129365463429375000d51定积分的概念与性质

,第五章 定积分,高等数学,（,上,）,第一节 定积分的概念与性质,第五章,定 积 分,积分学,不定积分,定积分,第一节,一、,定积分问题举例,二、 定积分的定义,定积分的概念及性质,第,五,章,三、 定积分的性质,一、定积分问题举例,1. 曲边梯形的面积,设曲边梯形是由连续曲线,以及两直线,所围成 ,求其面积,A,.,矩形面积,梯形面积,解决步骤 :,1),大化小.,用直线,将曲边梯形分成,n,个小曲边梯形;,2),常代变.,作以,为底 ,为高的小矩形,并以此小,矩形面积近似代替相应,窄曲边梯形面积,得,在区间 ,a,b,中 插入,n ,1,个分点,任意,在第,i,个窄曲边梯形上,任取,3) 近似和.,4) 取极限.,令,则曲边梯形面积,2. 变速直线运动的路程,设某物体作直线运动,且,求在运动时间内物体所经过的路程,s,.,解决步骤:,1) 大化小.,将它分成,在每个小段上物体经,2) 常代变.,得,已知速度,n,个小段,过的路程为,3) 近似和.,4) 取极限 .,上述两个问题的,共性,:,解决问题的方法步骤相同,:,“大化小 , 常代变 , 近似和 , 取极限 ”,所求量极限结构式相同,:,特殊乘积和式的极限,二、定积分定义,任取一点,总趋于确定的极限,I,则称此极限,I,为函数,在区间,即,记作,任意一种,分法,上的 ,定积分,此时称,f,(,x,) 在 ,a,b, 上 .,可积,(P194 ),积分上限,积分下限,被积函数,被积表达式,积分变量,积分和,定积分仅与被积函数及积分区间有关 ,而与积分,变量用什么字母表示无关 ,即,定积分的几何意义:,曲边梯形面积,曲边梯形面积的负值,各部分面积的代数和,可积的充分条件:,取,定理1,定理2,且只有有限个间断点,(证明略),例1,解,将 0,1,n,等分, 分点为,利用定义计算定积分,注,当,n,较大时, 此值可作 为的近似值,注：,注,利用,得,两端分别相加, 得,即,例2,解,用定积分表示下列极限:,三、定积分的性质,(设所列定积分都存在),(,k,为常数),证,= 右端,规定,定积分的线性性质,证,时,因,在,上可积 ,所以在分割区间时, 可以永远取,c,为分点 ,于是,当,积分对积分区间具有可加性,当,a , b , c,的相对位置任意时, 例如,则有,综上可得, 对任意位置的,c,，都有,5.,则,证,推论1,则,若在 ,a,b,上,若在 ,a,b,上,证,推论2,即,例3,证,则在,上, 有,即,故,即,试证:,设,6.,则,设,7.,积分中值定理,则至少存在一点,使,证,则由性质,6,可得,根据闭区间上连续函数介值定理,使,因此定理成立.,说明:,可把,故它是有限个数的平均值概念的推广.,积分中值定理对,因,例4,计算从 0 秒到,T,秒这段时间内自由落体的平均,速度.,解,故所求平均速度,已知自由落体速度为,内容小结,1.,定积分的定义, 乘积和式的极限,2. 定积分的性质,3. 积分中值定理,连续函数在区间上的平均值公式,线性性质,不等式性质,积分对区间的可加性,测度性质,思考与练习,1. 用定积分表示下述极限 :,解,或,思考:,如何用定积分表示下述极限,提示:,极限为 0 !,2. P202 题3，4，5,3.,证,设,则,即,证明,