第十二讲 矩阵的初等行变换

单击此处编辑母版标题样式,*,*,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,矩阵的初等变换是矩阵的一种十分重要的运算,它在解线性方程组、求逆阵及矩阵理论的探讨中都可起重要的作用,矩阵的初等变换把,矩阵的形式改变了，但他的一些内涵并没有改变。正因为有这样的特点我们就把复杂的矩阵通过初等变换变成简单的形式研究，就会很方便。,1,下面三种变换称为矩阵的初等行变换,:,一、矩阵的初等变换的定义,1.,初等行变换,）；,记作,两行,(1),对调两行（对调,j,r,r,j,i,i,;,0,乘以某一行的所有元素,(2),以数,k,）,记作,行乘,（,第,k,r,k,i,i,.,）,行上记作,倍加到第,行的,对应的元素上去,（,第,倍加到另一行,(3),把某一行所有元素的,j,i,kr,r,i,k,j,k,+,2,2.,初等列变换：,同理可定义矩阵的初等列变换,(,所用记号是把,“,r,”,换成,“,c,”,),3.,初等变换：,矩阵的初等行变换和初等列变换，,统称为,初等变换,如：,问,:,能写等号吗？不能，只能用,3,注：,初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同,的逆变换为,变换,变换,的逆变换为,变换,的逆变换为,4,5,二、矩阵的等价关系,行等价,，,记作,与,就称矩阵,，,成矩阵,经有限次初等行变换变,如果矩阵,B,A,B,A,B,A,r,列等价，记作,与,就称矩阵,，,成矩阵,经有限次初等列变换变,如果矩阵,B,A,B,A,B,A,c,等价，记作,与,就称矩阵,，,矩阵,经有限次初等变换变成,如果矩阵,B,A,B,A,B,A,6,等价关系的性质：,(i),反身性,A,A,(ii),对称性,若,A,B,则,B,A,(iii),传递性 若,A,B,B,C,则,A,C,7,三、利用初等变换求矩阵的逆的方法,设,n,阶方阵,A,可逆，可按如下方法求,A,的逆矩阵：,.,),(,2,1,-,A,E,E,A,E,A,n,n,就变成,时，原来的,变成,当把,施行初等行变换，,矩阵,对,即,初等行变换,方法的证明在初等矩阵那一节给出,8,例 设,求,解：,注意：先把第一列变成单位向量，再把第二列变成,单位向量。,9,解,:,将 元化为,1,例,2.,设 ，求,.,10,将 元化为,1,这已是阶梯形矩阵,再化为行最简形,特别要注意将元素化为零,的先后顺序,.,11,所以,若矩阵不可逆，也可以用初等变换的方法判别出来。,12,1.,初等行,(,列,),变换,初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同,初等行变换,小结,:,3.,求,A,-,1,的方法：,2.,矩阵等价具有的性质,;,(1),反身性,;,(2),对称性,(3),传递性,.,13,