牛顿对克卜勒第二定律的解释

按一下以編輯母片標題樣式,按一下以編輯母片,第二層,第三層,第七章 萬有引力定律,7-2,萬有引力定律,7-3,牛頓對克卜勒定律的解釋,7-4,重力場和重力加速度,7-5,人造衛星,7-6,失重狀態,7-1,克卜勒行星運動定律,7-1,克卜勒行星運動定律,(1/5),天文發展簡史,1.西元二世紀，托勒米提出,地心說,。,2.西元十六世紀，哥白尼提出,日心說,。,3.西元十六世紀，第谷對,星球的位置,進行,系統性的長期觀測,。,4.西元十七世紀，克卜勒提出,行星運動定律,5.西元十七世紀，牛頓提出,萬有引力定律,。,7-1,克卜勒行星運動定律,(2/5),哥白尼,解釋火星逆行現象的示意圖,1,1,1,2,2,2,3,3,3,4,4,4,5,5,5,6,6,6,7,7,7,說明,：,當,地球追及火星,的前後，從地球看火星的視線由向上,轉成向下(3、4、5月)，火星出現,逆行現象,。,天,幕,六個月之後,一個月之後,從地球看火星的視線,7-1,克卜勒行星運動定律,(3/5),克卜勒第一定律,所有的行星各在以太陽為焦點的橢圓形軌道上運行。,S,a,a,(1)橢圓半長軸長,a,(2)橢圓半短軸長,b,(3)橢圓焦距,c,橢圓abc,(4)橢圓離心率,e =,c,a,b,c,問題：近日距= ；,遠日距= 。,ac,ac,7-1,克卜勒行星運動定律,(4/5),克卜勒第二定律,行星與太陽的連線在相同時間內，掃過相同的面積,。,面積速率,D,A,D,t,lim,D,t,0,Dq,=,D,t,lim,D,t,0,2,1,r,2,2,1,r,2,w,=,=,定值,例題,7-1,7-1,克卜勒行星運動定律,(5/5),克卜勒第三定律,行星公轉週期平方和橢圓軌道半長軸的三次方成正比,例題,7-2,T,2,=,常數,a,3,7-2,萬有引力定律,(1/4),萬有引力定律,任何兩個質點之間都彼此互相吸引，吸引力的量值和它們的,質量的乘積成正比,，和它們之間的,距離的平方成反比,。,GMm,F =,r,2,說明,：,兩均勻球體之間的吸引力，相當於,兩球體的質量各自,集中在其球心處,的質點,，因此彼此之間的吸引力方向,皆,沿著兩球體的連心線,。,7-2,萬有引力定律,(2/4),卡文迪西,的扭擺實驗 -,萬有引力常數G的測量,GMm,F =,r,2,說明,：,兩鉛球的質量、距離皆可測量，,再測量反射光線的角度變化即可算出,扭力大小，將這些數據代入萬有引力,的式子中，即可算出,萬有引力常數,。,7-2,萬有引力定律,(3/4),地球質量、密度的測定,地球,mg,說明,1,：,如右圖，物體所受重力,GM,E,m,F =mg=,R,E,2,若測得,g,、,R,E,、,G,，即可計算地球質量。,GM,E,g=,R,E,2,M,E,=,gR,E,2,G,說明,2,：,若將地球視為均勻球體，則其平均密度,M,E,r,E,=,R,E,3,3,4,p,7-2,萬有引力定律,(4/4),重力加速度,(1),地球內部的重力加速度,例題,7-3,(2),地球外部的重力加速度,GM,E,g=,r,2,r,E,Gr,3,4,p,g=,g(r),r,R,E,7-3 牛頓對克卜勒定律的解釋,(1/3),牛頓,對克卜勒第一定律的解釋,F,r,說明,：,牛頓,以力學三大運動定律為基礎，結合萬有引力定律、,微積分，從數學上直接證明：,如果行星和太陽之間的吸引力是,連心力,且遵守距離,平方,反比,定律，則行星環繞太陽的公轉軌道應為,橢圓形,，,太陽為其焦點,。,連心力,7-3 牛頓對克卜勒定律的解釋,(2/3),牛頓,對克卜勒第二定律的解釋,F,r,說明,：,行星所受的萬有引力為,連心力,，所以相對太陽而言，,行星所受的力矩恆為零，因此行星的,角動量守恆,。,行星在軌道上的速度切線分量,v,= r,w,行星的角動量,l,=r,m,v,= mr,2,w,將,r,2,w,=,l,m,代入,面積速率,的式子中,面積速率,2,1,r,2,w,=,2m,=,定值,7-3 牛頓對克卜勒定律的解釋,(3/3),牛頓,對克卜勒第三定律的解釋,F,說明,：,設行星繞日的軌道為圓形軌道，由於,行星作圓周運動所需的向心力，來自於,太陽對行星的萬有引力，所以,F=ma,改寫成,GM,S,m,r,2,=,m,T,2,4,p,2,r,每個繞日行星的 均相同。,T,2,r,3,T,2,=,4,p,2,GM,S,=K,s,(定值),r,3,7-4,重力場和重力加速度,(1/2),重力場,何謂,重力場,？,重力場強度,(1)定義：將測試質點放入空間中某點，其所受,萬有引力 與其質量m的比值。,萬有引力,作用的空間,g =,m,F,F,M,m,7-4,重力場和重力加速度,(2/2),重力場強度,(2)重力場強度的合成,M,1,m,重力場為向量，當場源有數個時，,應以,向量加法,的方式合成。,g =,g,1,+ g,2,+,M,2,g,2,g,1,g,例題,7-4,7-5,人造衛星,(1/4),如果物體在地球表面的高處以,足夠大的水平初速發射,，,則其軌道可從通常落至地面的拋物線，轉變成環繞地球,的圓形軌道，甚至橢圓形的軌道。,7-5,人造衛星,(2/4),人造衛星的運行原理,(1) 運行軌道為圓軌道,地球對衛星的萬有引力，做為圓周運動的向心力,GM,E,m,r,2,=,m,r,v,2,GM,E,m,r,2,=,m,T,2,4,p,2,r,=,GM,E,r,v,r,3,T,=,GM,E,2,p,問題：試證明地表衛星(離地,200km,)的週期約為,90,分鐘,7-5,人造衛星,(3/4),人造衛星的運行原理,(2) 運行軌道為橢圓軌道,地球對衛星的萬有引力，做為圓周運動的向心力,GM,E,m,a,2,=,m,T,2,4,p,2,a,問題：試證明地表衛星(離地,200km,)的週期約為,90,分鐘,a,3,T,2,=,GM,E,4,p,2,說明：在,橢圓軌道上,的衛星，其速率不是定值，,必須利用,克卜勒第二定律,(,等面積,)計算。,7-5,人造衛星,(4/4),同步衛星,何謂同步衛星?,衛星的,公轉週期,和地球的,自轉週期,相等,問題,1,：,同步衛星為何在赤道正上方?,問題,2,：,同步衛星離地面的高度是多少?,例題,7-5,7-6,失重狀態,(1/2),7-6,失重狀態,(2/2),說明,：,如右圖，磅秤的讀數代表人的,視重,。,問題,1,：若,右圖中的人與磅秤均在地球上，,為何磅秤的讀數代表人所受的重力?,問題,2,：若,右圖中的人與磅秤均在環繞地球飛行的,太空梭上，此人是否不再受重力作用?,此時磅秤與人的作用力為若干?,例題7-1,右圖所示的行星軌道上，A點離太陽,最近，稱為近日點；B點離太陽最遠，,稱為遠日點。若取太陽為參考原點，,則行星在近日點或遠日點的速度，,分別垂直於其位置向量。A點的位置,向量以r,A,表示，B點的位置向量以r,B,表示，試求：,(1)行星在近日點和遠日點的速率比值。,(2)已知地球的近日點和太陽之間的距離為14.710,7,km ，,遠日點和太陽之間的距離為15.2 10,7,km，計算上題中,的比值。,例題7-2,天文學家常以地球和太陽之間的平均距離，作為一個,長度單位，稱為天文單位（AU）。當彗星通過地球的,上空時，經由天文觀測，可以推算彗星的軌道形狀。,哈雷彗星的軌道為一橢圓，其近日點和遠日點至太陽,的距離分別為0.53,AU和35.1,AU。試求該彗星經多少年,後會重訪地球？,例題7-3,地球表面的重力加速度為,g,，月球質量約為地球的,、半徑約為地球的 ，則：,(1),在月球表面質量為,m,之物體的重量為何？,(2),月球表面的重力加速度為何？,1,80,11,3,例題7-4,月球表面的重力場強度約為地球的1/6，則以下各量在,月球表面測量所得，為在地球表面測量所得的幾倍？,(1),以相同初速鉛直上拋一石子，其最大高度？,(2),以相同高度、相同初速水平拋射一石子，落回水平,地面的射程？,(3),相同擺長及擺錘的單擺，作小角度擺動時的週期？,(4),以相同彈簧鉛直懸掛一物體，上下振動的週期？,例題7-5,1957年10月前,蘇聯,成功地發射人類史上的第一顆人造衛星 ,史波尼克一號,(Sputnik I)，它環繞地球的軌道為橢圓形。該衛星離地的最小高度為28 km(此位置稱為近地點)，最大高度為947 km (此位置稱為遠地點)，試求此衛星的週期。,