线性变换的矩阵

单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,7.3,线性变换和矩阵,一、内容分布,7.3.1,线性变换的矩阵,7.3.2,坐标变换,7.3.3,矩阵唯一确定线性变换,7.3.4,线性变换在不同基下的矩阵,-,相似矩阵,二、教学目的,:,1,熟练地求出线性变换关于给定基的矩阵，以及给定,n,阶矩阵和基，求出关于这个基的矩阵为的线性变换,2,由向量,关于给定基的坐标，求出,(,),关于这个基的坐标,3,已知线性变换关于某个基的矩阵，熟练地求出,关于另一个基的矩阵,.,三、重点难点,:,线性变换和矩阵之间的相互转换,坐标变换,相似矩阵,.,7.3.1,线性变换的矩阵,现在设,V,是数域,F,上一个,n,维向量空间，令,是,V,的一个线性变换，取定,V,的一个基,令,设,n,阶矩阵,A,叫做线性变换,关于基 的矩阵,.,显然,A,的第,j,列就是,(,j,),关于基,的坐标,.,上面的表达常常写出更方便的形式,:,(1),由此可知,:,取定,F,上,n,维向量空间,V,的一个基之后，对于,V,的每一个线性变换,，都有唯一确定的,n,阶矩阵,A,与之对应这样一来，从,L(V),到,M,n,(F,),必然存在着一个对应关系,-,映射，不妨记为,练习,:,教材,P284-,习题第,1,题,7.3.2,坐标变换,设,V,是数域,F,上一个,n,维向量空间,是,V,的一个基, ,关于这个基的坐标是 而,(,),的坐标是 问,:,和 之间有什么关系呢,?,设,因为,是线性变换，所以,（,2,）,将（,1,）代入（,2,）得,最后，等式表明， 的坐标所组成的列是,综合上面所述,我们得到坐标变换公式：,定理,7.3.1,令,V,是数域,F,上一个,n,维向量空间，,是,V,的一个线性变换，而,关于,V,的一个基 的矩阵是,如果,V,中向量,关于这个基的坐标是 ，而,(,),的坐标是 ，,那么,例,例,在空间 内取从原点引出的两个彼此正交的单位向量 作为 的基,.,令,是将 的每一向量旋转角,的一个旋转,.,是 的一个线性变换,.,我们有,所以,关于基 的矩阵是,设 ，它关于基 的坐标是,而 的坐标是,.,那么,例,3,令是数域上一个,n,维向量空间，,是的一个位似，那么关于任意基的矩阵是,特别地，的单位变换关于任意基的矩阵是单位矩,阵；零变换关于任意基的矩阵是零矩阵,7.3.3,矩阵唯一确定线性变换,引理,7.3.2,设,V,是数域,F,上一个,n,维向量空间， 是,V,的一个基，那么对于,V,中任意,n,个向量 ，有且仅有,V,的一个线性变换,，使得,:,证,设,是,V,中任意向量,.,我们如下地定义,V,到自身的一个映射,：,我们证明，,是,V,的一个线性变换。设,那么,于是,设 那么,这就证明了,是,V,的一个线性变换。线性变换,显然满足定理所要求的条件：,如果,是,V,的一个线性变换，且,那么对于任意,从而 ,定理,7.3.3,设,V,是数域,F,上一个,n,维向量空间，,是,V,的一个基，对于,V,的每一个线性变换,，令,关于基 的矩阵,A,与它对应，这样就得到,V,的全体线性变换所成的集合,L,（,V,）到,F,上全体,n,阶矩阵所成的集合 的一个双射，并且如果,而 ， 则,(3) (4),证,设线性变换,关于基 的矩阵是,A,。那么 是 的一个映射。,是,F,上任意一个,n,阶矩阵。令,由引理,7.3.2,，存在唯一的 使,反过来，设,显然,关于基 的矩阵就是,A.,这就证明了如上建立的映射是 的双射,.,设 我们有,由于,是线性变换,所以,因此,所以,关于基 的矩阵就是,AB,。（,7,）式成立，至于（,6,）式成立，是显然的。,推论,7.3.4,设数域,F,上,n,维向量空间,V,的一个线性变换,关于,V,的一个取定的基的矩阵是,A,，那么,可逆必要且只要,A,可逆，并且 关于这个基的矩阵就是,.,证,设,可逆。令 关于所取定的基的矩阵是,B,。由（,7,），,然而单位变换关于任意基的矩阵都是单位矩阵,I,.,所以,AB,=,I,.,同理,BA,=,I,.,所以,注意到（,5,），可以看出 同理 所以,有逆，而 ,反过来，设 而,A,可逆。由定理,7.3.3,，有 于是,我们需要对上面的定理,7.3.1,和定理,7.3.3,的深刻意义加以说明,:,1.,取定,n,维向量空间,V,的一个基之后,在映射,:,之下,(,作为向量空间,),研究一个抽象的线性变换,就可以转化为研究一个具体的矩阵,.,也就是说,线性变换就是矩阵,.,以后,可以通过矩阵来研究线性变换,也可以通过线性变换来研究矩阵,.,2.,我们知道,数域,F,上一个,n,维向量空间,V,同构于, V,上的线性变换,转化为 上一个具体的变换,:,也就是说,线性变换都具有上述形式,.,引言：,一般地线性变换关于基的矩阵与基的选择有关,同一线性变换在,V,中的两个不同基下的矩阵,一般,不同,.,为了利用矩阵研究线性变换，显然需要讨论线性变换在不同基下的矩阵间的关系。,引例,：,设 ，且 关于基,，,的矩阵为,求关于基 的矩阵,分析,:,本题不能直接用定义做,因 的对应关系不清楚,由定义是求,B,使,B,，,又由题知 ，而 与,间的关系易得，因而可通过上述已知转化一下。,解：,设,B,，,因 ，所以,其中,.,于是,所以,设线性变换,关于基 的矩阵是,A, ,关于基 的矩阵是,B,由基 到基 的过渡矩阵,T,于是有,:,定理,7.3.5,7.3.4,线性变换在不同基下的矩阵,相似矩阵,(1),(2),(3),由,(3),得,比较两端,得,证明,:,定义：,设,A,，,B,是数域,F,上两个,n,阶矩阵,.,如果存在,F,上一个,n,阶可逆矩阵,T,使等式成立，那么就说,B,与,A,相似，记作：,.,n,阶矩阵的相似关系具有下列性质：,1.,自反性：每一个,n,阶矩阵,A,都与它自己相似，因为,2.,对称性：如果 ，那么 ；因为由,3.,传递性：如果,且,那么,事实上，由 得,因此,:,线性变换在不同基下的矩阵是相似的,.,反过来，一对相似矩阵可以是同一个线,性变换在不同基下的矩阵,.(,证明略,-,教材,P283P284),容易证明,NOTE:,这两个式子的作用在于方便运算,例,4,设,A,、,B,都是,n,阶矩阵，且,A,可逆,.,证明,: ABBA.,问题：,Th7.3.5,说明， 关于,V,的不同基的矩阵是相似的；且所有彼此相似的矩阵可看成同一线性变换在不同基下的矩阵。这自然会提出问题： 满足什么条件下，可以并且如何选取,V,的基，使线性变换关于这个基的矩阵尽可能简单？或曰：方阵满足什么条件时，如何在彼此相似的矩阵中选取一个方阵，使得它最简单？这是因为简单方阵研究起来方便一些。后几节讨论，什么样的方阵与对角方阵相似，进而寻找可逆方,T,，,对给定的方阵,A,，,使得 为对角形。,