电磁场与电磁波-第7章

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,电磁场与电磁波,第七章,时变电磁场,场与源,散度和旋度是研究矢量场的首要问题,静态电磁场,动态电磁场,静电场,恒定电流场,恒定磁场,时变场,正弦电磁场,电磁波,（复矢量）,（位函数）,天线,辐射,脉络,（边值问题）,电磁感应,平面波,导行电磁波,（有界）,（无界）,主 要 内 容,位移电流、麦克斯韦方程、边界条件、位函数、能流密度矢量、正弦电磁场、复能流密度矢量,1.,位移电流,2.,麦克斯韦方程,3.,时变电磁场边界条件,4.,标量位与矢量位,5.,位函数方程求解,6.,能量密度与能流密度矢量,7.,时变电磁场惟一性定理,8.,正弦电磁场,9.,麦克斯韦方程的复矢量形式,10.,位函数的复矢量形式,11.,复能流密度矢量,认识和发展过程,19,世纪以前，人们曾认为电和磁是互不关联的两种东西。,自从发现了,电流的磁效应,，人们开始注意到电流（运动电荷）与磁场之间的关系，但在很长的时间里，只能看到,电流产生磁场,，而不能认识到磁场产生电流。,1831,年，法拉第发现,电磁感应现象,，表明变化的磁场将会产生电场，实现了,磁生电,，并揭示了变化的,磁通,与,感应电动势,的关系。,认识和发展过程,麦克斯韦在前人实践和理论的基础上对整个电磁现象做了系统的研究，提出了,两个观点,：,观点一：变化磁场产生,感应（涡旋）电场,。,法拉第的电磁感应定律是针对回路而言，而麦克斯韦认为不论空间有无导体，有无介质都适用。只不过有回路时，表现为“转圈的场”在推动电荷移动。,磁场与电场联系的一个方面：,“,变化磁场产生变化电场”,观点二：由于非恒定电流电路中安培环路定律的应用出现,矛盾,，麦克斯韦又提出了,位移电流,的,假说,。,认识和发展过程,位移电流,的引入，修正和完善了安培环路定律，揭示了,时变电场,产生,时变磁场,。,电磁感应定律表明，,时变磁场,可以产生,时变电场,。因此，麦克斯韦预见,时变电场,与,时变磁场,相互转化的特性可能会在空间形成,电磁波,。,1887,年，赫兹首次用实验证实了,电磁波,的发生 与存在。,静态场中， 导出电流连续性原理,电荷守恒定律：,时变,电磁场电荷守恒定律,不能,推出电流连续性原理。,位移电流,不是电荷,的运动，而是一种,人为定义,的概念。,7.1,位移电流,式中,具有,电流密度,量纲。,将 代入,位移电流,电流连续是客观存在的物理现象,真空电容器通交流隔直流。,7.1,位移电流,静电场的,高斯定律,适用于,时变,电场。,麦克斯韦将 称为,位移,电流密度,全,电流连续性原理（,传导,电流、,运流,电流及,位移,电流）。,位移,电流密度是,电通密度,的时间变化率，或者说是,电场,的时间变化率。,7.1,位移电流,求得,静电场中 ，不存在位移电流。,时变电场，,电场,变化,越快,，产生的位移电流密度也,越大,。,在,良导体,中,传导电流密度 ，因此,在,电导率较低,的介质中可能,麦克斯韦认为,位移电流,也可产生,磁场,，因此安培环路定律变为,7.1,位移电流,全电流定律,。它表明时变磁场是由,传导,电流、,运流,电流以及,位移,电流共同产生的。,电磁感应定律表明，,时变磁场,可以产生,时变电场,。因此，麦克斯韦预见,时变电场,与,时变磁场,相互转化的特性可能会在空间形成,电磁波,。,7.1,位移电流,位移电流,的引入，修正和完善了安培环路定律，揭示了,时变的电场,产生,时变磁场,。,在上述两个观点的基础上，麦克斯韦总结出将电磁场,统一为一体,的一组方程式，即,麦克斯韦方程组,，该方程组不仅可以描述,时变,的电磁场，而且覆盖了,静态,电磁场的情况。,7.2,麦克斯韦方程,静态场中的,高斯定律,及,磁通连续性原理,对于时变电磁场,仍然成立,。那么，对于时变电磁场，麦克斯韦归纳为如下,4,个方程：,积分形式,微分形式,全电流定律,电磁感应定律,磁通连续性原理,高斯定律,时变,电场,是,有旋有散,的，时变,磁场,是,有旋无散,的。但是，时变电磁场中的电场与磁场是,不可分割,的，因此，时变电磁场是,有旋有散,场。,在,无源区,中，时变电磁场是有旋,无,散的。,7.2,麦克斯韦方程,电场线与磁场线,相互交链,，,自行闭合,，从而在空间形成,电磁波,。,时变,电场,与时变,磁场,处处,相互垂直,。,为了,完整,地描述时变电磁场的特性，麦克斯韦方程还应包括,电荷守恒方程,以及说明,场与介质,关系的方程，即,代表产生时变电磁场的,电流,源或非电的,外,源。,7.2,麦克斯韦方程,麦克斯韦方程组中各方程,不是,完全独立的。可由第,、,方程导出第,、,方程，或反之。,对于静态场，则,麦克斯韦方程变为,静电场,方程和,恒定磁场,方程，电场与磁场,不再相关,，,彼此独立,。,“,在简单的形式下隐藏着,深奥,的内容，这些内容只有,仔细,的研究才能显示出来，方程是表示场的,结构,的定律。它不像牛顿定律那样，把此处发生的事件与彼处的条件联系起来，而是把,此处,的,现在,的场只与最,邻近,的刚,过去,的场发生联系。,”,爱因斯坦（,1879,1955,）对于麦克斯韦方程的评述：,“,这个方程的提出是牛顿时代以来物理学上的一个,重要事件,，它是关于场的,定量,数学描述，方程所包含的意义比我们指出的要丰富得多。,”,“,假使我们已知,此处,的,现在,所发生的事件，藉助这些方程便可,预测,在,空间,稍微远一些，在,时间,上稍微迟一些所发生的事件。,”,7.2,麦克斯韦方程,麦克斯韦方程除了对于,科学技术,的发展具有,重大,意义外，对于,人类历史,的进程也起了,重要,作用。,正如美国著名的物理学家,弗曼,所述：,“,从人类历史的漫长远景来看即使过,一万年,之后回头来看毫无疑问，在,19,世纪中发生的,最有意义,的事件将判定是麦克斯韦对于电磁定律的发现，与这一重大科学事件相比之下， 同一个十年中发生的,美国内战,（,1861,1865,）将会降低为一个,地区性,琐事而黯然失色,”,。,7.2,麦克斯韦方程,处于信息时代的今天，从婴儿,监控,器到各种,遥控,设备、从,雷达,到,微波炉,、从,地面,广播电视到,太空卫星,广播电视、从地面,移动,通信到宇宙,星际,通信、从室外,无线,广域网到室内,蓝牙,技术、以及,全球卫星定位导航系统,等，无不利用,电磁波,作为,信息载体,。,无线,信息高速公路使人们能在,任何地点,、,任何时间,同,任何人,取得联系。,如此广泛的应用说明了,麦克斯韦,和,赫兹,对于人类,文明,和,进步,的伟大贡献。,7.2,麦克斯韦方程,各向同性线性,介质,e,n,7.3,边界条件,在,任何,边界上，,磁通密度,的,法向,分量连续,矢量形式,各向同性线性,介质,在,任何,边界上,电场强度,的,切向,分量连续,矢量形式,磁通密度,的,时间变化率有限,电通密度,的,法向,分量边界条件与,介质,特性有关。,一般,情况下，由高斯定律,矢量形式,式中,S,为边界表面上,自由,电荷的面密度。,7.3,边界条件,e,n,两种,理想介质,的边界上,各向同性线性,介质,磁场强度,的,切向,分量边界条件,也与介质特性,有关。,一般,情况下，边界上无表面电流，,只要电通密度的,时间变化率,有限,矢量形式,在,理想导电,体表面上可以形成,表面电流,，此时磁场强度的切向分量,不再,连续。,在,理想导电体内部,不可能存在,时变电磁场,及,时变的传导电流,，它们只可能分布在理想导电体的,表面,。, ,E,(,t,),B,(,t,),J,(,t,),= 0,E, 0,J,=,E, ,H, 0,E, 0,J, 0,H, 0,7.3,边界条件,已知在,任何,边界上，,电场强度,的,切向,分量及,磁通密度,的,法向,分量是连续的，因此,理想导体表面,上不可能存在,电场切向,分量及,磁场法向,分量，即,时变电场,必须,垂直,于理想导电体的表面，而时变,磁场,必须与其表面,相切,。,E,H,e,n,e,t,7.3,边界条件,因 ，由前式得,由于理想导电体表面存在,表面,电流,J,S,，令表面电流密度的方向与积分回路构成,右旋,关系，因 ，求得,E,H,e,n,e,t,H,1t,H,2t,J,S,7.3,边界条件,例,已知内截面为,a,b,的,矩形,金属波导中的时变电磁场的各分量为,其坐标如图所示。试求波导中的,位移电流,分布和波导,内壁,上的,电荷,及,电流,分布。波导内部为真空。,a,z,y,x,b,解,求得位移电流为,在,y,= 0,的内壁上,在,y,=,b,的内壁上,a,z,y,x,b,在,x,= 0,的侧壁上，,在,x,= 0,及,x,=,a,的侧壁上，因 ，所以,z,y,x,内壁电流,在,x,=,a,的侧壁上，,本讲小结,麦克斯韦关于电磁场的理论可以概述为,四,个方程（,麦克斯韦方程组,）、,三,个关系（场量与介质的关系）、,两,个观点（涡旋电场和,位移电流,）、,一,个预言（电磁波的存在），它们是宏观电磁场与电磁波的,理论基础,。,回顾,麦克斯韦方程,积分形式,微分形式,全电流定律,电磁感应定律,磁通连续性原理,高斯定律,位移电流,全电流连续,全电流定律,回顾,电荷守恒方程,介质特性方程,回顾,边界条件,电场切向分量连续（,无条件,）,磁通密度法向分量连续（,无条件,）,电通密度法向分量连续（,无,表面自由电荷时）,磁场强度切向分量连续（,无,表面电流时）,特例（理想导体表面）,回顾,标量电位,静电场为无旋场，故电场强度可写为一标量函数的负梯度，该标量函数称为标量电位。,矢量磁位,恒定磁场为无散场，故磁通密度可写为一矢量函数的旋度，该矢量函数称为矢量磁位。,时变场中，,时变磁场,激发的电场是,有旋,的,有散和有旋的场，它,不可能,单独用,一个,位函数来描述。,本讲主要内容,标量位与矢量位（场、源）,位函数方程的求解（,滞后位,）,能量密度与,能流密度矢量,（,能量守恒,）,时变电磁场惟一性定理,7.4,矢量位和标量位,场,与,源,的关系,复杂,。,均匀线性各向同性介质,中,由矢量恒等式,与,电荷、电流,有关,与,电流,有关,方程相互,关联,7.4,矢量位和标量位,在时变,场,中，磁通密度仍然无散,可见，矢量场 为,无旋,场，因此可以表示为一个,标量,场,的,梯度,，,：,标量位,：,矢量位,当矢量位与,时间无关,时,矢量磁位,标量电位,均匀线性各向同性介质,中,由矢量恒等式,7.4,矢量位和标量位,令,仅与,电荷,有关,仅与,电流,有关,方程相互,独立,洛仑兹条件,原来电磁场的矢量方程为,4,个坐标分量,位函数方程,为一个矢量方程和一个标量方程,在,直角,坐标系中，实际上等于求解,1,个标量方程。,6,个坐标分量,7.4,矢量位和标量位,当时变点电荷位于坐标,原点,时，其场分布与,及,无关，在,除,坐标原点以外整个,无源空间,，位函数,满足,先求解时变,点电荷,的标量位，再利用,叠加原理,导出分布的,时变体电荷,的标量位。,其中,r,z,y,x,(,r,t,),O,7.5,位函数方程求解,标量位方程,函数,(,r,),的通解为,式中的第二项不符合实际的,物理条件,，舍去。位于原点的时变点电荷产生的标量位为,已知位于原点的静止点电荷 产生的电位为,类比,知函数,f,1,为,7.5,位函数方程求解,位于原点的时变点电荷的标量位,位于,V,中的体电荷,在,r,处产生的标量位为,r,r,z,y,x,(,r,t,),V,d,V,r,-,r,O,7.5,位函数方程求解,将,矢量位,方程在直角坐标系中展开，则矢量位,A,各个分量均满足,结构相同,的非齐次,标量,波动方程式，即,三个分量合成后，矢量位的解为,式中，,V ,为电流,J,的分布区域。,7.5,位函数方程求解,空间某点在时刻,t,产生的位必须根据时刻的源分布进行求积。,这就表明，位于,r,处的源产生的场传到,r,处需要一段时间，这段时差就是 。,为,源点,至,场点,的距离，因此,v,代表电磁波的,传播速度,。,7.5,位函数方程求解,电磁波的,传播速度,与,介质特性,有关,光速,若某一时刻,源已消失,，只要,前,一时刻,源还存在,，它们原来产生的空间,场,仍然存在，这就表明源已将电磁能量释放到空间，这种现象称为,电磁辐射,。,真空中,静止,电荷或,恒定,电流一旦消失，它们产生的场也随之失去，因而静态场称为,束缚场,，没有辐射作用。,7.5,位函数方程求解,源变化,越快,，空间,滞后,越大，即使在源附近也有显著的电磁辐射。所以似稳场和辐射场的区域划分不仅取决于空间距离，也和源的,变化快慢,有关。,时变源的,附近,，时差很小，场强的变化基本上与源,同步,，所以,近处,的时变场称为,似稳,场。,离开时变源的远处，由于时差很大，辐射效应显著，所以,远处,的时变场称为,辐射,场。,为了向空间辐射电磁能量，必须使用,高频,电流激励发射天线，而通常,50,Hz,的,交流电,不可能有效地辐射电磁能量。,7.5,位函数方程求解,由于,和,A,随时间的变化总是比源,落后,，因此，位函数,及,A,通常称为,滞后,位。,前式第二项 中的因子 意味着,场,比,源,导前，这就不符合先有源后有场的,因果关系,。,它又可理解为向,负,r,方向传播的波，也就是来自无限远处的,反射,波。,因子 又可写为,对于点电荷所在的,无限大,自由空间，这种反射波不可能存在。,7.5,位函数方程求解,面,分布及,线,分布的电荷及电流产生的标量位和矢量位分别如下：,注意前提：,均匀线性各向同性,的介质。,7.5,位函数方程求解,7.6,能量密度与能流密度矢量,静态场的能量密度公式及损耗功率密度公式完全可以推广到时变电磁场。,电场能量密度,磁场能量密度,损耗功率密度,时变电磁场的能量密度,为,对于,各向同性线性,媒质,为了衡量这种能量流动的,方向,及,强度,，引入,能量流动密度矢量,。,能量流动密度矢量在英美书刊中称为,坡印亭,矢量，在俄罗斯书刊中称为,乌莫夫,矢量。,7.6,能量密度与能流密度矢量,其,方向,表示能量,流动,方向，其,大小,表示,单位,时间内,垂直,穿过单位面积的能量。或者说，垂直穿过单位面积的,功率,。,时变场的能量密度是,空间,及,时间,的函数。时变电磁场的能量会,流动,。,无外源,区,V,中，,线性各向同性,介质中麦克斯韦方程为,对区域,V,求积分,7.6,能量密度与能流密度矢量,由矢量恒等式,由高斯散度定理,根据能量密度的定义,时变电磁场的能量定理,。任何满足麦克斯韦方程的时变电磁场均必须服从该能量定理。该式中左端代表单位时间内,体积,V,中减少的储能；右端第二项代表体积中单位时间内的能量损耗；,右端第一项代表垂直穿过单位面积的功率,。,电磁场的,能量定理,表明：单位时间内体积,V,中减少的储能等于流出该体积的能量和体积内消耗的能量之和。,7.6,能量密度与能流密度矢量,矢量,代表垂直穿过单位面积的功率,能流密度矢量,S,，单位为,W/m,2,，,E,H,S,S,E,H,可见,S,，,E,及,H,三者相互,垂直,，且由,E,至,H,与,S,构成,右旋关系,。,7.6,能量密度与能流密度矢量,能流密度矢量的,瞬时值,为,能流密度矢量的,瞬时值,等于电场强度和磁场强度瞬时值的,乘积,。,只有当两者,同时,达到,最大值,时，能流密度才达到,最大,。,若某一时刻电场强度,或,磁场强度为,零,，则在该时刻能流密度矢量为,零,。,7.6,能量密度与能流密度矢量,7.7,时变电磁场惟一性定理,在,闭合面,S,包围的区域,V,中，当,t,= 0,时刻的电场强度,E,及磁场强度,H,的,初始值,给定时，又在,t, 0,的时间内，只要,边界,S,上的电场强度,切向,分量,E,t,或,磁场强度的,切向,分量,H,t,给定后，那么在,t, 0,的,任一时刻,，体积,V,中,任一点,的电磁场由麦克斯韦方程,惟一,地确定。,利用,能量定理,，采用,反证法,可证明之。,V,S,E,t,(,r,t,) or,H,t,(,r,t,),E,(,r, 0),&,H,(,r, 0 ),E,(,r,t,),H,(,r,t,),回顾,时变场的标量位与矢量位,位函数方程的求解（,滞后位,）,能量密度与,能流密度矢量,（,能量定理,）,时变场惟一性定理,本讲主要内容,正弦电磁场,麦克斯韦方程的复矢量形式,位函数的复矢量形式,复,能流密度矢量,7.8,正弦电磁场,正弦电磁场,的场强,方向,与时间,无关,，但其,大小,随时间的变化规律为,正弦函数,式中，,E,m,(,r,),为正弦时间函数的,振幅,；,为,角频,率；,e,(,r,),为正弦函数的,初始相位,。,任一周期性或非周期性的时间函数在一定条件下均可分解为很多正弦函数之和。因此，,着重,讨论正弦电磁场是具有,实际意义,的,。,正弦电磁场又称为,时谐,电磁场。,电场强度可用一个与时间无关的,复矢量,表示为,已知场的变化,落后,于源，但是,场,与,源,的时间变化,规律相同,，所以正弦电磁场的,场,和,源,的,频率相同,。,频率相同,的正弦量之间的运算可以采用,复矢量,方法，即,仅,考虑正弦量的,振幅,和,空间,相位 ，而略去,时间,相位,t,。,瞬时,矢量和,复,矢量的关系为,正弦电磁场是由,正弦,的时变,电荷,与,电流,产生的。,7.8,正弦电磁场,实际中常使用有效值,式中,最大值,复矢量和,有效值,复矢量的之间的关系,复矢量仅,为,空间,函数，与,时间,无关。,注意：,只有,频率相同,的正弦量之间才能使用,复,矢量的方法进行运算。,7.8,正弦电磁场,7.9,麦克斯韦方程的复矢量形式,正弦,电磁场的,场,与,源,的,频率相同,，因此可用,复矢量,形式表示麦克斯韦方程。,因正弦时间函数的时间导数为,或,上式,任何时刻,均成立，,虚部,符号,消去,同理,上述方程称为麦克斯韦方程的,复矢量形式,，式中各量均为,有效值,。,7.9,麦克斯韦方程的复矢量形式,7.9,麦克斯韦方程的复矢量形式,复数形式,(,r,),瞬时形式,解,先求有效值的复矢量形式为,7.9,麦克斯韦方程的复矢量形式,例,已知真空区域中的时变电磁场的电场瞬时值为,试求磁场强度的复矢量形式。,电场仅,有,y,分量，,又,7.10,位函数的复矢量形式,对于,正弦,函数，,时间滞后,因子 表现的,相位滞后,为,令,洛伦兹条件的复矢量形式,正弦电磁场与位函数的关系,7.11,复能流密度矢量,时变电磁场的电场及磁场能量密度的瞬时形式为,最大值,复矢量形式为,或表示为,式中， 及 分别为复矢量 及 的,共轭值,。,正弦电磁场的能量密度的,周期,平均值为,即,式中,E,(,r,),及,H,(,r,),为,有效值,。,或表示为,7.11,复能流密度矢量,有效值,最大值,损耗功率密度,的复矢量表示,平均值,能流密度矢量的,瞬时值,周期平均值,最大值,7.11,复能流密度矢量,复,能流密度矢量,S,c,为,有效值,最大值,复,能流密度,矢量,S,c,的,实,部及,虚,部分别为,复,能流密度矢量的,实,部及,虚,部与电场及磁场的,相位,密切相关。,平均值,7.11,复能流密度矢量,t,t,t,t,电场强度,磁场强度,实,部为,最大正值,，,虚,部为,零,。,实,部为,最大负值,，,虚,部为,零,。,实,部为,零,，,虚,部为,最大,正值或负值。,若相位差为,任意,值，则虚部及实部,均不,为零。,复能量定理,可见，,流进,S,内的复能流密度矢量通量的实部等于,S,内,消耗,的功率。这就表明，,S,c,的,实部,的确代表,单向,流动的能量，而,虚部,表示能量,交换,。,7.11,复能流密度矢量,能量定理,用,复,矢量表示为,即,正弦电磁场的惟一性定理,正弦电磁场,复矢量,的有效值表示,正弦电磁场的,瞬时值,表示,初始条件,不再需要，无源区中的正弦电磁场被其,边界,上的电场,切向,分量,或,磁场,切向,分量惟一地确定。,V,S,E,(,r, 0),及,H,(,r, 0 ),E,(,r,t,),H,(,r,t,),E,t,(,r,t,),或,H,t,(,r,t,),E,(,r,),H,(,r,),E,t,(,r,),或,H,t,(,r,),7.11,复能流密度矢量,解,根据瞬时值，求得其有效值的复矢量形式为,复能流密度矢量为,其实部就是,平均值,。,例,已知真空区域中的时变电磁场的电场瞬时值为,试求能流密度矢量的平均值。,本章小结,主要内容,位移电流、麦克斯韦方程、边界条件、位函数、能流密度矢量、正弦电磁场、复能流密度矢量,主要概念,电磁辐射、复矢量、瞬时值、最大值、有效值和周期平均值,全电流连续性原理、全电流定律、能量定理和复能量定理、惟一性定理。,主要定律和原理,作业,7,2,7,4,7,11,7,13,（预习第八章后完成）,7,17,周五交,