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单击以编辑,母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,一阶线性微分方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第四节,一、一阶线性微分方程,二、伯努利方程,第十二章,一、一阶线性微分方程,一阶线性微分方程标准形式,:,若,Q,(,x,),0,若,Q,(,x,),0,称为,非齐次方程,.,1.,解齐次方程,分离变量,两边积分得,故通解为,称为,齐次方程,;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,对应齐次方程通解,齐次方程通解,非齐次方程特解,2.,解非齐次方程,用,常数变易法,:,则,故原方程的通解,即,即,作变换,两端积分得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,1.,解方程,解,:,先解,即,积分得,即,用,常数变易法,求特解,.,令,则,代入非齐次方程得,解得,故原方程通解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,2.,求方程,的通解,.,解,:,注意,x,y,同号,由一阶线性方程,通解公式,得,故方程可,变形为,所求,通解为,这是以,为因变量,y,为,自变量的一阶线性方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在闭合回路中,所有支路上的电压降为,0,例,3.,有一电路如图所示,电阻,R,和电,解,:,列方程,.,已知经过电阻,R,的电压降为,R i,经过,L,的电压降为,因此有,即,初始条件,:,由回路电压定律,:,其中电源,求电流,感,L,都是常量,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解方程,:,由初始条件,:,得,利用一阶线性方程解的公式可得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,暂态电流,稳态电流,因此所求电流函数为,解的,意义,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、伯努利,(,Bernoulli ),方程,伯努利方程的标准形式,:,令,求出此方程通解后,除方程两边,得,换回原变量即得伯努利方程的通解,.,解法,:,(,线性方程,),伯努利 目录 上页 下页 返回 结束,例,4.,求方程,的通解,.,解,:,令,则方程变形为,其通解为,将,代入,得原方程通解,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1.,一阶线性方程,方法,1,先解齐次方程,再用常数变易法,.,方法,2,用通解公式,化为线性方程求解,.,2.,伯努利方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,判别下列方程类型,:,提示,:,可分离 变量方程,齐次方程,线性方程,线性方程,伯努利方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,P281,1,(3) , (6) , (9),; 2,(5) ; 6 ;,7,(3) , (5),作业,第五节 目录 上页 下页 返回 结束,备用题,1.,求一连续可导函数,使其满足下列方程,:,提示,:,令,则有,利用公式可求出,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.,设有微分方程,其中,试求此方程满足初始条件,的连续解,.,解,:,1),先解定解问题,利用通解公式,得,利用,得,故有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2),再解定解问题,此齐次线性方程的通解为,利用衔接条件得,因此有,3),原问题的解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(,雅各布第一,伯努利,),书中给出的伯努利数在很多地方有用,伯努利,(1654 1705),瑞士数学家,位数学家,.,标和,极坐标下的曲率半径公式,1695,年,版了他的,巨著,猜度术,上的一件大事,而伯努利定理则是大数定律的最早形式,.,年提出了著名的伯努利方程,他家,祖孙三代出过十多,1694,年他首次给出了直角坐,1713,年出,这是组合数学与概率论史,此外,他对,双纽线,悬链线和对数螺线都有深入的研究,.,
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