多项式定理

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,多项式定理,作者名,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,二项式定理给出每个正整数,n,的 的公式。它可以被推广到更一般的形式：,t,个实数的和的,n,次幂,的公式。,多项式系数：,其中，,n,1,n,2,.,n,t,是非负整数且,由多重集的排列可知，上面的定义表示重数分别为,n,1,n,2,.,n,t,的,t,种不同类型物体的多重集的排列个数。对于非负的,n,和,k,，具有值,的二项式系数 在上述记号中变成了,并表示重数分别为,k,和,n-k,的两种不同类型物体多重集的排列个数。,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,证明：,使用多项式系数记号表示对于,n,和,k,为正的二项式系数的,Pascal,公式为：,多项式系数的,Pascal,公式：,其中，,n,1,n,2,.,n,t,是非负整数且,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,在讨论一般性的定理之前，首先考察一下,t,个实数的和的,n,次幂 与其展开式的关系。令,t=3,n=3,，展开式如下：,上式中出现的项都是形如 的项，其中 是非负整数，且,在该表达式中 的系数等于,定理：令,n,为一正整数。对所有的,x,1,x,2,.,x,t,其中求和对 的所有的非负整数解,n,1,n,2,.,n,t,进行。,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,证明：,把 写成,n,个因子的乘积，每个因子等于 。,用分配率及合并同类型将这个乘积完全展开，从,n,个因子中各取一个数，一共选取,t,个数组成一个乘积。用这种方法取得的结果一共有,t,n,项，而且每一项都可以写成 的形式，其中,n,1,n,2,.,n,t,是非负整数，且它们的和为,n,。,通过选择,n,个因子中的,n,1,个为,x,1,，剩下,n-n,1,个因子；然后在这剩下的,n-n,1,因子中选择,n,2,个因子为,x,2,，剩下,n-n,2,个因子,;.;,最终剩下,n-n,1,-.-n,t-1,个因子为,x,t,，得到 项。,由乘法原理，项 出现的次数为 。,将该式展开化简可得,所以,其中求和对 的所有的非负整数解,n,1,n,2,.,n,t,进行。,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,例,1,：当 被展开时， 的系数等于,例,2,：当 被展开时， 的,系数,等于,例,3,： 的展开式一共有多少项,?,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,解：,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,解：,展开,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,解：,展开,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,谢谢,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,目录,点击添加标题,点击添加标题,点击添加标题,点击添加标题,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,添加文本,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,添加文本,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,添加文本,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,添加文本,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,添加文本,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,添加文本,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,添加文本,点击添加文本,点击添加文本,