资源描述
单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第四章,方差分析,1,?,方差分析解决的主要问题是什么？,?,单因素方差分析与双因素方差分析,原理的相同点与不同点？,?,正交实验设计的基本原理是什么？,第四章,方差分析,2,例题,某公司计划引进一条生产线,.,为了选择一条质量优,良的生产线以减少日后的维修问题,他们对,6,种型号的,生产线作了初步调查,每种型号调查,4,条,结果列于表,8-,1,。这些结果表示每个型号的生产线上个月维修的小,时数。试问由此结果能否判定由于生产线型号不同而,造成它们在维修时间方面有显著差异,?,4.1,方差分析的基本概念和原理,第四章,方差分析,3,表,4,1,对,6,种型号生产线维修时数的调查结果,序号,型号,1,2,3,4,A,型,9.5,8.8,11.4,7.8,B,型,4.3,7.8,3.2,6.5,C,型,6.5,8.3,8.6,8.2,D,型,6.1,7.3,4.2,4.1,E,型,10.0,4.8,5.4,9.6,F,型,9.3,8.7,7.2,10.1,4.1,方差分析的基本概念和原理,第四章,方差分析,4,研究的指标,:,维修时间记作,Y,控制因素是生产线的型号,分为,6,个水平即,A,B,C,D,E,F,，每个水平对应一个总体,Y,i,(i=1,2,6),。,),(,2,?,?,N,Y,4.1,方差分析的基本概念和原理,第四章,方差分析,5,现在的试验就是进行调查,每种型号调查,4,台,相当于,每个总体中抽取一个容量为,4,的样本,得到的数据记作,y,ij,(i,=1,2,6;j=1,2,3,4),即为下表数据。,计算各样本平均数,如下,:,i,y,型号,A,B,C,D,E,F,9.4,5.5,7.9,5.4,7.5,8.8,i,y,表,8,2,4.1,方差分析的基本概念和原理,第四章,方差分析,6,两个总体平均值比较的检验法,把样本平均数两两组成对,:,与,与,与,与,与,共有,( 15),对。,1,?,y,2,?,y,1,?,y,3,?,y,1,?,y,6,?,y,2,?,y,3,?,y,5,?,y,6,?,y,?,2,6,C,4.1,方差分析的基本概念和原理,第四章,方差分析,7,即使每对都进行了比较,并,且都以,0.95,的置信度得出,每对均值都相等的结论,但,是由此要得出这,6,个型号的,维修时间的均值都相等。,这一结论的置信度仅是,上,述,方,法,存,在,的,问,题,工作量大,置信度低,将这,15,对平均数一一进,行比较检验,4632,.,0,),95,.,0,(,15,?,4.1,方差分析的基本概念和原理,第四章,方差分析,8,方差分析的基本原理,：,(1),将数据总的偏差平方和按照产生的原因分解成：,(,总的偏差平方和,)=,(,由因素水平引起的偏差平方和,)+(,试验误差,平方和,),(2),上式右边两个平方和的相对大小可以说明因素的不,同水平是否使得各型号的平均维修时间产生显著性差,异,为此需要进行适当的统计假设检验,.,4.1,方差分析的基本概念和原理,第四章,方差分析,9,?,数学模型和数据结构,?,参数点估计,?,分解定理,自由度,?,显著性检验,?,多重分布与区间估计,4.2,单因素试验的方差分析,第四章,方差分析,10,在单因素试验中,为了考察因素,A,的,k,个水平,A,1,A,2,A,k,对,Y,的影响,(,如,k,种型号对维修时间的影响,),设想在固定的条件,A,i,下作试验,.,所有可能的试验结果,组成一个总体,Y,i,它是一个随机变量,.,可以把它分解为,两部分,（,4-1,）,i,i,i,Y,?,?,?,?,4.2.1,数学模型和数据结构,第四章,方差分析,11,其中：,纯属,A,i,作用的结果,称为在,A,i,条件下,Y,i,的真值,(,也称为,在,A,i,条件下,Y,i,的理论平均,).,是实验误差,(,也称为随机误差,),。,（,4-2,）,其中,和,都是未知参数,(i=1,2,k).,i,?,i,?,),0,(,2,?,?,N,i,),(,2,?,?,i,i,N,Y,i,?,2,?,4.2.1,数学模型和数据结构,第四章,方差分析,12,假定在水平,A,i,下重复做,m,次试验,得到观测值,im,i,i,Y,Y,Y,.,2,1,1,2,j,M,合计,平均,A,1,Y,11,Y,12,Y,1j,Y,1m,T,1,A,2,Y,21,Y,22,Y,2j,Y,2m,T,2,A,i,Y,i1,Y,i2,Y,ij,Y,im,T,i,A,k,Y,k1,Y,k2,Y,kj,Y,km,T,k,1,Y,2,Y,i,Y,k,Y,表,4,3,4.2.1,数学模型和数据结构,第四章,方差分析,13,表中：,(i=1,2,k) (4,-3),Y,ij,表示在,A,i,条件下第,j,次试验的结果,用式子表示就是,(i=1,2,k j=1,2,m) (4,-4),注意,:,每次试验结果只能得到,Y,ij,而,(4-4),式中的,和,都不能,直接观测到。,?,?,?,m,j,ij,i,Y,m,Y,1,1,ij,i,ij,Y,?,?,?,?,i,?,ij,?,4.2.1,数学模型和数据结构,第四章,方差分析,14,为了便于比较和分析因素,A,的水平,A,i,对指标影响,的大小,通常把,再分解为,(i=1,2,k) (4,-5),其中,称为一般平均,(Grand Mean),它是比,较作用大小的一个基点；,i,?,i,i,?,?,?,?,?,?,?,?,k,i,i,k,1,1,?,?,8.2.1,数学模型和数据结构,第四章,方差分析,15,并且称,为第,i,个水平,A,i,的效应,.,它表示水平的真值比一般,水平差多少。满足约束条件,(4-6),可得,?,?,?,?,?,i,i,0,2,1,?,?,?,?,?,?,?,k,?,?,?,;,ij,i,ij,Y,?,?,?,?,?,?,0,?,?,i,?,i=1,2,k ;j=1,2,m,4.2.1,数学模型和数据结构,第四章,方差分析,16,要,解,决,的,问,题,找出参数,和,的估计量,分析观测值的偏差,k,?,?,?,?,.,2,1,2,?,检验各水平效应,有无显著差异,k,?,?,?,.,2,1,4.2.1,数学模型和数据结构,第四章,方差分析,17,用最小二乘法求参数,的估计量,然后寻求,的无偏估计量,.,须使参数,的估计值能使在水平,A,i,下求得的,观测值,Y,ij,与真值,之间的偏差尽可能小。,为满足此要求,一般考虑用最小偏差平方和原则,也就是使观测值与真值的偏差平方和达到最小,.,k,?,?,?,?,.,2,1,2,?,k,?,?,?,?,.,2,1,i,?,4.2.2,参数点估计,第四章,方差分析,18,由,(4-4),可知,上述偏差平方和,令下列各偏导数为零,2,2,1,1,2,),(,),(,i,ij,i,ij,k,i,m,j,ij,Y,Y,S,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,0,?,?,?,?,?,S,0,?,?,?,i,S,?,?,(i=1,2,k),4.2.2,参数点估计,第四章,方差分析,19,由,解得,(4-7),由,解得,(4-8),?,?,0,),(,2,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,i,i,j,Y,S,?,?,?,?,Y,Y,km,ij,?,?,?,?,1,?,?,0,),(,2,1,?,?,?,?,?,?,?,?,?,i,m,j,ij,i,Y,S,?,?,?,?,Y,Y,Y,m,i,m,j,ij,i,?,?,?,?,?,?,1,1,?,?,?,4.2.2,参数点估计,第四章,方差分析,20,并由此得,的估计量,至此,求得参数,的估计量,(4-9),i,i,i,Y,?,?,?,?,?,?,?,?,?,i,?,i,i,?,?,?,?,Y,?,?,?,Y,Y,i,i,?,?,?,i,i,Y,?,?,?,4.2.2,参数点估计,第四章,方差分析,21,按照上述原则求参数估计量的方法称为最小二,乘法,称为最小二乘估计量,.,我们还可以证明,分别是参数,的无偏估计,量。,将,和,分别用它们的估计量代替,可以得到试验,误差,的估计量,(4-10),i,i,?,?,?,?,?,?,i,i,?,?,?,?,?,?,i,i,?,?,?,?,i,?,ij,?,ij,e,i,ij,ij,Y,Y,e,?,?,4.2.2,参数点估计,第四章,方差分析,22,为了由观测值的偏差中分析出各水平的效应,我们,研究三种偏差,: ,和,.,根据前面参数估计的讨论,它们分别表示,定理,(4-11),Y,Y,ij,?,Y,Y,i,?,i,ij,Y,Y,?,?,?,ij,Y,i,?,ij,?,2,1,1,2,1,2,1,1,),(,),(,),(,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,k,i,m,j,i,ij,k,i,i,k,i,m,j,ij,Y,Y,Y,Y,m,Y,Y,的估计,.,和,4.2.3,分解定理,自由度,第四章,方差分析,23,),(,),(,i,i,j,i,i,j,Y,Y,Y,Y,Y,Y,?,?,?,?,?,2,2,2,),(,),)(,(,2,),(,),(,i,ij,i,ij,i,i,ij,Y,Y,Y,Y,Y,Y,Y,Y,Y,Y,?,?,?,?,?,?,?,?,2,1,1,1,2,),(,),(,Y,Y,m,Y,Y,k,i,i,k,i,m,j,i,?,?,?,?,?,?,?,?,?,证明：,0,),(,1,?,?,?,?,i,m,j,ij,Y,Y,4.2.3,分解定理,自由度,第四章,方差分析,24,令,则分解定理,(8-11),可写成,(4-12),2,),(,Y,Y,S,ij,T,?,?,?,?,2,),(,Y,Y,m,S,i,A,?,?,?,2,(,),i,E,i,j,S,Y,Y,?,?,?,?,E,A,T,S,S,S,?,?,4.2.3,分解定理,自由度,第四章,方差分析,25,上式中,称为总偏差平方和,.,称为误差平方和,(,或组内平,方和,);,称为因素,A,的效应平方和,(,或组间平方和,),S,T,的自由度,f,T,=km-1,S,A,的自由度,f,A,=k-1,S,E,的自由度,f,E,=k(m-1),容易看出，自由度之间也有类似于分解定理的关系,(4-13),T,S,E,S,A,S,E,A,T,f,f,f,?,?,4.2.3,分解定理,自由度,第四章,方差分析,26,参数,假设,检验,的假,设条,件,观测值,(i=1,2,k;j=1,2,m),相互独立,在水平,A,i,条件下,Y,ij,(j=1,2,m),服从正态分布,N,),(,2,?,?,i,4.2.4,显著性检验,第四章,方差分析,27,要判断在因素,A,的,k,个水平条件下真值之间是否,有显著性差异,即检验假设,H,0,: ,H,1,:,不全相等,相当于检验假设,H,0,: (i=1,2,k),H,1,:,i,不全为零,k,?,?,?,?,?,?,?,?,?,2,1,0,?,i,?,4.2.4,显著性检验,第四章,方差分析,28,可以证明当,H,0,为真时, ,(4-16),并且,与,相互独立,.,得,(4-17),其中,和,称为均方,(Mean Square).,),1,(,2,2,?,km,S,T,?,?,),1,(,2,2,?,k,S,A,?,?,),1,(,(,2,2,?,m,k,S,E,?,?,2,?,A,S,2,?,E,S,),1,(,1,(,),1,(,/,),1,/(,),1,(,/,),1,/(,2,2,?,?,?,?,?,?,?,?,m,k,k,F,m,k,S,k,S,m,k,S,k,S,F,E,A,E,A,A,?,?,),1,/(,?,k,S,A,),1,(,/,?,m,k,S,E,4.2.4,显著性检验,第四章,方差分析,29,利用,(8-17),式来检验原假设,H,0,是否成立,.,对于给,定的显著水平,可以从,F,分布表查出临界值,再,根据样本观测值算出,F,A,的值,.,当,时,拒绝,H,0,当,时,接受,H,0,。,?,),1,(,1,(,?,?,m,k,k,F,?,),1,(,1,(,?,?,?,m,k,k,F,F,A,?,),1,(,1,(,?,?,?,m,k,k,F,F,A,?,4.2.4,显著性检验,第四章,方差分析,30,方差来源,平方和,自由度,均方,F,比,组间,(,因素,A),S,A,K-1,S,A,/(k-1),组内,(,实验误差,),S,E,K(m-1),S,E,k(m-,1),总和,S,T,=,S,A,+,S,E,Km-1,-,),1,(,/,1,/,?,?,?,m,k,S,k,S,F,E,A,A,表,4,4,方差分析表,4.2.4,显著性检验,第四章,方差分析,31,下面继续讨论前面,6,种型号的生产线的例子。根,据调查结果，在,=0.05,的显著水平时，检验这,6,种,型号的生产线在平均维修时间方面有无显著差异？,根据实践经验，认为各种型号生产线的维修时间,是近似服从正态分布的。,作统计假设：,6,种型号的生产线平均维修时数无,显著差异，即,H,0,：,i,=0,（,i=1,2,6,）,H,1,:,i,不全为零,?,4.2.4,显著性检验,第四章,方差分析,32,计算,S,A,及,S,E,km,T,m,T,Y,Y,m,S,i,k,i,i,A,2,2,2,1,),(,?,?,?,?,?,?,?,m,T,Y,Y,Y,S,i,ij,i,ij,E,?,?,?,?,?,?,?,?,?,2,2,2,),(,?,?,?,m,j,ij,i,Y,T,1,?,?,?,?,?,ij,j,Y,T,T,4.2.4,显著性检验,第四章,方差分析,33,表,4,5,计算列表,台号,型号,1,2,3,4,T,i,T,i,2,A,型,9.5,8.8,11.4,7.8,37.5,1406.25,358.4,9,B,型,4.3,7.8,3.2,6.5,21.8,475.24,131.8,2,C,型,6.5,8.3,8.6,8.2,31.6,998.56,252.3,4,D,型,6.1,7.3,4.2,4.1,21.7,470.89,124.9,5,E,型,10.0,4.8,5.4,9.6,29.8,888.04,244.3,6,F,型,9.3,8.7,7.2,10.1,35.3,1246.09,316.0,3,?,?,m,j,ij,Y,1,2,7,.,177,?,?,i,T,07,.,5485,2,?,?,i,T,99,.,1427,2,?,?,?,ij,Y,4.2.4,显著性检验,第四章,方差分析,34,再将计算结果分别代入,S,A,与,S,E,两式中，得到,第一自由度,第二自由度,55,.,55,4,6,7,.,177,4,07,.,5485,2,2,2,?,?,?,?,?,?,?,km,T,m,T,S,i,A,72,.,56,4,07,.,5485,99,.,1427,2,2,?,?,?,?,?,?,?,?,m,T,Y,S,i,ij,E,5,1,6,1,?,?,?,?,?,k,f,A,18,3,6,),1,(,?,?,?,?,?,m,k,f,E,4.2.4,显著性检验,第四章,方差分析,35,查,F,分布表得,由于,，故拒绝,H,0,。,该结论说明，至少有一种生产线型号的效应不为零，,这等价于至少有两种型号的生产线的平均维修时数是有,显著差异的。,77,.,2,),18,5,(,05,.,0,?,F,77,.,2,53,.,3,?,?,A,F,方差来源,平方和,自由度,均方,F,比,组间,S,A,55.55,5,11.11,组内,S,E,56.72,18,3.15,总和,S,T,112.27,23,-,53,.,3,15,.,3,11,.,11,?,?,A,F,表,4,6,方差分析表,4.2.4,显著性检验,第四章,方差分析,36,q,检验法：,计算任意两水平的差值,，,当,时，判断,与,差异显著；,当,时，判断,与,差异显著。,查多重比较的,q,表得,(8-18),s,i,Y,Y,?,),(,s,i,?,),(,E,f,k,q,?,m,f,S,f,k,q,D,E,E,/,),(,?,?,s,i,Y,Y,?,D,?,i,Y,s,Y,s,i,Y,Y,?,D,?,i,Y,s,Y,4.2.5,多重分布与区间估计,第四章,方差分析,37,区间估计,在置信度为,的情况下，,的置信区间为,（,8-19,）,?,?,1,s,i,?,?,?,D,Y,Y,D,Y,Y,s,i,s,i,s,i,?,?,?,?,?,?,?,),(,),(,?,?,4.2.5,多重分布与区间估计,第四章,方差分析,38,?,双因素方差分析的类型,?,数据结构,?,离差平方和的分解,?,应用实例,4.3,双因素方差分析,第四章,方差分析,39,在实际问题的研究中，有时需要考虑两个因素对,实验结果的影响。,例如饮料销售，除了关心饮料颜色之外，我们还,想了解销售地区是否影响销售量，如果在不同的地,区，销售量存在显著的差异，就需要分析原因。采,用不同的销售策略，使该饮料品牌在市场占有率高,的地区继续深入人心，保持领先地位；在市场占有,率低的地区，进一步扩大宣传，让更多的消费者了,解、接受该生产线。,4.3.1,双因素方差分析的类型,第四章,方差分析,40,若把饮料的颜色看作影响销售量的因素,A,，饮料,的销售地区则是影响因素,B,。对因素,A,和因素,B,同时,进行分析，就属于双因素方差分析。,双因素方差分析的内容，是对影响因素进行检验，,究竟是一个因素在起作用，还是两个因素都起作用，,或是两个因素的影响都不显著。,4.3.1,双因素方差分析的类型,第四章,方差分析,41,双因,素方,差分,析的,类型,无交互作用的,双因素方差分析,有交互作用的,双因素方差分析,假定因素,A,和因素,B,的效应之间是相,互独立的，不存在,相互关系,假定因素,A,和因素,B,的结合会产生出一,种新的效应,4.3.1,双因素方差分析的类型,第四章,方差分析,42,例如，,若假定不同地区的消费者对某种颜色有与其他地,区消费者不同的特殊偏爱，这就是两个因素结合后,产生的新效应，属于有交互作用的背景；,否则，就是无交互作用的背景。有交互作用的双,因素方差分析已超出本书的范围，这里介绍无交互,作用的双因素方差分析。,4.3.1,双因素方差分析的类型,第四章,方差分析,43,双因素方差分析的数据结构如表所示：,双因素方差分析数据结构,因素,A,A,1,A,2,A,r,因,素,B,B,1,X,11,X,12,X,1r,B,2,X,21,X,22,X,2r,B,k,X,k1,X,k2,X,kr,i,X,1,x,2,x,k,x,j,X,1,x,2,x,r,x,x,表,8,7,4.3.2,数据结构,第四章,方差分析,44,表中，因素,A,位于列的位置，共有,r,个水平，,代表,第,j,种水平的样本平均数；因素,B,位于行的位置，共有,k,个水平，,代表第,i,种水平的样本平均数。,为样本总平,均数，样本容量,n=r,k,。,每一个观察值,X,ij,看作由,A,因素的,r,个水平和,B,因素,的,k,个水平所组合成的,r,k,个总体中抽取样本容量为,1,的独立随机样本。这,r,k,个总体的每一个总体均服从,正态分布，且有相同的方差。这是进行双因素方差分,析的假定条件。,j,x,i,x,x,4.3.2,数据结构,第四章,方差分析,45,2,2,2,2,(,),(,),(,),(,),(,),ij,j,j,i,i,SST,x,x,SSA,x,x,k,x,x,SSB,x,x,r,x,x,SSE,SST,SSA,SSB,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,4.3.3,离差平方和的分解,第四章,方差分析,46,各离差平方和对应的自由度：,总离差平方和,SST,的自由度为,r,k-1=n-1,；,因素,A,的离差平方和,SSA,的自由度为,r-1,；,因素,B,的离差平方和的自由度为,k-1,；,随机误差,SSE,的自由度为（,r-1,）（,k-1,）,4.3.3,离差平方和的分解,第四章,方差分析,47,由离差平方和与自由度可以计算均方差：,对因素,A,而言：,对因素,B,而言：,对随机变量而言：,1,?,?,r,SSA,MSA,1,?,?,k,SSB,MSB,),1,)(,1,(,?,?,?,k,r,SSE,MSE,4.3.3,离差平方和的分解,第四章,方差分析,48,表,4,8,双因素方差分析表,误差来源,离差平方和,自由度,均方差,F,值,A,因素,SSA,r-1,MSA=SSA/(r-,1),F,A,=MSA/,MSE,因素,SSB,k-1,MSB=SSB/(k-,1),F,B,=MSB/,MSE,误差,SSE,(r-1)(k-1),MSE=SSE/(r-,1)(k-1),-,合计,SST,n-1,-,-,4.3.3,离差平方和的分解,第四章,方差分析,49,某商品有五种不同的包装方式（因素,A,），在五个不,同地区销售（因素,B,），现从每个地区随机抽取一个规模,相同的超级市场，得到该商品不同包装的销售资料如下,表,.,表,4,9,现欲检验包装方式和销售地区对该商品销售是否有显著,性影响。（,=0.05,）,包装方式,(A),A,1,A,2,A,3,A,4,A,5,销,售,地,区,(B),B,1,20,12,20,10,14,B,2,22,10,20,12,6,B,3,24,14,18,18,10,B,4,16,4,8,6,18,B,5,26,22,16,20,10,4.3.4,应用实例,第四章,方差分析,50,解：,若五种包装方式的销售的均值相等，则表明不同,的包装方式在销售上没有差别。,建立假设,对因素,A,：,H,0,：,包装方式之间无差别,H,1,：,不全相等,包装方式之间有差别,对因素,B,：,H,0,：,地区之间无差别,H,1,：,不全相等,地区之间有差别,5,4,3,2,1,?,?,?,?,?,?,?,?,?,5,4,3,2,1,?,?,?,?,?,5,4,3,2,1,?,?,?,?,?,?,?,?,?,5,4,3,2,1,?,?,?,?,?,4.3.4,应用实例,第四章,方差分析,51,计算,F,值,因素,A,的列均值分别为：,因素,B,的行均值分别为：,总均值,=15.04,故：,SST=,（,20-15.04,）,2 +,+(10,-15.04)2=880.96,SSA=5(21.6-,15.04)2 +,+5(11.6,-15.04)2=335.36,SSB=5(15.2-,15.04)2 +,+5(18.8,-15.04)2=199.36,SSE=880.96-335.36-199.36=346.24,6,.,11,2,.,13,4,.,16,4,.,12,6,.,21,5,4,3,2,1,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,x,x,x,x,x,8,.,18,4,.,10,8,.,16,14,2,.,15,5,4,3,2,1,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,x,x,x,x,x,4.3.4,应用实例,第四章,方差分析,52,接下来：,因此,64,.,21,),1,5,)(,1,5,(,24,.,346,84,.,49,1,5,36,.,199,84,.,83,1,5,36,.,335,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,MSE,MSB,MSA,30,.,2,64,.,21,84,.,49,87,.,3,64,.,21,84,.,83,?,?,?,?,?,?,MSE,MSB,F,MSE,MSA,F,B,A,4.3.4,应用实例,第四章,方差分析,53,统计决策,对于因素,A,，因为,F,A,=3.87F,crit,=3.01,故拒绝,H,0,，接受,H,1,，,说明不同的包装方式对该商品的销售产生影响。,对于因素,B,，因为,F,B,=2.30F,0.05,F,A,F,0.01,故,A,因子非常显著；,?,F,0.10,F,B,F,0.05,，故,B,因子比较显著；,?,F,0.10,F,C,F,0.05,，故,C,因子也比较显著，但比,A,、,B,二因子的影响作用差。,4.4.3,方差分析法,第四章,方差分析,77,本例方差分析的结论与直观分析法的结论是一致的,即：,反应温度对产率影响最大，搅拌速度影响最小；,好的生产工艺条件仍然是,A,2,B,2,C,1,。,4.4.3,方差分析法,
展开阅读全文