11复数及其运算

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,课程名称,工程数学,教 材,工程数学讲义,总 学 时,64学时,教师姓名,课程简介,1,对 象,复变函数、积分变换、场论,主要任务,研究复变数之间的相互依赖关系，,具体地就是复数域上的微积分。,主要内容,复变函数的积分、级数、留数、,共形映射、积分变换、场论。,复数与复变函数、解析函数、,2,复变函数的应用背景,世界著名数学家 M.Kline指出：19世纪最独特的创造是复变函数理论。,象微积分的直接扩展统治了18世纪那样，该数学分支几乎统治了19世纪。,它曾被称为这个世纪的数学享受，也曾作为抽象科学中最和谐的理论。,3,16,世纪,，解代数方程时引入复数,17,世纪,，实变数初等函数推广到复变数情形,18,世纪,，,J.,达朗贝尔与,L.,欧拉逐步阐明复数的几何、物理意义。,19,世纪,，奠定理论基础。,A.L.Cauchy,、维尔斯特拉斯分别用积分和级数研究复变函数，黎曼研究复变函数的映射性质,20,世纪,，发展为数学分支,在解析性质、映射性质、多值性质、随机性质、函数空间及多复变函数等方面有重要成果。,20世纪,19,18,17,16,4,空气动力学,流体力学,电学,热学,复变函数论,在空气动力学、流体力学、电学、热学、理论物理等领域有重要应用。,复变函数论,5,6,4）应用于计算绕流问题中的压力、力矩,。,5）应用于计算渗流问题。,例如：大坝、钻井的浸润曲线。,6）应用于平面热传导问题、电(磁)场强度,。,例如：热炉中温度的计算。,最著名的例子是飞机机翼剖面压力的计算。,从而解决机翼的造型。,7,7）Laurent级数应用于数字信号处理。,8）积分变换也是复变函数的重要应用。,9）Laplace变换可以求解微积分方程,。,积分变换的理论需要复变函数的留数等理论。,利用Laurent级数直接写出离散数字信号的Z变换。,8,10）Laplace变换应用于控制问题。,在控制问题中，传递函数是输入量的Laplace变换与输出量的Laplace变换之比,。,11）Fourier变换应用于频谱分析。,12）Fourier变换应用于信号处理。,频谱分析是把周期信号展开成Fourier级数，对各次谐波的频率、振幅、相位之间的关系进行分析。,随着计算机的发展，语音、图象作为信号，在频率域中的处理要方便得多。,9,第一章 复数和复变函数,1-1 复数及其运算,1-2 复变函数,10,一、复数的概念,对,虚数,单位,作如下,规定:,1-1 复数及其运算,11,复 数,(real part) (imaginary part),12,一般,任意两个复数不能比较大小。,复数的模,判断复数相等,13,例1,解,求,设,14,定义,z,1,=,x,1,+,iy,1,与,z,2,=,x,2,+,iy,2,的和、差、积和商为：,z,1,z,2,=(,x,1,x,2,)+,i,(,y,1,y,2,),z,1,z,2,=(,x,1,+,iy,1,)(,x,2,+,iy,2,)=(,x,1,x,2,-,y,1,y,2,)+,i,(,x,2,y,1,+,x,1,y,2,),四则运算,二、代数运算,15,z,1,+z,2,=z,2,+z,1,；,z,1,z,2,=z,2,z,1,；,(z,1,+z,2,)+z,3,=z,1,+(z,2,+z,3,)；,z,1,(z,2,z,3,)=(z,1,z,2,)z,3,；,z,1,(z,2,+z,3,)=z,1,z,2,+z,1,z,3,.,运算规律,复数的运算满足交换律、结合律、分配律。（,与实数相同,）即，,16,共轭复数的性质,定义,若,z=x+iy ,称,z,=,x,-,iy,为,z,的共轭复数.,(conjugate),共轭复数,17,例 2,解,18,三、 复数的表示方法,点表示,19,数,z,与点,z,同义,.,20,显然成立：,向量表示,21,复数和与差的模的性质,共轭复数的几何性质,22,注意 1,辐角不确定，没有辐角.,注意 2,复数辐角的定义,23,辐角主值的定义,24,25,当,z,落于一,四象限时，不变。,当,z,落于第二象限时，加 。,当,z,落于第三象限时，减 。,26,利用直角坐标与极坐标的关系,复数可以表示成,三角表示,27,利用,Euler,公式,指数表示,28,例 3,将下列复数化为三角表示式与指数表示式:,解,故,29,故,30,例 4,求下列方程所表示的曲线:,解,31,化简后得,32,四、扩充复平面,与复球面,33,球面上的点, 除去北极,N,外, 与复平面内的点之间存在着一一对应的关系. 我们用球面上的点来表示复数.,球面上的北极,N,不能对应复平面上的定点，但,球面上的点离北极,N,越近，它所表示的复数的模越大,.,34,我们规定: 复数中有一个唯一的“无穷大”与复平面上的无穷远点相对应, 记作,.,因而, 球面上的北极,N,就是复数无穷大的几何表示.,35,包括无穷远点的复平面称为,扩充复平面.,不包括无穷远点的复平面称为有限,复平面, 或简称复平面.,引入复球面后，能将扩充复平面的无穷远点明显地表示出来.,球面上的每一个点与扩充复平面的每一个点构成了一一对应, 这样的球面称为,复球面,.,36, 的几何解释：,由于在复平面上没有一点能与,相对应，所,以，只得假想在复平面上添加一个“假想点”（或“理想点”）使它与,对应，我们称此“假想点”为无穷远点,关于无穷远点，我们约定：在复平面添加假想点后所成的平面上，每一条直线都通过无穷远点，同时，任一半平面都不包含无穷远点,37,这里要特别注意的是，这里的记号 是一个数，而在数学分析中所见的记号 + 或 均不是数，它们只是表示变量的一种变化状态,为使无穷远点有更加令人信服的直观解释，人们引入了,黎曼球面,（或复球面）：将一个球心为O,，半径为1的球按照以下方法搁在直角坐标系,（图1-5）中（设复平面与,坐标平面重合）,使球的一条直径与,轴重合,38,由复数的表示式和代数运算得如下关系式,五、 乘积与商,39,即：,定理1,两个复数乘积的模等于它们的模相乘，,两个复数乘积的辐角等于它们的辐角相加。,40,几何意义,将复数,z,1,按,逆时针,方向旋转一个角度,Arg,z,2，,再将其伸缩到|,z,2,|倍。,定理,1,可推广到,n,个复数的乘积。,o,x,y,(z,),z,1,z,2,z,2,41,要使上式成立,必须且只需 k=m+n+1.,42,定理2,两个复数的商的模等于它们的模的商，,两个复数的商的辐角等于被除数与除,数的辐角之差。,即,43,例 6,解,44,de Moivr,公式,定义,六、 乘幂与方根,乘幂,45,例7 求 的值,解：,故有,因为,46,可以推得:,从几何上看,方根,47,48,例 8,解,即,49,50,（1） 连续曲线,平面曲线的复数表示:,七、平面曲线,51,（2） 光滑曲线,由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线称为,按(分)段光滑曲线.,52,（3） Jordan曲线,除起点与终点外无重点的连续曲线,C,称为,简单曲线,.,起点与终点重合的曲线,C,称为闭曲线.,简单闭曲线称为,Jordan(若当)曲线,.,53,Jordan曲线的性质,任意一条简单闭曲线,C,将复平面唯一地分成三个互不相交的点集.,内部,外部,边界,54,课堂练习,判断下列曲线是否为简单曲线?,答,案,简单,闭,简单,不闭,不简单,闭,不简单,不闭,55,若 是简单曲线， 与 是定义在区,间a,b 上连续并且有连续的导数，并且,有 ，则称 为,光滑曲线,，由有限,条光滑曲线首尾连接而成的曲线为,逐段光滑,曲线,逐段光滑曲线,56,（1） 邻域,注意,八、平面点集,与区域,57,(2) 去心邻域,注意：,58,(3) 内点,(4) 开集,如果,G,内每一点都是它的内点,那末称,G,为开集.,59,(5) 区域,连通的开集称为区域,即：如果平面点集,D,满足以下两个条件,则称它为一个区域.,D,是一个,开集,；,D,是,连通的, 就是说,D,中任何两点都可以用完全属于,D,的一条折线连结起来.,(6),区域的,边界点、边界,边界点：,60,注意,1：,区域的边界可能是由几条曲线和一些,孤立的点所组成的.,注意,2：,区域,D,与它的边界一起构成,闭区域,D,的所有边界点组成,D,的,边界,.,进一步地，设,D,是一个平面区域, 点,P,不属于,D,但,P,的任一邻域内总有,D,的点,则,称,P,为,区域,D,的边界点,.,61,以上基本概念的图示,区域,邻域,边界点,边界,(7) 有界区域和无界区域,62,(1) 圆环域:,课堂练习,判断下列区域是否有界?,(2) 上半平面:,(3) 角形域:,(4) 带形域:,答案,(1)有界; (2) (3) (4)无界.,63,例,设点集,则点,是,的内点；,是,的边界点；,是,的外点；,是开集且为有界集；,，,是闭集且为有界集,即,常称为单位圆,这里的,64,定义,:,若点集D为区域则称D 连同其边界,所组成的点集称为,闭域,。,如果区域,D,是有界集合，则称它为,有界,域,，否则为,无界域,。,65,(8) 单连通域与多连通域的定义,复平面上的一个区域,G, 如果在其中任作一条简单闭曲线, 而曲线的内部总属于,G, 就称为,单连通,区域. 一个区域如果不是单连通域, 就称为,多连通,区域.,单连通域,多连通域,66,任意一条简单闭曲线,必将复平面唯一地分成,三个点集，使它们满足：（1）彼此不相交；（2） 是有界区域（称为曲线,的,内部,）；（3）,是无界区域（称为曲线,的,外部,）；,（4）C,既是,的边界又是 的边界；,3.单连域和多连域,外部,67,例,设,，,E表示上半平面,由定义得知，,是单连通区域,D表示环,D,是多连通区域,68,3,例题,例 1,指出下列不等式所确定的点集, 是有界的还是无界的,单连通的还是多连通的.,解,无界的单连通域(如图).,69,是角形域,无界的单连通域(如图).,无界的多连通域.,70,表示到1,1的距离之和为定值 4 的点的轨迹,是椭圆,有界的单连通域.,71,有界集.,但不是区域.,72,例 2,解,满足下列条件的点集是什么, 如果是区域, 指出是单连通域还是多连通域?,是一条平行于实轴的直线,不是区域.,单连通域.,73,