点集拓扑学连通空间

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第4章连通性,本章讨论拓扑空间的几种拓扑不变性质，包括连通性，局部连通性和弧连通性，并且涉及某些简单的应用这些拓扑不变性质的研究也使我们能够区别一些互不同胚的空间,1,4.1连通空间,4.2连通性的某些简单应用,4.3连通分支,4.4局部连通空间,4.5道路连通空间,2,定义4.1.1设A和B是拓扑空间X中的两个子集如果,则称子集A和B是隔离的,定义4.1.2设X是一个拓扑空间如果X中有两个非空的隔离子集A和B使得X=AB，则称X是一个不连通空间；否则，则称X是一个连通空间,4.1连通空间,3,定理4.1.1设X是一个拓扑空间则下列条件等价：,（l）X是一个不连通空间；,（2）X中存在着两个非空的闭子集A和B使得AB= 和ABX成立；,（3）X中存在着两个非空的开子集A和B使得AB= 和ABX成立；,（4）X中存在着一个既开又闭的非空真子集,4,定理4.1.2实数空间R是一个连通空间,定义4.1.3设Y是拓扑空间X的一个子集如果Y作为X的子空间是一个连通空间，则称Y是X的一个连通子集；否则，称Y是X的一个不连通子集,定理4.1.3设Y是拓扑空间X的一个子集，A，B Y.,因此，Y是X的一个不连通子集，当且仅当存在Y中的两个非空隔离子集A和B使得ABY(定义)当且仅当存在X中的两个非空隔离子集A和B使得ABY,则A和B是子空间Y中的隔离子集当且仅当它们是拓扑空间X中的隔离子集,5,定理4.1.4设Y是拓扑空间X中的一个连通子集如果X中有隔离子集A和B使得Y,AB,，则或者Y A，或者Y B,定理4.1.5设Y是拓扑空间X的一个连通子集，Z X满足条件 则Z也是X的一个连通子集,定理4.1.6设 是拓扑空间X的连通子集构成的一个子集族如果 ，则 是X的一个连通子集,6,定理4.1.7设Y是拓扑空间X中的一个子集如果对于任意x，y Y存在X中的一个连通子集 使得x，y Y ，则Y是X中的一个连通子集,定理4.1.8设f:XY是从连通空间X到拓扑空间Y的一个连续映射则f（X）是Y的一个连通子集,定理4.1.9设 是n个连通空间则积空间 也是连通空间,7,