*b)*b,=a*(b*a)*b,=(a*b)*(a*b),定义,5-5.2,：,设,为群，若在,G,中存在一个元素,a,使得,G,中的任意元素都由,a,的幂组成，则称该群为循环群，元素,a,称为循环群,G,的生成元。,例如：,60,就是群,的生成元，因此，该群是循环群。,定理,5-5.2,：,任何一个循环群必定是阿贝尔群。,证明： 设,是一个循环群，它的生成元是,a,那么，对于任意的,x,yG,必有,r,sZ,，,使得,x=a,r,和,y=a,s,而且,x,*,y=a,r,*,a,s,=a,r+s,=a,s+r,=a,s,*,a,r,=y,*,x,因此，,是一个阿贝尔群。,对于有限循环群，有下面的定理。,定理,5-5.3,：,设,是一个由元素,aG,生成的有限循环群。如果,G,的阶数是,n,即,|G|=n,则,a,n,=e,且,G=a,，,a,2,，,a,3,，,，,a,n-1,a,n,=e,，,其中，,e,是,中的幺元，,n,是使,a,n,=e,的最小正整数（称,n,为元素,a,的阶）。,证明： 假设对于某个正数,m,，,mn,，有,a,m,=e,。,那么，由于,是一个循环群，所以,G,中的任何元素都能写为,a,k,(kZ,),，,而且,k=mq+r,其中，,q,是某个整数，,0rm,。,这就有,a,k,=a,mq+r,=(a,m,),q,*a,r,=a,r,这就导致,G,中每一个元素都可表示成,a,r,(0rm),，,这样，,G,中最多有,m,个不同的元素，与,|G|=n,相矛盾。所以,a,m,=e(mn),是不可能的。,进一步证明,a,，,a,2,，,a,3,，,，,a,n-1,a,n,都不相同。用反证法。假设,a,i,= a,j,其中,1ijn,就有,a,i,= a,i,*,a,j-i,即,a,j-i,=e,而且,1j-in,这已经由上面证明是不可能的。所以，,a,，,a,2,，,a,3,，,，,a,n-1,a,n,都不相同，因此,G=a,，,a,2,，,a,3,，,，,a,n-1,a,n,=e,例题,2,：,设,G=,，,，,，,，在,G,上定义二元运算*如表,5-5.2,所示。,表,5-5.2,*,解：,由运算表,5-5.2,可知运算*是封闭的，,是幺元。,，,和,的逆元分别,是,，,和,。,可以验证运算*是可结合的。,所以,是一个群。,在这个群中，由于,2, ,3, ,4,以及,2,2, ,4,故群,是由,或,生成的，因此,是一个循环群。,从本例可以看到：,一个循环群的生成元可以不是唯一的。,作业,5-5,P200 (1),(4),5-7,陪集与拉格朗日定理,定义,5-7.1,：,设,是一个群，,A,，,B,P,(,G),且,A,，,B,，,记,AB=a*b|aA,bB,和,A,-1,=a,-1,|a A ,，,分别称为,A,，,B,的积和,A,的逆。,定义,5-7.2,：,设,是群,的一个子群,aG,，,则集合,aH,称为由,a,所确定,的,H,在,G,中的左陪集， 简称,为,H,关于,a,的左陪集,，记为,aH,。,元素,a,称为陪集,aH,的代表元素。,（Ha）,（右陪集）,（右陪集）,(Ha),(Ha),例,1,：,是群,的子群，,则,0,I,E,=,I,E, 2,I,E,=,I,E, -2,I,E,=,I,E, ,1,I,E,=,I,o, -1,I,E,=,I,o, 3,I,E,=,I,o,，,所以，,I,E,I,o,是,对于,I(,整数集,),的一个划分。,定理,5-7.1,（拉格朗日定理）,设,是群,的一个子群，那么,R=|aG,bG,且,a,-1,*bH,是,G,中的一个等价关系。对于,aG,若记,a,R,=x|xG,且,R,，,则,a,R,=aH,如果,G,是有限群，,|G|=n,|H|=m,则,m|n,。,证明：,(a),对于任一,aG,必有,a,-1,G,使,a,-1,*a=eH,所以,R,。,若,R,则,a,-1,*bH,，,因为,H,是,G,的子群， 故,(a,-1,*b),-1,=b,-1,*aH,，,所以, R,。,若,R, R,则,a,-1,*bH, b,-1,*cH,故,a,-1,*b*b,-1,*c=a,-1,*cH,所以,R,。,这就证明了,R,是,G,中 的一个等价关系。,对于,aG,我们有：,ba,R,当且仅当,R,即当且仅当,a,-1,*bH,而,a,-1,*bH,就是,baH,。,因此，,a,R,=aH,。,(b),由于,R,是,G,中的一个等价关系，所以必定将,G,划分成不同的等价类,a,1,R,a,2,R,，,a,k,R,，,使得,G =,又因，,H,中任意两个不同的元素,h,1,h,2,aG,必有,a*h,1,a*h,2,所以,|a,i,H|=|H|=m,i=1,2,，,k,。,因此,推论,1,：,任何质数阶的群不可能有非平凡子群。,这是因为，如果有非平凡子群，那么该子群的阶必定是原来群的阶的一个因子，这就与原来群的阶是质数相矛盾。,推论,2,：,设,是,n,阶有限群，那么对于任意,的,aG,a,的阶必是,n,的因子且必有,a,n,=e,这里,e,是群,中的幺元。如果,n,为质数，则,必是循环群。,这是因为，由,G,中的任意元素,a,生成的循环群,H=a,i,|iI,aG,，,一定是,G,的一个子群。如果,H,的阶是,m,，,那么由定理,5-5.3,可知,a,m,=e,即,a,的阶等于,m,。,由拉格朗日定理必有,n=mk, kI,因此，,a,的阶,m,是,n,的因子，且有,a,n,=a,mk,=(a,m,),k,=e,k,=e,。,因为质数阶群只有平凡子群，所以，质数阶群必定是循环群。,必须注意，群的阶与元素的阶这两个概念的不同。,例题,1,：设,K=e,a,b,c,在,K,上定义二元运算*如表,5-7.1,所示。,表,5-7.1,*,eabc,e,a,b,c,eabc,aecb,bcea,cbae,证明,是一个群，但不是循环群。,证明：,由表,5-7.1,可知，运算*是封闭的和可结合的。幺元是,e,，,每个元素的逆元是自身，所以，,是群。因为,a,b,c,都是二阶元，故,不是循环群。我们称,为,Klein,四元群。,Klein,四元群的特点为： 群的阶数是,4,，除,e,以外的三个元素,a,b,c,都是二阶元，且,a*b=b*a=c, b*c=c*b=a, a*c=c*a=b,例题,2,：,任何一个四阶群只能是四阶循环群或者,Klein,四元群。,证明：,设四阶群为,，,其中,e,是幺元。当四阶群含有一个四阶元素时，这个群就是循环群。当四阶群不含有四阶元素时，则由推论,2,可知，除幺元,e,外，,a,b,c,的阶一定都是,2,。,a*b,不可能等于,a,b,或,e,否则将导致,b=e,a=c,或,a=b,的矛盾，所以,a*b=c,。,同样地有,b*a=c,以及,a*c=c*a=b,b*c=c*b=a,。,因此，这个群是,Klein,四元群。,作业,5-7,P211 （2）,（5）,