第三章__机器数的表示

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,计算机组成原理,第三章 机器数的表示,机器数的特点,定点数的原码、反码和补码,变形码、移码和浮点数表示,机器数表示形式的变换,第一节 机器数的特点,1.,机器数用二进制数码表示,两个概念：,机器数：在机器内存放的正负号数码化的数。,真值：在机器外存放的由正负号表示的数。,二进制数在用来表示机器数方面的特点：,可用任何具有两个不同稳定状态的元件来表示。,四则运算简单。,节省存储设备。,便于逻辑代数应用。,第一节 机器数的特点,2.,机器数所表示数值的范围有限,机器数表示不带符号的整数,0,0,0,1,1,1,1,1,n,位,n,位,最小值,最大值,1X2,n,-1,机器数表示不带符号的纯小数,0,0,0,1,1,1,1,1,n,位,n,位,最小值,最大值,2,-n,X1-2,-n,结论,：机器数在表示时，是有一定范围的。,第一节 机器数的特点,3.,符号的数值化,当数字是有符号数时，把最高位当作符号位；规定：用“,0”,代表正号,+,；用“,1”,代表负号,-,。,0,1,0,1,0,0,1,1,1,0,0,1,0,1,表示,+101001,表示,-100101,第一节 机器数的特点,4.,小数点的位置有一定的约定方式,在,机器数中，根据小数点的位置是否固定分为定点表示和浮点表示。,定点表示：小数点的位置固定不变。,X,n-1,X,n-2,X,n-3,X,1,X,0,X,n-1,X,n-2,X,n-3,X,1,X,0,浮点表示：小数点的位置不定。则二进制数,X,可以表示成：,X=2,r,x,。,r,为阶码,x,为,尾数。,1,1,0,0,1,0,0,1,阶符,尾符,阶码,尾数,第二节 定点数的原码、反码和补码,1.,定点数的原码表示,原,码：真值,x,的符号数值化后的机器数，记,x,原,正数的原码,真值x=+11010,n=6,则x,原,=+11010,原,=,0,11010,即：,x,原,=x+2,n,(0x2,n-1,),n,为字长,负数的原码,真值x=-11010,则x,原,=-11010,原,=,1,11010,即：,x,原,=2,n-1,-x,(-2,n-1,x 0),0,的原码,+0,原,=,0,00000 -0,原,=,1,00000,第二节 定点数的原码、反码和补码,1.,定点数的原码表示,综,上，字长为,n,的定点整数的原码定义为：,x,原,x+2,n,2,n-1,-x,(0,x2,n-1,),(-2,n-1,x,0),=,字长为,n,的定点纯小数的原码定义为：,x,原,x+2,2,0,-x,(0,x1),(-1x,0),=,结论：真值,x,的原码是符号位用,0,表示正，,1,表示负，数值部分保持不变。,第二节 定点数的原码、反码和补码,2.,定点数的反码表示,正数的反码,x,反,=x,原,即：,x,反,=x+2,n,(0x2,n-1,),负数的反码,真值x=-11010,则x,反,=-11010,反,=,1,00101,即：,x,反,=2,n,-1+x,(-2,n-1,x 0),反码：记,x,反,0,的反码,正,0,的,反码,x,反,=+00000,反,=,0,00000,负,0,的反码,x,反,=-00000,反,=,1,11111,第二节 定点数的原码、反码和补码,2.,定点数的反码表示,综,上，字长为,n,的定点整数的反码定义为：,x,反,x+2,n,2,n,-1+x,(0,x2,n-1,),(-2,n-1,x,0),=,字长为,n,的定点纯小数的反码定义为：,2-2,-(n-1),+x,x,反,x+2,(0,x1),(-1x,0),=,结论：正数的反码和原码相同，负数的反码是对其原码除符号位外各位取反。,第二节 定点数的原码、反码和补码,3.,定点数的补码表示,补码：正数的补码和原码相同，负数的补码是对其原码除符号位外各位取反加,1,，记,x,补,正数的补码,x,补,=x,原,即：,x,补,=,2,n,+,x,(0x2,n-1,),负数的补码,真值x=-11010,则x,补,=-11010,反,+ 1,=,1,00110,即：,x,补,=,2,n,+x,(-2,n-1,x 0),0,的补码,正,0,的,补码,+0,补,= 2,n,+(+0),=,0,00000,负,0,的补码,-0,补,= 2,n,+(-0),=,0,00000,第二节 定点数的原码、反码和补码,3.,定点数的补码表示,可知：,正,0,与负,0,相等，即,0,在补码上具有唯一性。,-2,n-1,的补码,-2,n-1,补,= 2,n,+(-2,n-1,) =,2,n-1,(2-1)= 2,n-1,=,2,n-1,补,第二节 定点数的原码、反码和补码,3.,定点数的补码表示,综,上，字长为,n,的定点整数的补码定义为：,字长为,n,的定点纯小数的补码定义为：,x,补,=2,n,+x,(,-2,n-1,x 2,n-1,),x,补,=2+x,(-1,x1),补码的优点：,I,、,减法可以用加法实现；,II,、,符号位可以参与运算；,III,、,0,唯一性。,IV,、,表示范围大,第二节 定点数的原码、反码和补码,1,）机器数与真值间的转换,对于正数,:,符号为,0,，其数值部分同真值的数值部分；,对于负数,:,符号为,1,，数值位各有不同的表示：,原码：同真值的数值位相同,补码：真值的数值位各位取反，末位加,1,。,反码：真值的数值位各位取反。,4.,三种编码的总结和比较,2,）零的表示,原码和反码都有,+0,和,-0,两种零的表示法；,补码可唯一表示零。,第二节 定点数的原码、反码和补码,4.,三种编码的总结和比较,3,）加减运算,补码和反码的符号位可作为数值的一部分看待，可以和数值位一起参加运算。,原码的符号位必须和代表绝对值的数值位分开处理。,4,）表数范围,原码和反码的表数范围相对零来说是对称的。,n,位时，原码和反码的表数范围都是：整数：,（,2,n-1,-1,）；,小数：,（,1-2,-n+1,）,补码的表示范围不对称，负数表示的范围较正数宽，能多表示一个最小负数：,-2,n-1,或,-1,第二节 定点数的原码、反码和补码,4.,练习,设定长为,n,的定点整数，第一位是符号位，请用数轴形式说明原码、反码、补码表示的范围及可能的数码组合。,0,原码,-(2,n-1,-1),2,n-1,-1,1,-1,11,11,10,00,10,01,00,01,01,11,00,00,0,反码,-(2,n-1,-1),2,n-1,-1,1,-1,10,00,11,11,11,10,00,01,01,11,00,00,2,n-1,-1,0,补码,-(2,n-1,-1),1,-1,10,01,11,11,00,01,01,11,00,00,-2,n-1,10,00,第,三节 变形码、移码和浮点数表示,1.,变形码,变形码：符号位有多位，每位都是,1,表示负，每位都是,0,表示正。,变形码的表示：有变形原码、变形反码、变形补码三种形式。,-11010,变原,=,11,11010,-11010,变反,=,11,00101,-11010,变补,=,11,00110,11010,变原,=,00,11010,11010,变反,=,00,11010,11010,变补,=,00,11010,字长为,n,的机器数，用,2,位表示符号位，则负数的变形补码表示为：,x,变补,=2,n,+x,(-2,n-2,x 2,n-2,),x,变补,=2+,x,(-1,x1),第,三节 变形码、移码和浮点数表示,2.,定点数的移码,(,移码通常用于表示浮点数的阶码。,),对于字长为,n,的,定点整数，真值,x,的移码为：,x,移,=2,n-1,+x,(,-2,n-1,x 2,n-1,)或x,移,=x (mod 2,n-1,),字长为,n,的定点纯小数，真值,x,的移码为：,x,移,=,1+x,(-1,x1),练习：,x,1,=+10101,x,2,=-10101,x,1,移,=,2,5,+x,1,=100000+10101=,1,10101,x,2,移,=,2,5,+x,2,=100000-10101=,0,01011,可见，移码中的符号位与原、反、补码中相反“,1”,表示正，“,0”,表示负，即正用,1,，负用,0,表示,8,位移码表示的机器数是其对应的真值在数轴上,向右平移,了,128,个位置。,0,-128,+127,负数,正数,机器数,移码表示范围：,00000000 11111111,第,三节 变形码、移码和浮点数表示,2.,定点数的移码,几个问题：,1,、符号问题,2,、,0,的移码,0,的移码也具有,0,的唯一性,3,、,-2,n-1,的移码,-2,n-1,移,=,2,n-1,-2,n-1,= 0,4,、,与补码的关系,x,补,=,2,n,+x,=,2,n-1,+,2,n-1,+ x=,2,n-1,+ ,x,移,同一个真值的补码与移码的异同是：数值部分相同，而符号位正好相反。,第,三节 变形码、移码和浮点数表示,3.,浮点数的表示,浮点数的原、反、补码表示即是把浮点数的阶码和尾数用原、反或补码表示,把浮点数,x=2,-11,0.11010,分别用原码、反码、补码表示如下：,1,0,1,1,0,1,1,0,1,0,原,码：,1,1,0,1,0,1,1,0,1,0,补码：,1,1,0,0,0,1,1,0,1,0,反码：,第,三节 变形码、移码和浮点数表示,3.,浮点数的表示,练习：,P38,例,3.14,解：可知,x,补,=2,n,+x,(-,2,n-1,x 2,n-1,),x,补,=2+x,(,-1x1,),4,位阶码,是整数，用补码所能表示的最大值和最小值分别为：,2,4-1,-1,=7,和,-2,4-1,=-8,12,位尾数是纯小数，它所能表示的补码最大值和最小值为：,1-2,-11,和,-1,由,2,E,所以该机器数所能表示的浮点数最大值为,2,7,(1-2,-,11,),最小值为,2,7,(-1),最小绝对值为,2,-8,2,-,11,第,三节 变形码、移码和浮点数表示,3.,浮点数的表示,规格化浮点数的尾数及其模,4,补码的形式,模,4,补码形式,:,符号位有,4,种形式，即,00,、,01,、,10,、,11,规格化：表示尾数时对应真值的小数点后第一位应是,1,综,上：模,4,补码规格化形式为形如,00.1,或,11,.,0,的样式,非,规格化形式如,00.0,或,11.1 ,，则可用左规方法规格化处理,00,010,00,0100,00,001,00,1000,左规,处理,第,三节 变形码、移码和浮点数表示,3.,浮点数的表示,浮点数的模,4,补码表示如何判断溢出,溢出：当尾数用模,4,补码表示时，符号位为,01,或,10,时，表示尾数溢出。尾数溢出不能说明浮点数溢出，要进行判断。,判断溢出的步骤及例题如,P39,讲：,00,111,01,0100,01,000,00,1010,右规处理,00,001,01,0000,00,010,00,1000,右规处理,11,001,10,1000,11,010,11,0100,右规处理,无,溢出,无,第,三节 变形码、移码和浮点数表示,3.,浮点数的表示,浮点数的一般表示格式,尾符,阶符,阶码,尾数,1位,1位,阶码用移码表示，好处是阶码的符号位可以省略,即：由,x,移,=2,n-1,+x,(-2,n-1,x 2,n-1,),可知：,当,用移码表示阶码时，,0,x,移, 2,n,尾符,阶码,尾数,1,位,第,三节 变形码、移码和浮点数表示,3.,浮点数的表示,例题：,P40,例,3.17,(10),10,=2,3,1,.25,(0.25),10,=(0.01),2,0,00000000011,0100 0,+01111111111,0,10000000010,0100 0,(1023),10,移码表示,4,0,2,4,0000,0000,0000,(10),10,的十六进制表示为,(4024 0000,0000,0000),16,第四节 机器数表示形式的变换,1.,补码与真值,x,的转换公式,由,x,补,=2,n,x,0,+x,知,x=-2,n,x,0,+ x,补,当,x 0,时，,x,0,=0,，则,x= x,补,当,x 0,时，,x,0,=1,，则,x= -(2,n,1-x,补,+1),结论,:X,为正时，真值等于其补码,X,为负时，,数值,等于其补码按位取反加,1,例：,P42,例,3.19,讲：,n=8, x,0,=1 x= -(2,8,1-x,补,+1)=-1100110,2.,补码与原码的转换公式,当,x 0,时，,x,0,=0,，则,x,补,= x,原,则x,补,=,2,n-1,+,(2,n,1-x,原,+1),结论：正数的补码等于其原码；负数的补码符号位为,1,，数值部分等于其原码按位取反加,1,。,第四节 机器数表示形式的变换,同,理当,x 0,时，有,x,原,= 2,n-1,+(2,n,1-x,补,+1),即：,x,原,= x,补,补,x,补,= x,原,补,由x,补,=2,n,x,0,+x,x,原,x+2,n,x,0,2,n-1,x,0,-x,(0,x2,n-1,),(-2,n-1,x,0),=,当,x 0,时，,x,0,=1,，,作, x,补,+ x,原,运算 得：,2.,补码与原码的转换公式,第四节 机器数表示形式的变换,例：,P42,例,3.,21,x,原,= 11000100,讲：,n=8, x,0,=1 x,补,= 2,7,+ (2,8,1-x,原,+1) =10000000+00111100 =10111100,例,3.,22,x,补,=,11011000,讲：,n=8, x,0,=1 x,原,= 2,7,+ (2,8,1-x,补,+1) =10000000 +00101000 =10101000,3.,补码与反码的转换公式,第四节 机器数表示形式的变换,由x,补,=2,n,x,0,+x,x,反,x+2,n,x,0,(2,n,-1)x,0,+x,(0,x2,n-1,),(-2,n-1,x,0),=,当,x 0,时，,x,0,=0,，则,x,补,= x,反,则,x,补,= x,反,+1,当,x 0,时，,x,0,=1,，,作, x,补,- x,反,运算 得：,同理：纯小数,x,的补码与反码的转换公式为,x,补,= x,反,+2,(n-1),x,0,4.,补码之和公式,第四节 机器数表示形式的变换,设,x,、,y,在补码表示范围,-2,n-1,2,n-1,),内,在模,2,n,的意义下有：,得出：,x+y,补,= x,补,+y,补,即：两数和的补码等于两数补码之和,x,补,+,y,补,=,2,n,+x + 2,n,+y = 2,n,+(2,n,+x+y)= x+y,补,4.,补码之和公式,第四节 机器数表示形式的变换,例：,P43,例,3.23,x+y,补,= -0.0111000,补,+0.0011000,补,=1.1001000+0.0011000=1.1100000,例：,P43,例,3.24,x+y,补,= - 0.0011000,补,+ 0.0111000,补,=1.1101000+0.0111000=,0,.0100000,由,补码和真值的关系得,x+y=-0.0100000,由,补码和真值的关系得,x+y=+0.0100000,5. -x,补,与的,x,补,转换公式,第四节 机器数表示形式的变换,由,x,补,=2,n,x,0,+x,得：,-x,补,=2,n,x,0,+(-x),所以,x,补,+ -x,补,= 2,n,即：,-x,补,= 2,n,-x,补,= 2,n,-1-x,补,+1,结论：,-x,补,等于,x,补,按位取反加,1(,包含符号位,),例：,P44,例,3.25,-x,补,= 2,n,- x,补,= 10- 1.0101010=0.1010110,6. x/2,补,与,x,补,的转换公式,第四节 机器数表示形式的变换,由,x,补,=2,n,x,0,+x,知：,x/2,补,=2,n,x,0,+x/2,得：,x/2,补,=,2,n-1,x,0,+,x,补,/2,结论：把,x,补,连同符号位,x,0,一起右移,1,位，而左边高位即符号位仍是,x,0,。,例：,P45,例,3.27,讲:,(1),x/2,补,=0+0.0001100 = 0.,0,00,11,00,(2) x/2,补,=1+0.1001100 = 1.,1,00,11,00,X =,0,.00,11,000,X =,1,.00,11,000,7. 2x,补,与的,x,补,转换公式,第四节 机器数表示形式的变换,由,x,补,=2,n,x,0,+x,知：,2x,补,=2,n,x,0,+2x,得：,2x,补,=,-2,n,x,0,+,2x,补,结论：把,x,补,连同符号位,x,0,一起左移,1,位，而左边高位即原符号位丢失，末位补,0,。,在,x,的取值范围内,2x,补,= 2x,补,例：,P46,例,3.28,讲:,(1),2x,补,= 1000000,0,(2) x/2,补,= 0111111,0,X =,1,1000000,X =,0,0111111,