应力状态和强度理论

,汪越胜,Wang Yue-Sheng,（,1,）建,-,坐标系,选定比例尺,二、应力圆作法,1.,x,y,x,x,yx,xy,y,y,应力状态分析,-,图解法,D,xy,O,（,2,）量取,OA= ,x,AD,= ,xy,得,D,点,x,y,x,x,yx,xy,x,A,OB= ,y,（,3,）量取,BD= ,yx,得,D,点,y,B,yx,D,（,4,）连接,DD,两点的直线与,轴相交于,C,点,（,5,）以,C,为圆心,CD,为半径作圆,该圆就是相应于该单元体的 应力圆,C,（,1,）点面之间的对应关系,:,单元体某一面上的应力,必对应于应力圆上某一点的坐标,.,说 明,A,B,（,2,）夹角关系,:,圆周上任意两点所引半径的夹角等于单元体上对应两截面夹角的两倍,.,半径旋转方向与方向面法线旋转方向一致,.,2,O,C,B,A,7-3,平面,应力状态分析,-,图解法,第七章 应力状态和强度理论,7-5,广义胡克定律,7-6,复杂应力状态的应变能密度,7-7,强度理论概述,7-8,四种常用强度理论,时，,1,）单向应力状态：,横向线应变：,2,）纯剪应力状态：,时，,t,x,g,xy,s,x,y,7-5 广义,胡,克定律,一、各向同性材料的广义胡克定律,3,、空间应力状态：,(1),正应力,:,拉应力为正,压应力为负,符号规定,(2),切应力,:,对单元体内任一点取矩,若产生的矩为顺时针,则,为正,;,反之为负,(3),线应变,:,以伸长为正,缩短为负,;,(4),切应变,:,使直角减者为正,增大者为负,.,7-5 广义,胡,克定律,x,y,z,O,t,xy,t,xz,s,x,t,yx,s,y,t,yz,s,z,t,zx,t,zy,t,yx,s,y,t,yz,s,z,t,zx,t,zy,t,xy,t,xz,s,x,六个应力分量,:,六个应变分量,:,上式称为广义胡克定律,沿,x,y,z,轴的线应变,在,xy,yz,zx,面上的切应变,7-5 广义,胡,克定律,x,y,z,O,t,xy,t,xz,s,x,t,yx,s,y,t,yz,s,z,t,zx,t,zy,t,yx,s,y,t,yz,s,z,t,zx,t,zy,t,xy,t,xz,s,x,对于,平面应力状态,（,假设,z,= 0,xz,= 0,yz,= 0,）,x,y,z,xy,x,y,yx,x,y,xy,yx,7-5 广义,胡,克定律,主应力,-,主应变的关系,平面应力状态下,设,3,= 0,已知,1,2,3,;,1,2,3,为主应变 （空间应力状态）,7-5 广义,胡,克定律,二、各向同性材料的体积应变,1,2,3,a,1,a,2,a,3,构件每单位体积的体积变化,称为体积应变用,q,表示,.,各向同性材料在三向应力状态下的体应变,如图所示的主单元体,三个边长为,d,x, d,y, d,z,变形后的边长分别为,变形后单元体的体积为,d,x,(1+,d,y,(1+,2, ,d,z,(1+,3,V,1,=,d,x,(1+,d,y,(1+,2,d,z,(1+,3,7-5 广义,胡,克定律,变形前的体积：,V=,d,x,d,y,d,z,体积应变,为,7-5 广义,胡,克定律,任一点处的体积应变与三主应力之和成正比,!,对平面纯剪应力状态：,小变形条件下，切应力不引起各向同性材料的体积改变。,材料的体积应变只与三个线应变有关：,(,体积弹性摸量,),(,体积应力，第一不变量,),(,平均应力,/,静水压力,),K,0,0.5,（ “,=”:,不可压）,7-5 广义,胡,克定律,例 边长,a,=0.1m,的铜立方块，无间隙地放入体积较大、变形可忽略的钢凹槽中，如图,a,所示。已知铜的弹性模量,E,=100GPa,，泊松比,=0.34,。当受到,F,=300kN,的均布压力作用时，试求铜块的主应力、体应变以及最大切应力。,解：铜块应力状态如图,b,所示，横截面上的压应力为：,s,y,s,x,s,z,(b),y,x,z,(a),F,a,a,a,联解可得：,受钢槽的限制，铜块在另两个方向的应变为零，并产生压应力，即有：,7-5 广义,胡,克定律,利用空间应力状态下最大切应力的计算式可得：,则铜块的主应力为：,由此可得其体应变为：,7-5 广义,胡,克定律,应变能密度,单位体积的应变能：,1,、单向应力状态,2,、三向应力状态,d,z,d,y,d,x,s,s,d,z,d,y,d,x,s,2,s,1,s,3,代人广义,虎克定律,:,7-6,应变能密度,整理得：,用,v,d,表示与单元体形状改变相应的那部分应变能密度,称为,畸变能密度,用,v,V,表示单元体体积改变相应的那部分应变能密度,称为,体积改变能密度,应变能密度,v,等于两部分之和：,7-6,应变能密度,一般情况，单元体既有体积改变，也有形状改变。,=,+,平均应力：,(,仅有体积改变,),(,仅有形状改变,),=,+,1,s,2,s,3,s,s,m,s,m,s,m,s,2,-s,m,=s,2,s,1,-s,m,=s,1,s,3,-s,m,=s,3,体积改,变能密度,(,畸变能,密度,),7-6,应变能密度,主单元体,(,各棱边长度相等,),分解为图示两种,单元体的叠加，有,图,a,的体积改变能密度等于图,b,的应变能密度，而图,a,的形状改变能密度等于图,c,所示单元体的应变能密度，,(a),(c),(b),体积改变能密度,:,7-6,应变能密度,畸变能密度,:,7-6,应变能密度,s,s,1,）单向应力状态：,塑性屈服：,脆性断裂：,s,和,b,可由实验测得,n,为安全系数。,7-7,强度理论,1,）纯剪应力状态：,塑性屈服：,脆性断裂：,s,和,b,可由实验测得,n,为安全系数。,t,7-7,强度理论,3,）复杂应力状态,不能分别用上述公式来建立强度条件，因为,与,之间会,相互影响。,?,t,s,7-7,强度理论,研究复杂应力状态下材料破坏的原因，根据一定的假设来确定破坏条件，从而建立强度条件，这就是强度理论的研究内容。,4,）材料主要的破坏形式,（常温、静载）,7-7,强度理论,根据一些实验资料，针对上述两种破坏形式，分别针对它们发生破坏的原因提出假说，即为,强度理论,。,（,1,）脆性断裂,:,无明显的变形下突然断裂,如铸铁：拉伸、扭转等,（,2,）塑性屈服,:,产生大量塑性变形后断裂，低碳钢：拉伸、扭转等,强度理论：,解释脆性断裂,解释塑性屈服,最大拉应力理论,最大拉应变理论,最大切应力理论,畸变能密度理论,第一类强,度理论,第二类强,度理论,强度条件：,1,）最大拉应力理论,(,第一强度理论,),假设最大拉应力,1,是引起材料,脆性断裂,的因素。不论在什么应力状态下，只要三个主应力中的最大拉应力,1,达到极限应力,b,，材料就发生脆性断裂，即：,a),与,2,、,3,无关；,b),应力,b,可用单向拉伸试验来确定。,强度理论,四个常用的强度理论,假设：最大伸长线应变,1,是引起,脆性断裂,的主要因素，不论在什么应力状态下，只要,最大伸长线应变,1,达到极限值,u,，材料就发生断裂，即：,u,由单向拉伸测定：,2,）最大伸长线应变理论,(,第二强度理论,),因此有：,强度条件为：,因为：,强度理论,四个常用的强度理论,3,）最大切应力理论,(,第三强度理论,),假设最大切应力,max,是引起材料,塑性屈服,的因素，即无论什么应力状态,只要：,材料就屈服,.,强度理论,四个常用的强度理论,屈服条件,在复杂应力状态下一点处的最大切应力为,假设畸变能密度,v,d,是引起材料,塑性屈服,的因素，即无论什么应力状态,只要：,材料就屈服,.,4,）畸变能密度理论,(,第四强度理论,),单拉屈服时有：,可通过单拉试验来确定。,强度理论,四个常用的强度理论,强度条件：,强度理论的统一形式：,最大拉应力,(,第一强度,),理论：,最大伸长线应变,(,第二强度,),理论：,最大切应力,(,第三强度,),理论：,r,称为相当应力，分别为：,畸变能密度,(,第四强度,),理论：,强度理论,四个常用的强度理论,应用范围：,强度理论,应用,（,2,）塑性材料选用第三或第四强度理论,;,（,3,）在二向和三向等拉应力时,无论是塑性还是脆性都发生脆性,破坏,故选用第一或第二强度理论,;,（,1,）一般脆性材料选用第一或第二强度理论,;,（,4,）在二向和三向等压应力状态时,无论是塑性还是脆性材料都,发生塑性破坏,故选用第三或第四强度理论,.,例,1,两危险点的应力状态如图，,=,，由第三、第四强度理论分别比较其危险程度。,s,t,(a),s,t,(b),解：对图,a,所示应力状态，因为,强度理论,应用,所以：,s,t,(a),强度理论,应用,对图,b,所示应力状态，有：,所以：,t,s,强度理论,应用,由第三强度理论，图,b,所示应力状态比图,a,所示的安全；而由第四强度理论，两者的危险程度一样。,注意：,图,a,所示应力状态实际上为拉扭和弯扭组合加载对应的应力状态，其相当应力如下：,请记住该结果，便于组合变形的强度校核。,s,t,(a),强度理论,应用,A,例,2,两端简支的工字钢梁承受荷载如图,a,所示。已知,材料（,Q,235,钢）的许用应力为,=170MPa,和,= 100MPa,。试按强度条件选择工字钢号码（复杂应力状态选用第四强度理论）。,解：首先确定危险截面。,剪力图和弯矩图如图,b,和图,c,所示，可见,C,、,D,截面为危险截面，取,C,截面计算，其剪力和弯矩为：,(b),200kN,200kN,F,S,图,M,图,(c),84kN,m,(a),B,0.42,m,2.50,m,A,C,200 kN,200 kN,0.42,m,1.66 m,D,强度理论,应用,(b),200kN,200kN,F,S,图,M,图,(c),84kN,m,(a),B,0.42,m,2.50,m,A,C,200 kN,200 kN,0.42,m,1.66 m,D,先按正应力强度条件选择截面型号。最大正应力发生在,C,截面的上、下边缘处，且为单向应力状态，由正应力强度条件可得截面系数为：,据此可选用,28a,号工字钢，其截面系数为：,强度理论,应用,再按切应力强度条件进行校核。对,28a,号工字钢，查表可得截面几何性质为：,(b),200kN,200kN,F,S,图,M,图,(c),84kN,m,(a),B,0.42,m,2.50,m,A,C,200 kN,200 kN,0.42,m,1.66 m,D,中性轴处的最大切应力（纯剪应力状态）为：,强度理论,应用,可见，选用,28a,号工字钢满足切应力强度条件，简化的截面形状和尺寸以及应力分布如图,d,所示。,(d),a,122,13.7,280,13.7,8.5,126.3,126.3,t,max,s,max,(a),B,0.42,m,2.50,m,A,C,200 kN,200 kN,0.42,m,1.66 m,D,强度理论,应用,利用图,d,所示的截面简化尺寸和已有的,I,z,，可求得,a,点的正应力,和切应力,分别为：,工字型截面腹板和翼缘交界处（图,d,中的,a,点），正应力和切应力都较大，且处于复杂平面应力状态（见图,e,），因此还需对此进行强度校核。,s,t,a,(e),s,t,t,t,强度理论,应用,(d),a,122,13.7,280,13.7,8.5,126.3,126.3,其中，,S,z,为横截面的下缘面积对中性轴的静矩，为：,强度理论,应用,s,t,a,(e),s,t,t,t,(d),a,122,13.7,280,13.7,8.5,126.3,126.3,a,点的三个主应力为,由于材料是,Q235,钢,所以在平面应力状态下,应按第四强度理论来进行强度校核,.,应另选较大的工字钢,.,28a,号工字钢不能满足要求,!,改用,28b,号工字钢，按同样的方法可得：,OK!,(,工程上允许,5%,的浮动,),强度理论,应用,Thanks !,由第三强度理论，有：,例,3,利用第三或第四强度理论,求纯剪应力状态下屈服应力,s,和拉压屈服应力,s,之间的关系。,t,当,=,s,时材料发生屈服，因此有：,解：图示纯剪应力状态的主应力为：,而当材料拉压屈服时有：,强度理论,应用,由此可得：,利用第四强度理论，有：,即，,纯剪：,单拉：,由此可得：,强度理论,应用,