线性各向同性和各向异性晶体的极化响应

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,线性各向同性和各向异性晶体的极化响应,阴 帅 黄迺本,中山大学物理系,2007.8.延边大学,目录,1. 朗之万-德拜,(,Langevin,-,Debye,),极化理论及其局限性,2.,晶体极化响应必须由量子理论和统计物理解释,3.,NaCl,晶体在外电场中的极化强度,4.,各向异性晶体的极化强度,5. 总结,1. 朗之万-德拜,(,Langevin,-,Debye,),极化理论,及其局限性,我们知道,一个,电极矩为,p,的电偶极子在,电场,E,中的势能为,q,为,p,与,E,之间的夹角.,朗之万,(,Langevin,),根据,波尔兹曼,分布定律,给出在外电场作用下,气体,和,液体,介质,取向极化,所导致的,极化强度,(1),其中,p,0,为分子固有电偶极矩,N,0,为单位体积内被取向极化的分子数, 是热平衡分布下,cos,q,的平均值,称为,朗之万函数,记为,L,(2),当 时(,弱场作用下,),有,(3),因此,气体,和,液体,取向极化,导致的,极化强度,为,(4),其中,(5),称为,每一分子,的,平均取向极化率,.,在同时出现,电子极化,离子极化,和,取向极化,的一般情形下,对于,气体,和,液体,电介质,朗之万-德拜,(,Langevin,-,Debye,),方程给出,每一分子的,平均极化率,(6),其中,a,e,是,电子极化率,a,i,是,离子极化率,a,0,是,取向极化率,.,以,N,e,N,i,N,0,分别表示单位体积内电子极化、离子极化和取向极化的,分子数,朗之万-德拜,由经典统计物理给出的,极化强度,被描写为,(7),朗之万-德拜极化理论的局限性,朗之万-德拜,极化理论成功解释了,极性分子,气体,和,液体,的极化，但是却,不能解释,晶体极化,问题.,主要表现在两个方面：,（1）,朗之万-德拜,理论给出的,极化率反比于温度,.但是,对于离子晶体，极化率随温度变化很小,例如对于,NaCl,晶体约为3.410,-4,1/,K.,（2）,对于,各向异性晶体,的极化问题,朗之万-德拜,理论,更加不能解释.,2.,晶体极化响应必须由量子理论和统计物理解释,实践表明介质的极化响应,决定于:,介质的内部结构,作用外场的强度、频率，以及温度,即使作用外场的强度、频率，以及温度相同，不同结构的介质, 也有不同的极化响应,.,极化强度,所反映的，是在外电场作用下,大量分子极化,这一,微观现象,所表现出来的,统计性质,.,因此,必须根据,介质的具体结构,利用,量子理论,和,统计物理, 才能对,各种介质的极化响应,给出,合理解释.,爱因斯坦振子,爱因斯坦,曾经利用量子理论,成功解释了固体热容量随温度下降的实验事实.爱因斯坦将固体中,原子的热运动,看成,3,N,个谐振子,的振动，并,假设,这3,N,个振子的,频率,w,相同.,振子能级,为,(8),我们认为,对于,线性各向同性,晶体,在外电场作用下的,极化响应,问题，晶体中,离子的振动,同样符,合爱因斯坦模型.例如,NaCl,晶体,，,每个离子的一个自由度的振动能,量也符合式,(8),，如图,(1),所示.,下面,我们从,量子理论,出发并根据,统计理论,把,外电场,对,晶体离子,的影响看成是对,谐振子,的,微扰,项,即晶体受到,弱场作用,.,首先给出,线性各向同性晶体,例如,NaCl,晶体在外电场作用下,极化强度,的表达式,再把这一结果推广到,各向异性晶体.,3.,NaCl,晶体在外电场中的极化强度,电场强度,一般地是位置的函数，记为,E,(,x,),根据晶格对称性和电荷的对称性，我们讨论晶体中的,Na,离子.,设一个,Na,离子位于晶体中,x,处，则离子的,哈密顿量,为,(9),其中,(10),这里,是,Na,的,质量,是,相对于平衡位置的距离.,外电场对谐振子能级的影响,考虑第,i,个自由度,有,(11),由矩阵元公式,(12),可求出准确到,二级微扰近似,下的能量,(13),每,一个,Na,离子,的,能级,为,(14),晶体为,定域系统,在满足,经典极限,条件下,遵从,玻尔兹曼统计.,于是得到,Na,的,配分函数,(15),b,=,1/,kT,.,外界对系统,的,广义作用力,Y,为,(16),其中,y,为广义坐标,N,为分子数.,极化过程中,电场对介质做,的,元功,转化为,介质在电场中,的,能量,(17),在式(16)中作如下,代换,(18),得,Na,对总的,极化强度的,i,分量,的贡献,(19),其中,n,为,Na,离子,数密度,作类似讨论，可得,Cl,离子对总的,极化强度的,i,分量,的贡献,(20),其中，,为,Cl,离子,的,质量,，,为,Cl,离子,的爱因斯坦,频率,推广到三维情形，可以得到,总极化强度,为,(21),于是，我们得到,极化率,的表达式,(22),由式,(22),可看出，,极化率,正比于离子数密度,n,，,且正比于离子电量,e,的平方,上述考虑是基于,正负离子的,电量,和,密度,相等.,对于,CaCl,2,等晶体,，,负离子,是,正离子,数目的,二倍,，且,电量,是正离子电量绝对值的,一半.,但是不难把（22）式推广到更加一般的情形,(23),其中,上标,带“,”,的表示,负离子,的参量，,不带“,”,的表示,正离子,的参量考虑到,晶体的电中性,，,上述参量并不完全独立,4.,各向异性晶体的极化强度,在爱因斯坦模型中，假设,原子三个独立方向,上的,振动圆频率,是相同的，均为,，这对于线性,各向同性,晶体,是适用的,但是，对于线性,各向异性,晶体,，例如,六角密排,晶格，显然是不适用的一般地, 这类晶体的,极化强度,为,(24),实验表明，,线性,各向异性晶体,的,极化率张量,是,实对称矩阵,.,因而可以,对角化,，相应有三条相互垂直的,极化主轴,，在这,三条主轴方向上的极化率,是,彼此独立,的，即有,(25),由爱因斯坦模型，把,线性,各向异性,晶体离子,看作在,主轴,方向上三个,相互独立,的,谐振子,，振子的爱因斯坦圆频率分别为,1,2,和,3,，并且 ,于是只要把前面得出的(11) 、(14)、(15)、(19) 各式,中的,改写为,i,，,便可得到,(26),上式,中只考虑了,一种离子,，假设晶体由,两种离子,构成，另一种离子的极化强度可以仿照,(20),式写出这样，我们就得到,线性,各向异性,晶体,极化率张量,的,对角化,形式,(27),其中,(28),5. 总结,我们利用爱因斯坦振子模型，从微观角度入手，根据统计理论求出晶体极化强度的表达式.虽然,只考虑,到极化的,线性近似,，,而且,没有,考虑,高级矩,的影响，但是，这一方法无疑很容易推广到上述问题.我们将在后续文章中再作讨论.,