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单击以编辑,母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,目录 上页 下页 返回 结束,常微分方程,微分方程的基本概念,第一节,微分方程的基本概念,引例,几何问题,物理问题,常微分方程,偏微分方程,含未知函数及其导数的方程叫做,微分方程,.,方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程,(,n,阶,显式,微分方程,),微分方程的基本概念,一般地,n,阶常微分方程的形式是,的,阶,.,分类,或,使方程成为恒等式的函数,.,通解,解中所含独立的任意常数的个数与方程,确定通解中任意常数的条件,.,n,阶方程的,初始条件,(,或初值条件,),:,的阶数相同,.,特解,微分方程的,解,不含任意常数的解,定解条件,其图形称为,积分曲线,.,求所满足的微分方程,.,例,1.,已知曲线上点,P,(,x,y,),处的法线与,x,轴交点为,Q,解,:,如图所示,令,Y,= 0 ,得,Q,点的横坐标,即,点,P,(,x,y,),处的法线方程为,且线段,PQ,被,y,轴平分,第二节,转化,可分离变量微分方程,第二节,解分离变量方程,可分离变量方程,分离变量方程的解法,:,设,y,(,x,),是方程的解,两边积分,得,则有恒等式,当,G,(,y,),与,F,(,x,),可微且,G,(,y,),g,(,y,),0,时,的隐函数,y,(,x,),是的解,.,则有,称为方程的,隐式通解,或,通积分,.,同样,当,F,(,x,) =,f,(,x,)0,时,由确定的隐函数,x,(,y,),也,是的解,.,设左右两端的原函数分别为,G,(,y,),F,(,x,),说明由确定,例,1.,求微分方程,的通解,.,解,:,分离变量得,两边积分,得,即,(,C,为任意常数,),或,例,2.,解初值问题,解,:,分离变量得,两边积分得,即,由初始条件得,C,= 1,(,C,为任意常数,),故所求特解为,例,3.,求下述微分方程的通解,:,解,:,令,则,故有,即,解得,(,C,为任意常数,),所求通解,:,练习,:,解法,1,分离变量,即,(,C, 0,),解法,2,故有,积分,(,C,为任意常数,),所求通解,:,积分,齐次方程,第三节,一、齐次方程,二、可化为齐次方程的方程,一、齐次方程,形如,的方程叫做,齐次方程,.,令,代入原方程得,两边积分,得,积分后再用,代替,u,便得原方程的通解,.,解法,:,分离变量,:,例,1.,解微分方程,解,:,代入原方程得,分离变量,两边积分,得,故原方程的通解为,(,当,C,= 0,时,y,= 0,也是方程的解,),(,C,为任意常数,),此处,例,2.,解微分方程,解,:,则有,分离变量,积分得,代回原变量得通解,即,说明,:,显然,x,= 0 ,y,= 0 ,y = x,也是原方程的解,但在,(,C,为任意常数,),求解过程中丢失了,.,(,h,k,为待,二、可化为齐次方程的方程,作变换,原方程化为,令,解出,h,k,(,齐次方程,),定常数,),求出其解后,即得原方,程的解,.,原方程可化为,令,(,可分离变量方程,),注,:,上述方法可适用于下述更一般的方程,例,4.,求解,解,:,令,得,再令,Y,X,u,得,令,积分得,代回原变量,得原方程的通解,:,得,C,= 1 ,故所求特解为,思考,:,若方程改为,如何求解,?,提示,:,一阶线性微分方程,第四节,一、一阶线性微分方程,二、伯努利方程,一、一阶线性微分方程,一阶线性微分方程标准形式,:,若,Q,(,x,),0,若,Q,(,x,),0,称为,非齐次方程,.,1.,解齐次方程,分离变量,两边积分得,故通解为,称为,齐次方程,;,对应齐次方程通解,齐次方程通解,非齐次方程特解,2.,解非齐次方程,用,常数变易法,:,则,故原方程的通解,即,即,作变换,两端积分得,例,1.,解方程,解,:,先解,即,积分得,即,用,常数变易法,求特解,.,则,代入非齐次方程得,解得,故原方程通解为,令,例,3.,求方程,的通解,.,解,:,注意,x,y,同号,由一阶线性方程,通解公式,得,故方程可变形为,所求,通解为,这是以,为因变量,y,为自变量的一阶,线性方程,二、伯努利,( Bernoulli ),方程,伯努利方程的标准形式,:,令,求出此方程通解后,除方程两边,得,换回原变量即得伯努利方程的通解,.,解法,:,(,线性方程,),伯努利,例,4.,求方程,的通解,.,解,:,令,则方程变形为,其通解为,将,代入,得原方程通解,:,第五节,全微分方程,判别,:,P,Q,在某单连通域,D,内有连续一阶偏导数,为全微分方程,则,求解步骤,:,方法,1,凑微分法,;,方法,2,利用积分与路径无关的条件,.,1.,求原函数,u,(,x,y,),2.,由,d,u,= 0,知通解为,u,(,x,y,) =,C,.,则称,为,全微分方程,.,例,.,求解,解,:,因为,故这是全微分方程,.,则有,因此方程的通解为,法,1,法,2,此全微分方程的通解为,则,有,两边对,y,求导得,由,得,与,比较得,因此方程的通解为,例,.,求解,解,:, 这是一个全微分方程,.,用凑微分法求通解,.,将方程改写为,即,故原方程的通解为,或,例：,解方程,这不是一个全微分方程,就化成例,9,的方程,.,使,为全微分方程,在简单情况下,可凭观察和经验根据微分倒推式得到,为原方程的,积分因子,.,但若在方程两边同乘,注,:,若存在连续可微函数,积分因子,.,可降阶高阶微分方程,第六节,一、 型的微分方程,二、 型的微分方程,三、 型的微分方程,一、,令,因此,即,同理可得,依次通过,n,次积分,可得含,n,个任意常数的通解,.,型的微分方程,例,1.,解,:,型的微分方程,设,原方程化为一阶方程,设其通解为,则得,再一次积分,得原方程的通解,二、,例,3.,求解,解,:,代入方程得,分离变量,积分得,利用,于是有,两端再积分得,利用,因此所求特解为,三、,型的微分方程,令,故方程化为,设其通解为,即得,分离变量后积分,得原方程的通解,例,5.,求解,代入方程得,两端积分得,(,一阶线性齐次方程,),故所求通解为,解,:,例,.,解初值问题,解,:,令,代入方程得,积分得,利用初始条件,根据,积分得,故所求特解为,得,
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