ch1线性代数课件1

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,线性代数,电 话：,210,室,1,考试及要求,2.,期末闭卷考试，总评比例：,8:2,3.,平时成绩采取扣分制。,1.,本门课共,2.5,个学分,关于平时分的规定：,一、旷课,1,次扣,1,分；早退、第二节才来上课的算旷课；,二、旷课超过本学期总课时的,1/3,者，取消考试资格；,三、迟到、说话、睡觉、接打手机每次扣,1,分；,四、扰乱秩序，扣,5,分；,五、每少交一次作业，扣,1,分，,抄袭作业一次扣,2,分,。,5.,答疑：,每周二下午,2:30-5:00,在二教一楼休息室。,4.,助教信息：,班 级,姓 名,电 话,保学,0901-0902,，,金融,0905-0906,施会强,国贸,0902-0904,何井森,李达,0903,，,国硕,0901,刘端亮,金融,0901-0904,陈亮,一元一次方程,ax,=,b,一元二次方程,二元 、三元线性方程组,行列式,矩阵及其运算,矩阵的初等变换与线性方程组,向量组的线性相关性,矩阵的特征值和特征向量,二次型,第一章 行列式,1 二阶与三阶行列式,2 全排列及其逆序数,3,n,阶行列式的定义,4 对换,5 行列式的性质,6,行列式按行（列）展开, 7,Cramer,法则,7,1,理解,n,个元素的全排列及其逆序数的定义。,2,理解,n,阶行列式的定义，熟练掌握行列式的性质，会用行列式的有关性质化简、计算行列式。,3,熟练掌握把一般行列式化简为上（下）三角形行列式的方法。,本章学习要求：,对于,概念,和,理论,方面的内容，从高到低分别用,“理解”、“了解”、“知道”,三级来表述；,对于,方法，运算,和,能力,方面的内容，从高到低分别用,“熟练掌握”、“掌握”、“能”,（或,“会”,）三级来表述。,8,4,会求,n,阶行列式中元素 的代数余子式 ，并熟练掌握行列式按某行（列）展开的方法。,5,能熟练应用克拉默法则判定线性方程组解的存在性、唯一性及求出方程组的解。,本章学习要求：,对于,概念,和,理论,方面的内容，从高到低分别用,“理解”、“了解”、“知道”,三级来表述；,对于,方法，运算,和,能力,方面的内容，从高到低分别用,“熟练掌握”、“掌握”、“能”,（或,“会”,）三级来表述。,9,一元一次方程,ax,=,b,当,a,0,时，,二元 （三元）线性方程组,例 解二元线性方程组,得,于是,类似地，可得,于是,1 二阶与三阶行列式,10,线性方程组,消去,x,2,的两边后,两式相加得,消元法,11,记,称它为,二阶行列式,，,于是，线性方组（,1,）的解可以写为,定义为,类似地，可得,12,类似的，我们还可以定义三阶行列式为,13,n,阶排列共有,n,!,个,.,排列的逆序数,2 全排列及其逆序数,把,1,2,n,排成一列，称为一个,n,阶全排列.,奇排列,逆序数为奇数的排列,.,在一个排列中如果一对数的前后位置与大小次序相反就说有,例 1 排列,1,2,n,称为自然排列，,所以是偶排列.,一个,逆序.,偶排列,一个排列中所有逆序的总数,.,逆序数为偶数的排列,.,它的逆序数为,0,，,三,阶排列,共有,3,21=3!,个,.,记为,14,例 2 排列,3 2 5 1,4,的逆序数为,(,),例 3 排列,n,(,n,1,), 3 2 1,的逆序数为,(,n,(,n,1,), 3 2 1,),排列,3 2 5 1 4,为奇排列,.,2,2,0,0,5,=,(,n 1,),+,(,n 2,),+ +2+1,15,三阶行列式定义为,3,n,阶行列式的定义,三阶行列式是,3,!,=,6,项,的代数和.,123,231,312,132,213,321,(123)=0,(231)=2,(312)=2,(132)=1,(213)=1,(321)=3,16,三阶行列式可以写成,数,17,定义,由,n,2,个数组成的数表，,称为,n,阶行列式,项的代数和，,即,规定为所有形如,记成,数,18,例,1,简记为：,称为下三角行列式,19,例,2,下三角行列式,例,3,三阶行列式,上三角行列式呢？,问：,20,例,5,n,阶行列式,例,4,四阶行列式,21,经对换,a,与,b ,得排列,所以，经一次相邻对换，排列改变奇偶性.,4 对换,对换,定理 1,一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性.,证 先证相邻对换的情形,.,那么,设排列,经对换,a,与,b,排列，得排列,相邻对换,再证一般对换的情形,.,设排列,22,事实上，排列（1）经过,2,m + 1,次相邻对换变为排列（2）.,定理 2,n,阶行列式也可以定义为,根据相邻对换的情形及,2,m + 1,是奇数，,性相反,.,所以这两个排列的奇偶,23,53142,解,(,53,1,4,2,) =,4+2+,0,+,1,+0,=,7,(,53,4,1,2,) =,4+2+,2,+,0,+0,=,8,53412,求这两个排列的逆序数.,经对换,1,与,4,得排列,例,1,排列,24,1.,选择,i,与,k,使,（,1,）,2 5 i 1 k,成偶排列,;,（,2,）,2 5 i 1 k,成奇排列,.,若是，指出应冠以的符号,3.,计算,n,阶行列式,练习,25,行列式中的项,.,1.,（,1,）,i,=,4,k,=,3,时，即排列,2 5 4 1 3,为偶排列；,（,2,）,i,=,3,k,=,4,时，即排列,2 5 3 1 4,为奇排列,.,26,性质,1,5 行列式的性质,行列式与它的转置行列式相等.,设,行列式,D,T,称为行列式,D,的转置行列式.,记,那么,27,=,性质 2,推论,两行（列）相同的行列式值为零.,互换行列式的两行（列），行列式变号.,设行列式,D = det,(,a,ij,),互换第,i , j,(,i,j,),两行,得行列式,性质 2 的证明,28,其中，当,k i , j,时,b,kp,= a,kp,;,当,k = i , j,时，,b,ip,= a,jp, b,jp,= a,ip,其中,1,i j n,是自然排列,所以,于是,=,D,29,数,k ,推论,行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符号,性质 3,等于用数,k,乘此行列式,.,行列式的某一行（列）中的所有元素都乘以同一个,外面.,30,例,3,31,性质,4,式等于零.,行列式中如果有两行（列）元素成比例 ，则此行列,例,5,=,0,32,若行列式 的某一列（行）的元素都是两个元素和 ，,例如,则此行列式等于两个行列式之和 .,性质 5,33,例,6,34,把行列式的某行（列）的各元素同一倍数后加到另,一行（列）的对应元素上去，,行列式的值不变.,性质 6,35,r,2,- r,1,=,例,7,例,8,计算行列式,36,解,r,2,- r,1, r,3,- 3r,1 ,r,4,- r,1,例,8,计算行列式,37,r,2,2,r,3,+ r,2, r,4,- 2r,2,38,r,4,( -,3,), r,3,r,4,r,4,+3r,3,39,例,9,计算行列式,解 从第,4,行开始，后行减前行得，,40,例,10,计算行列式,解 各行都加到第一行，,41,各行都减第一行的,x,倍,第一行提取公因子,(,a+3x,),42,6,行列式按行（列）展开,在,n,阶行列式,det,(,a,ij,),中，把元素,a,ij,所在的第,i,行和第,j,列,A,ij,=,(,1,),i+j,M,ij,记成,M,ij,称为元素,a,ij,的,余子式,.,称它为元素,a,ij,的,代数余子式,.,划去,剩下的,(,n,1,),2,个元素按原来的排法构成的,n,1,阶行列式,记,例,1,三阶行列式,中元素,a,23,的余子式为,43,元素,a,23,的代数余子式为,例,2,四阶行列式,中元素,x,的代数余子式为,=,5,44,行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元,或,行列式等于它的任意一行（列）的各元素与其对应,或,的代数余子式乘积之和，即,素的代数余子式乘积之和等于零,.,即,定理,3,推论,45,引理,在行列式,D,中，如果它的第,i,行中除,a,ij,外其余元素,都为,0,即,D = a,ij,A,ij,那么,证明 先证,a,ij,位于第,1,行，第,1,列的情形，即,46,由行列式的定义，得,再证一般情形，设,用互换相邻两行和相邻两列，把,a,ij,调到左上角，得行列式,47,利用前面的结果，得,于是,所以引理成立,.,48,定理,3,行列式等于它的任意一行（列）的各元素与其对应,证 因为,或,的代数余子式乘积之和，即,49,椐引理，就得到,类似地可得,50,例,3,计算四阶行列式,解 按第,1,列展开，有,51,例,4,计算四阶行列式,解 按第,1,行展开，有,52,对等式右端的两个,3,阶行列式都按第,3,行展开，得,解,c,3,- c,1,c,4,- 2c,1,例,5,计算四阶行列式,53,第,1,行提取,2,，第,2,行提取,1,按第,2,行展开得,54,按第,1,行展开,r,2,+ r,1,=,24,c,2,- c,1,，,c,3,- c,1,55,例,6,证明范德蒙（,Vandermonde,） 行列式,证 用数学归纳法,.,所以当,n=2,时（*）式成立,.,假设对于,n 1,阶范德蒙,r,i,x,1,r,i -1,i,=,n,n,1, ,2,有,因为,对,n,阶范德蒙行列式做运算,行列式等式成立,.,56,按第,1,列展开后，各列提取公因子,(,x,i,- x,1,),得,57,椐归纳法假设，可得,归纳法完成,.,例,7,计算 行列式,58,解,例,7,计算 行列式,59,推论,行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元,或,元素的代数余子式乘积之和等于零,.,即,60,先以,3,阶行列式为例，例如为了证得,因为,所以,又,61,设行列式,D = det,(,a,ij,),，,因为行列式,D,1,中第,i,行与第,j,行元素对应相同，,把行列式,D,1,按第,j,行展开，有,类似地，也可以证明另一个式子,.,所以,推论的证明,取行列式,62, 7,Cramer,法则,设线性方程组,定理,4,（,Cramer,法则,）,若线性方程组（,1,）的系数行列式不,即,等于零，,63,其中,则方程组有唯一解,64,证 先证（,2,）是（,1,）的解，即要证明,为此看,n+1,阶行列式,第,1,行展开，注意到，其第一行中,a,ij,的代数余子式为,首先，因为第,1,行与第,i+1,行相同,所以它的值为零,.,再把它按,65,故有,因而,即,是线性方程组（,1,）解,.,66,3,个恒等式,A,12, A,22, A,32,分别乘以上的,3,个等式得,相加,得,设,x,1,= c,1, x,2,= c,2, x,3,= c,3,是线性方程组（,1,）的解,于是有,只证三个未知量的情形。,67,类似的可得,于是,也就是,由于,68,例,1,用,Cramer,法则解线性方程组,解 因为,69,所以,70,定理,5,如果齐次线性方程组,的系数行列式,D0,，那么它只有零解,.,下述齐次方程组有非零解,？,71,解 根据定理,5,，若此齐次线性方程组有非零解，则其系,所述方程组确有非零解,.,行列式必为,0,.,而,72,