31定积分概念

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第三章,积分学,不定积分,定积分,定积分与不定积分,1,第一节,一、,定积分问题举例,二、 定积分的定义,三、 定积分的几何意义,定积分的概念,四、 定积分的数值计算,2,一、定积分问题举例,1.,曲边梯形的面积,设曲边梯形是由连续曲线,以及两直线,所围成,求其面积,A,.,矩形面积,梯形面积,x,y,f,(,x,),= h,x,1,x,2,x,y,f,(,x,),= a x + b,x,1,x,2,3,1),大化小,.,插入,n ,1,个分点,解决步骤,:,分成,n,个小曲边梯形,.,2),常代变,.,计算第,i,个窄曲边梯形面积,高,:,宽,:,4,3),近似和,.,4),取极限,.,令,则曲边梯形面积,5,二、定积分定义,任一种,分法,任取,总趋于确定的极限,I,则称此极限,I,为函数,在区间,上的,定积分,即,此时称,f,(,x,),在,a,b,上,可积,.,记作,分法的模,6,积分上限,积分下限,被积函数,被积表达式,积分变量,积分和,定积分仅与,被积函数,及,积分区间,有关,而与积分,变量用什么字母表示无关,即,7,定理,1.,定理,2.,且只有有限个间断点,可积的充分条件,:,(,证明略,),例,1.,利用定义计算定积分,解,:,将,0,1,n,等分,分点为,取,8,注,9,注,利用,得,两端分别相加,得,即,10,例,2.,用定积分表示下列极限,:,解,:,11,说明,:,根据定积,分定义可得如下,近似计算方法,:,将,a,b,分成,n,等份,:,(,左矩形公式,),(,右矩形公式,),12,(,梯形公式,),为了提高精度,还可建立更好的求积公式,例如辛普森,公式,复化求积公式等,数值积分方法,，有现成的数学软件,可供调用,.,13,三、定积分的几何意义,:,曲边梯形面积,曲边梯形面积的负值,各部分面积的代数和,14,例,3.,利用定积分的几何意义计算下列定积分,的奇函数，,x,轴左右两块面积相等，故：,解,:,如图所示：,sin,x,函数在,解,:,如图所示：所求定积分为,半径为,a,的圆面积的,1/4,故,15,第二节,一、定积分的性质,二、微积分的基本公式,定积分的性质与基本公式,16,三、定积分的性质,(,设所列定积分都存在,),(,k,为常数,),证,:,=,右端,17,证,:,当,时,因,在,上可积,所以在分割区间时,可以永远取,c,为分点,于是,18,当,a , b , c,的相对位置任意时,例如,则有,19,6.,若在,a,b,上,则,证,:,推论,1.,若在,a,b,上,则,20,解：,设,则,即,例,5.,试证,21,推论,2.,证,:,即,7.,设,则,22,例,6.,试证,:,证,:,设,则在,上,有,即,故,即,23,8.,积分中值定理,则至少存在一点,使,证,:,则由,性质,7,可得,根据闭区间上连续函数介值定理,使,因此定理成立,.,24,说明,:,可把,故它是有限个数的平均值概念的推广,.,积分中值定理对,因,25,例,7.,计算从,0,秒到,T,秒这段时间内自由落体的平均,速度,.,解,:,已知自由落体速度为,故所求平均速度,26,内容小结,1.,定积分的定义,乘积和式的极限,2.,定积分的性质,3.,积分中值定理,矩形公式,梯形公式,连续函数在区间上的平均值公式,近似计算,27,作业,P169,：,1, 2,P170,：,3,(3,、,4),; 4,(2,、,3),;7,(1),28,