导数及其应用复习小结

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第一章 导数及其应用复习小结,本章知识结构,微积分,导数,定积分,导数概念,导数运算,导数应用,函数的瞬时变化率,运动的瞬时速度,曲线的切线斜率,基本初等函数求导,导数的四则运算法则,简单复合函数的导数,函数单调性研究,函数的极值、最值,曲线的切线,变速运动的速度,面积,功,积分定义的含义,微积分基本定理的含义,微积分基本定理的应用,路程,定积分概念,微积分基 本定理,最优化问题,函数的平均变化率,函数,y=,f(x,),的定义域为,D,x,1.,x,2,D,f(x),从,x,1,到,x,2,平均变化率为,:,函数的瞬时变化率,O,A,B,x,y,Y=,f(x,),x,1,x,2,f(x,1,),f(x,2,),x,2,-x,1,=x,f(x,2,)-f(x,1,)=y,导数,返回,导数的运算法则,:,法则,1:,两个函数的和,(,差,),的导数,等于这两个函数的导数的,和,(,差,),即,:,法则,2:,两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数,即,:,法则,3:,两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数,再除以第二个函数的平方,.,即,:,返回,当点,Q,沿着曲线无限接近点,P,即,x,0,时,割线,PQ,如果有一个极限位置,PT.,则我们把直线,PT,称为曲线在点,P,处的,切线,.,设切线的倾斜角为,那么当,x0,时,割线,PQ,的斜率,称为曲线在点,P,处的,切线的斜率,.,即,:,P,Q,o,x,y,y=,f(x,),割线,切线,T,返回,1),如果恒有,f(x,)0,，那么,y=f,（,x),在这个区间（,a,b,),内单调递增；,2),如果恒有,f(x,)0,f,(,x,)0,如果在某个区间内恒有,则 为常数,.,返回,2),如果,a,是,f,(x)=0,的一个根，并且在,a,的左侧附近,f,(x)0,，那么是,f(a,),函数,f(x),的一个极小值,.,函数的极值,1),如果,b,是,f,(x)=0,的一个根，并且在,b,左侧附近,f,(x)0,，,在,b,右侧附近,f,(x)0,，那么,f(b,),是函数,f(x),的一个极大值,注：导数等于零的点不一定是极值点,2),在,闭区间,a,b,上的函数,y=,f(x,),的图象是一条,连续不断,的曲线,则它,必有,最大值和最小值,.,函数的最大（小）值与导数,x,y,0,a,b,x,1,x,2,x,3,x,4,f(a,),f(x,3,),f(b,),f(x,1,),f(x,2,),返回,两年北京导数题,感想如何,?,复合函数的导数,:,注,:,y,对,x,的导数等于,y,对,u,的导,数与,u,对,x,的导数的乘积,.,复合函数,y=,f(g(x,),的导数和函数,y=,f(u),u,=,g,(,x,),的导数间关系为,:,或,返回,返回,过,p(x,0,y,0,),的切线,1) p(x,0,y,0,),为切点,2)p(x,0,y,0,),不为切点,例,1,已经曲线,C,：,y=x,3,x+2,和点,A(1,2),。求在点,A,处的切线方程？,解：,f,/,(x,)=3x,2,1,，,k= f,/,(1)=2,所求的切线方程为：,y,2=2(x,1),即,y=2x,变式,1,：,求过点,A,的切线方程？,例,1,已经曲线,C,：,y=x,3,x+2,和点,(1,2),求在点,A,处的切线方程？,解：变,1,：,设切点为,P,（,x,0,，,x,0,3,x,0,+2,），,切线方程为,y,( x,0,3,x,0,+2)=(3 x,0,2,1,)(,x,x,0,),又,切线过点,A(1,2),2,( x,0,3,x,0,+2)=( 3 x,0,2,1,)(1,x,0,),化简得,(x,0,1),2,(2,x,0,+1)=0,，,当,x,0,=1,时，所求的切线方程为：,y,2=2(,x,1),即,y=2x,解得,x,0,=1,或,x,0,=,k= f,/,(x,0,)= 3 x,0,2,1，,当,x,0,=,时，所求的切线方程为：,y,2=,(x,1),即,x+4y,9=0,变式,1,：,求过点,A,的切线方程？,例,1,：,已经曲线,C,：,y=x,3,x+2,和点,(1,2),求在点,A,处的切线方程？,变式,2,：,若曲线上一点,Q,处的切线恰好平行于直,线,y=11x,1,，则,P,点坐标为,_,切线方程为,_,(2,8),或,(,2,4),y=11x,14,或,y=11x+18,求由连续曲线,y,=,f,(,x,),对应的,曲边梯形,面积的方法,(2),取近似求和,:,任取,x,i,x,i,-,1,x,i,，第,i,个小曲边梯形的面积用高为,f,(,x,i,),而宽为,D,x,的小矩形面积,f,(,x,i,),D,x,近似之。,(3),取极限,:,，,所求曲边,梯形的面积,S,为,取,n,个小矩形面积的和作为曲边梯形面积,S,的近似值：,x,i,y,=,f,(,x,),x,y,O,b,a,x,i,+1,x,i,(1),分割,:,在区间,0,1,上等间隔地插入,n-1,个点,将它等分成,n,个小区间,:,每个小区间宽度,x,一、定积分的定义,如果当,n,时，,S,的无限接近某个常数，,这个常数为函数,f,(,x,),在区间,a,b,上的定积分，记作,从求曲边梯形面积,S,的过程中可以看出,通过,“四步曲”,:,分割,-,近似代替,-,求和,-,取极限得到解决,.,定积分的定义,：,定积分的相关名称：,叫做积分号，,f,(,x,) ,叫做被积函数，,f,(,x,),dx,叫做被积表达式，,x,叫做积分变量，,a,叫做积分下限，,b,叫做积分上限，,a,b, ,叫做积分区间。,被积函数,被积表达式,积分变量,积分下限,积分上限,说明：,(1),定积分是一个数值,它只与被积函数及积分区间有关，,b,a,f,(,x,),dx,=,b,a,f,(,x,),dx,-,(2),(2),定积分的几何意义：,O,x,y,a,b,y,f,(,x,),x,=,a,、,x,=,b,与,x,轴所围成的曲边梯形的面积。,当,f,(,x,),0,时，由,y,f,(,x,),、,x,a,、,x,b,与,x,轴所围成的曲边梯形位于,x,轴的下方，,x,y,O,=-,a,b,y,f,(,x,),y,-,f,(,x,),=-,S,上述曲边梯形面积的负值。,定积分的几何意义：,=-,S,三,:,定积分的基本性质,性质,1.,性质,2.,三,:,定积分的基本性质,定积分关于积分区间具有,可加性,性质,3.,O,x,y,a,b,y,f,(,x,),定理,（微积分基本定理）,二、牛顿,莱布尼茨公式,如果,f(x,),是区间,a,b,上的连续函数,并且,F,(x,)=,f(x,),则,