哈工大断裂力学讲义ch2

,*,*,第二章 应力强度因子的计算,1,计算 值的几种方法,1.,数学分析法,:,复变函数法、积分变换；,2.,近似计算法：边界配置法、有限元法；,3.,实验标定法：柔度标定法；,4.,实验应力分析法：光弹性法,.,2,2-1 三种基本裂纹应力强度因子的计算,一.无限大板型裂纹应力强度因子的计算,计算 的基本公式,1.在“无限大”平板中具有长度为 的穿透板厚的裂,纹表面上,距离 处各作用一对集中力,P,选取复变解析函数：,3,边界条件：,除去 处裂纹为自由,表面上,如切出 坐标系内的第一象限的,薄平板，在 轴所在截面上内力,总和为,P,以新坐标表示,4,2.在无限大平板中,具有长度为 的穿透板厚的裂纹表,面上,在距离 的范围内受均布载荷,q,作用,利用叠加原理,集中力,令,5,当整个表面受均布载荷时,3.受二向均布拉力作用的无限大平板,在 轴上有一系列,长度为 ,间距为 的裂纹,单个裂纹时,6,边界条件,是周期的:,7,采用新坐标:,当 时，,8,取,-,修正系数,大于1,表示其他裂纹存在对,的影响,若裂纹间距离比裂纹本身尺寸大很多（ ）可不,考虑相互作用,按单个裂纹计算.,9,二.无限大平板、型裂纹问题应力强度因子的计算,1.型裂纹应力强度因子的普遍表达形式(无限大板):,2.无限大平板中的周期性的裂纹,且在无限远的边界上处于,平板面内的纯剪切力作用.,10,3.型裂纹应力强度因子的普遍表达形式(无限大板):,4.型周期性裂纹:,11,3-2 深埋裂纹的应力强度因子的计算,1950年,格林和斯内登分析了弹,性物体的深埋的椭圆形裂纹邻域内的,应力和应变得到椭圆表面上任意点,沿 方向的张开位移为,其中:,第二类椭圆积分,12,1962年,Irwin利用上述结果计算在这种情况下的应,力强度因子,原裂纹面,13,假设:椭圆形裂纹扩展时,边缘上任一点 有,均在 的平面内,14,新的裂纹面仍为椭圆,长轴,短轴,原有裂纹面:,扩展后裂纹面:,以 ， 代入,原有裂纹面的边缘 向位移,15,16,设各边缘的法向平面为平面应变,有:,当 时，,17,在椭圆的短轴方向上，即 ，有,-椭圆片状深埋裂纹的应力强度因子,当 时，,-圆片状深埋裂纹应力强度因子,18,3-3 半椭圆表面裂纹的应力强度因子计算,一、表面线裂纹的应力强度因子,欧文假设：,半椭圆片状表面线裂纹 与,深埋椭圆裂纹的 之比等于边裂,纹平板 与中心裂纹平板的,值之比,又有,裂纹长度,板宽度,19,当 时，,-椭圆片状表面裂纹A处的 值,20,二、表面深裂纹的应力强度因子,深裂纹：引入前后二个自由表面,使裂纹尖端的弹性约束减少,裂纹容易扩展,增大,弹性修正系数，由实验确定,一般情况下,前自由表面的修正系数,后自由表面的修正系数,21,巴里斯和薛,时，,接近于单边切口试样,时，,接近于半圆形的表面裂纹,利用线性内插法,利用中心穿透裂纹弹性体的厚度校正系数,板厚,裂纹深度,浅裂纹不考后自由表面的影响,22,柯巴亚希,.,沙,.,莫斯,表面深裂纹的应力强度因子（应为最深点处）,23,2-4 其他问题应力强度因子的计算,一、.型复合问题应力强度因子的计算,复变数：,取复变解析函数：,取应力函数,或,满足双调和方程,24,分析第一应力不变量,对于.型复合裂纹,型：,型：,25,、型复合裂纹在裂纹前端处的不变量,取复数形式的应力强度因子,又,26,若采用,选择 满足具体问题的应力边界条件,-复变解析函数表达的双调和函数的普遍形式,或复变应力函数为普遍形式,利用这个方法可以求解很多”无限大”平板中的穿,透裂纹问题.,27,二、无限宽板穿透裂纹应力强度因子的计算,实际情况应看成有限宽计算.必须考虑的自由边界对,裂纹尖端应力场和位移场的影响.在理论上得不到完全解.,通过近似的简化或数值计算方法.,方法:边界配置法,有限单元法等.,边界配置法,:将应力函数用无穷级数表达,使其满足,双调和方程和边界条件,担不是满足所有的边界条件,而,是在有限宽板的边界上,选足够多的点,用以确定应力函,数,然后再由这样符合边界条件的应力函数确定 值.,边界配置法:只限于讨论直边界问题.,28,1.威廉氏(Williams)应力函数和应力公式,Williams应力函数,满足双调和方程,边界条件,:裂纹上、下表面, 均为零,在边界上的边界条件的满足如下,确定:在有限宽板的边界上选取足够,的点,使这一点的边界条件满足.,29,为了计算方便引入无量纲量,试件厚度,试件宽度,30,2. 的计算,针对型裂纹,当 时,当 时, ,当 =1时,在乘 后与,无关.而当 =2,3时,在乘 之后与 有关,当,都为零,31,3.借用无裂纹体内的边界条件求系数,取含裂纹三点弯曲试样的左半段的,受力状态和不含裂纹的悬臂梁受力是一,样的.,取 个点分析,以 有限级数代,替无限级数精度足够.,32,对于不同的点有,其中 标准试件,33,3-5 确定应力强度因子的有限元法,不同裂纹体在不同的开裂方式下的应力强度因子是不,同的.一些实验方法解析方法都有各自的局限性,而有限元,等数值解法十分有效地求解弹塑性体的应力和位移场,而,应力和位移场与 密切相关,所以,可以通过有限元方法,进行应力强度因子的计算.,一.位移法求应力强度因子,型:,34,有限元法,裂纹尖端位移,外推法,二.应力法求应力强度因子,型:,有限元法,利用刚度法求应力时,应力场比,位移场的精度低(因应力是位移对坐,标的偏导数).,35,三.间接法求应力强度因子(应变能释放率法),四. 积分法,:围绕裂纹尖端的闭合曲线,:积分边界上的力,:边界上的位移,应变能密度,线弹性问题:,36,2-6 叠加原理及其应用,一. 的叠加原理及其应用,线弹性叠加原理,:当n个载荷同时作用于某一弹性体,上时，载荷组在某一点上引起的应力和位移等于单个载,荷在该点引起的应力和位移分量之总和.,叠加原理适用于,证明:,由叠加原理有,37,实例,:铆钉孔边双耳裂纹,叠加原理:,其中:,圆孔直径,板有宽度:,- 板宽的修正,38,有效裂纹长度,确定 :无限板宽中心贯穿裂纹受集中力 作用,有限板宽:,39,二.应力场叠加原理及其应用,:无裂纹时外边界约束在裂纹所处位置产生的内应力场,应力场叠加原理:在复杂的外界约束作用下,裂纹前端,的应力强度因子等于没有外界约束,但在裂纹表面上反向,作用着无裂纹时外界约束在裂纹出产生的内应力 所致,的应力强度因子.,40,实例,:旋转叶轮(或轴)内孔端裂纹,41,1.求解无裂纹时,旋转体在无裂纹部位的内应力,由弹性力学有,为叶轮密度,为角速度,为叶轮内径,为叶轮外径,为计算点的位置,平面应力,平面应变,一般情况下:,42,2.根据类比原则,比较两种情况:内孔半径一致,裂纹大小及组态一样,裂纹面上下受力一致,外边界无约束,唯一不同的是一个是有限体,一个是无限体,由于边界是自由的,43,带中心孔的无限大板,受双向拉应力 时,孔边附近的应力(注意无裂纹时),由弹性力学知,3.根据叠加原理,44,2.7 实际裂纹的近似处理,利用断裂力学进行安全评价时,首先确定缺陷的,大小,部位和形状,偏于安全考虑:夹杂、空洞、气孔、,夹杂性裂纹,裂纹应针对实际问题进行分析,一.缺陷群的相互作用,1.垂直外应力的并列裂纹,并列裂纹的作用使下降 ,工程上偏安全考虑,并列裂纹作为单个裂纹考虑,;,对于密集的缺陷群,假定它们在空间规则排列,并可把,空间裂纹简化成平面裂纹,.,45,2.与外应力垂直的面内共线裂纹,如裂纹中心间距大于缺陷尺寸五倍以上,可做为单个,裂纹处理,否则必须考虑修正.,二.裂纹形状的影响,通过探伤手段,裂纹形状的影响,1.探伤结果是面积,当缺陷的面积相同时, 的椭圆裂纹 最大,以 的椭圆裂纹分析是偏于安全的,46,2.探伤的结果是最大线尺寸,当最大直径相同时,圆裂纹的 比椭圆裂纹大,以圆裂纹估算偏于安全,当缺陷长度一样时,贯穿裂纹 比其它裂纹的大,以贯穿裂纹估算偏于安全,47,2.8 塑性区及其修正,小范围屈服:屈服区较小时(远远小于裂纹尺寸),线弹性断裂力学仍可用,一.塑性区的形状和大小,1.屈服条件的一般形式,屈服条件,:材料超过弹性阶段而进入塑性阶段的条件.,单向拉压:,薄壁圆筒扭转:,复杂情况:,48,2.根据屈服条件确定塑性区形状大小,a.利用米塞斯(von.mises)屈服条件,当复杂应力状态下的形状改变能密度等于单向拉伸屈,服时的形状改变能密度,材料屈服,即,对于型裂纹的应力公式,平面应力,49,-平面应力下,型裂纹前端屈服区域的边界方程,当 时,平面应变,-平面应变下, 型裂纹前端屈服区的边界方程,当 时,50,b.利用Tresca(屈雷斯加),屈服条件,在复杂受力下,当最大切应力等于材料弹性拉伸时的,屈服切应力,材料即屈服,.,比较发现,:,平面应变塑性区尺寸小,平面应变处于三,向拉伸状态不易屈服,.,平面应变的有效屈服应力 比 高,塑性区中的最大应力,平面应变,平面应力,51,3.,应力松弛的影响,由于塑性变形引起应力松弛,应力松弛,依据,:,单位厚含裂纹平板,在外力作用下发生局部屈服后,其净截面的内力应当与外界平衡,.,塑性区尺寸增大,(,图中虚线所示,),此曲线下的面积为,=,外力,52,应力松弛后,:,=,外力,屈服区内的最大应力称为有效屈服应力,又,BD,与,CE,下的面积应相等,(,平面应力,),在平面应力条件下,考虑应力松弛,轴的屈服区扩大,1,倍,.,53,平面应变条件下,:,注意,:,上述分析没有考虑材料强化,材料强化,.,裂纹尖,端塑性区的尺寸变小,对于设计是偏于安全的,.,54,二,.,有效裂纹尺寸,基本原理,:,设想裂纹的计算边界由,向右移到,( ),以便使弹,性区域内按线弹性理论所获得的应,力 和实际应力曲线 基本,符合,.,有效裂纹尺寸,根据上述基本原理有：,55,平面应力：,平面应变：,裂纹的计算边界正好在塑性区的中心,56,三,.,应力强度因子的计算,1.,表达式简单的可用解析式,a.,无限宽板中心穿透裂纹,线弹性,:,小范围屈服,:,平面应力,:,平面应变,:,-,增大因子,塑性区修正因子,57,b.,深埋裂纹,(,椭圆片状,),平面应变,:,线弹性,:,小范围屈服,:,58,c.,表面线裂纹,形状因子,59,d.,表面深裂纹,很小,令,=0.212,60,