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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,定积分的概念,前一章我们从导数的逆运算引出了不定积分，系统地介绍了积分法，这是积分学的第一类基本问题。本章先从实例出发，引出积分学的第二类基本问题,定积分，它是微分（求局部量）的逆运算（微分的无限求和,求总量），然后着重介绍定积分的计算方法，它在科学技术领域中有着极其广泛的应用。,重点,定积分的概念和性质，微积分基本公 式，定积分的换元法和分部积分法,难点,定义及换元法和分部法的运用,基本要求,正确理解定积分的概念及其实际背景,记住定积分的性质并能正确地运用,掌握变上限定积分概念，微积分基本定理，,并会用,N-L,公式,计算定积分，,能正确熟练地运用换元法和分部积分法,正确理解两类广义积分概念，,并会用定义 计算一些较简单的广义积分。,计 算定积分,实例,1,（求曲边梯形的面积）,求面积问题由来已久，对于由直线所围成的平面图形的面积我们已经会求，下图所示的图形如何求面积,将其置于直角,坐标系下考察,o,x,y,a,b,A,B,m,n,问题归结为,AmBbaA,与,AnBbaA,的面积之差,曲边梯形,一、问题的提出,a,b,x,y,o,用矩形面积近似取代曲边梯形面积,a,b,x,y,o,（四个小矩形）,a,b,x,y,o,（九个小矩形）,显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积,注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系是越来越接近,曲边梯形如图所示,曲边梯形面积的近似值为,曲边梯形面积为,实例,2,（求变速直线运动的路程）,思路,：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值,部分路程值,某时刻的速度,（,2,）求和,（,3,）取极限,路程的精确值,（,1,）分割,问题,以上两个例子，一个是,几何,问题，求的是以曲线,y,=,f,(,x,),为曲边，以,a,b,为底边的曲边梯形的面积。一个是,物理,问题，求的是速度函数为,v,(,t,),的变速直线运动的物体在时间区间,a,b,所走过的路程,归纳,它们求的都是展布在某个区间上的总量（总面积或总路程）,解决方法：,通过,局部取近似,（,求微分,），,求和取极限,（,微分的无限求和,）的方法，把总量归结为 求一种特定和式的极限,类似的例子还可以举出很多（几何、物理的，在下一章定积分应用中即可见到）,这些问题虽然研究的对象不同，但解决问题的思路及形式都有共同之处。为了一般地解决这类问题，就有必要撇开它们的具体含义，而加以概括、抽象得出定积分的概念,定义,二、定积分的定义,记为,被积函数,被积表达式,积分变量,积分下限,积分上限,积分和,注意：,定理,1,定理,2,三、存在定理,曲边梯形的面积,曲边梯形的面积的负值,四、定积分的几何意义,几何意义：,解,例,1,利用定义计算定积分,例,2,利用定义计算定积分,解,在,0,1,上连续，故,f,(,x,),在,0,1,上可积,为,方便计，将,0,1,n,等分，左侧取点,等比数列,证明,利用对数的性质得,极限运算与对数运算换序得,故,对定积分的,补充规定,:,在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小,说明,定积分的性质,一、基本内容,证,（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）,性质,1,性质,2,证,性质,1+,性质,2,得,：,推广：,即线性组合的定积分等于定积分的线性组合,说明定积分也具有,线性运算性质,补充,：不论 的相对位置如何,上式总成立,.,例,若,则,（,定积分对于积分区间具有可加性）,性质,3,性质,5,（非负性）,证,性质,4,令,于是,性质,5,的推论：（比较定理）,（,1,）,（,2,）,说明：,可积性是显然的,.,解,证,（,此性质可用于估计积分值的大致范围）,解,性质,6,（估值定理）,积分中值公式,证,由闭区间上连续函数的介值定理知,性质,7,（定积分中值定理）,使,即,积分中值公式的几何解释：,解,由积分中值定理知有,使,例,4,设,f,(,x,) ,g,(,x,),在,a,b,上连续，证明,若,在,a,b,上,则,在,a,b,上,若在,a,b,上,若在,a,b,上,则在,a,b,上,证明,反证法,必有,一点,不妨设,a,x,0,b,（,端点处的情况类似）,由,f,(,x,),的连续性,由非负性,由,积分中值定理,与题设,矛盾,已知,由比较定理,则,由得,而,假设, 已知,由,比较定理,由得,定积分的性质,（,注意估值性质、积分中值定理的应用）,典型问题,（）估计积分值；,（）不计算定积分比较积分大小,思考题,二、小结,例,思考题解答,
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