微积分初步

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,#,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,#,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,微积分初步,导数,可应用于求各种变化率，如求变速直线运动的速度、加速度、切线的斜率，经济的边际等问题,。,介绍微分的概念及,应用。,介绍积分的,概念及应用。,1,、导数的定义：,一般地，函数,y=f,（,x,）在,x=x,0,处的瞬时变化率是：,我们称它为函数,y=f(x),在,x=x,0,处的导数（,derivative,），,记作 或 ，即,2,、,根据导数的定义，求函数,y=f(x),的导数的,三个步骤：,2.,算比值：,1.,求增量：,3.,取极限,：,导数的计算,解,：,（,1,）求增量,：,（,2,）,算比值：,（,3,）取极限：,这就是说，常数的导数等于零,1,、求函数,(,c,是常数,),的导数。,下面我们求几个常用函数的导数。,2,、求函数 的导数。,解,：,在,同一平面直角坐标系中，画出函数,y=2x,，,y=3x,，,y=4x,的图象，从,图象上看，它们的导数分别表示什么,？,y,x,O,3,、 函数 的导数,解：,4,、 函数 的导数,解：,一般地，可以证明幂函数,(,是任意实数）的导数公式为,常数的导数等于零,1,、求函数,(,c,是常数,),的导数。,下面我们求几个常用函数的导数。,2,、求函数 的导数。,3,函数 的导数,一般地，可以证明幂函数,(,是任意实数）的导数公式为,(x,),=, x,-1,4,函数 的导数,基本初等函数的导数公式,可以,帮助我们解决两个函数加、减,、乘,、除的求导,问题。,导数运算法则,2,、,熟记,运算法则,（,1,）,（,C),=0,（,2,）,( 3),（,4,）,（,7,）,（,8,）,（,5,）,（,6,）,1,、熟记以下导数公式：,利用函数的导数来研究,函数的,极值问题,:,一般地,当,函数,f(x),在,x,0,处连续,时,判别,f(x,0,),是极大,(,小,),值的方法是,:,(1):,如果在,x,0,附近的左侧,右侧,那么,f(x,0,),是极大值,;,(2):,如果在,x,0,附近的,左侧,右侧,那么,f(x,0,),是极小值,.,说明,求函数极值的方法与步骤,：,令,分区间讨论,将极值点代入,f(x),算出极值。,求,。,，求一阶,驻点。,的正负号，确定单调区间,进而确定极值点。,函数,的极值,:,请,注意几点,(1),极值是一个局部概念,.,由定义,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,.,并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小,.,也就是说极值与最值是两个不同的概念,.,(,2),函数的极值不是唯一的,.,即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个,.,(,4),函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点,.,而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部,也可能在区间的端点,.,(,3),极大值与极小值之间无确定的大小关系,.,即一个函数的极大值未必大于极小值,如下图所示,x,1,是极大值点,x,4,是极小值点,而,f(x,4,)f(x,1,).,o,a,X,1,X,2,X,3,X,4,b,x,y,在函数取得极值处,如果曲线有切线的话,则切线是水平的,从而有,.,但反过来不一定,.,如函数,y=x,3,在,x=0,处,曲线的切线是水平的,但这点的函数值既不比它附近的点的函数值大,也不比它附近的点的函数值小,.,二,阶导数的应用,曲线凹凸区间的,判定,直观看曲线“往上弯”为,凹,，每点切线在曲线下方,；曲线,“往下弯”为,凸,，每点切线在曲线上方。,x,y,0,x,y,0,a,b,b,a,y=f(x),y=f(x),a,图,b,图,a,图曲线是凹的,切线的倾斜角,为锐角，且由小变大，,是递增的，,则,表明,有,递增，,反之亦然,。,这,就得到,有,f(x),凹；,(b,）图同理有,，,f(x),凸。,曲线上凹凸的分界点叫做曲线的,拐点,。,进一步观察曲线凹凸性与切线的关系,例,1,：,求下列函数的,导数并画出函数的大致图像：,（,4,）试,证当,x0,时，有,微分,：导数的代数应用,如果说用导数判定确定函数的单调性、极值、曲线的凹凸性、拐点，是导数在几何上的应用，那么这里“,微分,”则主要是导数在,代数上,的应用。因为“微分”的主要问题是函数的近似计算,如何求一个函数的改变量？,微分的概念及思想,设函数,y=f(x),的导数存在，即，由极限的概念,令，称它为函数,f(x),的,微分,。并记,，,则,例,1,求函数的微分,解,需要注意,：,(1),微分的意义,由于，说明可以用微分求函数的,改变量，即,这里越小近似程度越好,。,如下图所示,：,MT,是,y=f(x,),在,M,点的切线,微分，当较小时，,可用直线,MT,来近似曲线,MP,（或说用三角形,MTN,近似曲边三角形,MPN,）。,可见，“,以直代曲,”,是微分的一个基本思想。,于是，可顾名思义，把“微分”看作动词，意思为“无限细分”，而把“微分”看作名词，意思为“微小的一部分”。,x,0,y,M,P,T,N,x,X+,X,y=f(x),(2),微分的,思想,(3),微分的计算,由于，因此,，“,求微分就是求导数,”,（,并且在存在的情况下,，可微与可导等价）。,于是，由导数公式与法则可直接得到微分的公式,与法则，如下表,微分基本公式（略）,微分四则运算法则,设,u,、,v,是,x,的可导函数，则,例,2,在下面的括号中以适当的函数填空：,分析,例,1,求,微分是通过求，这里对照，则是其逆运算，已知求原来的函数。,方法在于熟练掌握导数公式：首先找到类似的求导公式，然后猜察反推和多次试算,。,解,说明,：由微分的逆运算求原函数是,接下来积分讲,的内容，通过求原函数可,求不定积分,。,微分的近似计算,由得到近似公式,：,例,3,证明近似公式：,证明,类似,地，可以证明当较小时有下面近似公式,常用等价无穷小,:,设曲线通过点,(1,2),且其上任一点处的切,线斜率等于这点横坐标的两倍,求此曲线方程,.,微分学,:,积分学,:,互逆问题,二、 基本积分表,不定积分,的概念和性质,一、原函数与不定积分的概念,三、 不定积分的性质,一、原函数与不定积分的概念,定义,1,（原函数）,如果在区间,内,即,都有,或,那么函数,就称为,或,在区间,内,原函数,.,的导函数为,可导函数,是 在区间 内,的一个原函数,.,原函数存在定理：,即,连续函数一定有原函数,.,问题：,(1),原函数是否唯一？,例,（,C,为任意常数）,(2),若不唯一它们之间有什么联系？,如果函数,在区间,内,连续,，,那么在区间,内存在可导函数,使,都有,关于原函数的说明：,（,1,）若 ，则对于任意常数,C,，,（,2,）若 和 都是 的原函数，,则,（,C,为任意常数）,证,（,2,）,（,C,为任意常数）,都是,的原函数,.,被积表达式,任意常数,积分号,被积函数,定义,2,（不定积分）,积分变量,在区间,I,内，函数 的带有任意常数项的原函数，称为 在区间,I,内的,不定积分,记为,原函数,例,1,求,解,解,例,2,求,例,3,设曲线通过点,(1,2),且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍,求此曲线方程,.,解,设曲线方程为,根据题意知,由曲线通过点（,1,，,2,）,所求曲线方程为,即,是,的一个原函数,.,由不定积分的定义，可知,结论：,微分运算与求不定积分的运算,“,互逆”,.,微分运算与求不定积分的运算的关系,启示,能否根据求导公式得出积分公式？,结论,既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式,.,二、 基本积分表,基本积分表,(,k,是常数,);,说明：,例,4,求积分,解,根据积分公式,证,等式成立,.,（可推广到有限多个函数之和的情况）,三、 不定积分的性质,线性性质,为常数）,解,所求曲线方程为,例,已知一曲线,在点,处的切线斜率为,且此曲线与,y,轴的交点为,求此曲线的方程,.,5.,基本积分表,(1),4.,不定积分的性质（线性性）,1.,原函数的概念：,2.,不定积分的概念：,3.,求微分与求积分的互逆关系,小结,6.,利用积分公式求积分,观察下列演示过程，注意当分割加细时，,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,求由连续曲线,y,=,f,(,x,),对应的,曲边梯形,面积的方法,(2),取近似求和,:,任取,x,i,x,i,-,1,x,i,，第,i,个小曲边梯形的面积用高为,f,(,x,i,),而宽为,D,x,的小矩形面积,f,(,x,i,),D,x,近似之。,(3),取极限,:,，,所求曲边,梯形的面积,S,为,取,n,个小矩形面积的和作为曲边梯形面积,S,的近似值：,x,i,y,=,f,(,x,),x,y,O,b,a,x,i,+1,x,i,(1),分割,:,在区间,0,1,上等间隔地插入,n-1,个点,将它等分成,n,个小区间,:,每个小区间宽度,x,一、定积分的定义,如果当,n,时，,S,的无限接近某个常数，,这个常数为函数,f,(,x,),在区间,a,b,上的定积分，记作,从求曲边梯形面积,S,的过程中可以看出,通过,“四步曲”,:,分割,-,近似代替,-,求和,-,取极限得到解决,.,定积分的定义,：,定积分的相关名称：,叫做积分号，,f,(,x,) ,叫做被积函数，,f,(,x,),dx,叫做被积表达式，,x,叫做积分变量，,a,叫做积分下限，,b,叫做积分上限，,a,b, ,叫做积分区间。,被积函数,被积表达式,积分变量,积分下限,积分上限,按定积分的定义，有,(1),由连续曲线,y,=,f,(,x,) (,f,(,x,),0),，直线,x,=,a,、,x,=,b,及,x,轴所围成的曲边梯形的面积为,(2),设物体运动的速度,v,=,v,(,t,),，则此物体在时间区间,a,b,内运动的距离,s,为,定积分的定义：,1,x,y,O,f(x),=,x,2,O,v,t,1,2,说明：,(1),定积分是一个数值,它只与被积函数及积分区间有关，,而与积分变量的记法无关，即,b,a,f,(,x,),dx,=,b,a,f,(,x,),dx,-,(3),(2),定积分的几何意义：,O,x,y,a,b,y,f,(,x,),x,=,a,、,x,=,b,与,x,轴所围成的曲边梯形的面积。,当,f,(,x,),0,时，由,y,f,(,x,),、,x,a,、,x,b,与,x,轴所围成的曲边梯形位于,x,轴的下方，,x,y,O,=-,a,b,y,f,(,x,),y,-,f,(,x,),=-,S,上述曲边梯形面积的负值。,定积分的几何意义：,=-,S,三,:,定积分的基本性质,性质,1.,性质,2.,三,:,定积分的基本性质,定积分关于积分区间具有,可加性,性质,3.,O,x,y,a,b,y,f,(,x,),例,1,key,key,key,