初等变换和逆矩阵

公共数学教研室李继根,矩阵的,运算,方阵的行列式,矩阵的初等变换与逆矩阵,第六章 矩阵,定义,1,对于,阶矩阵,如果存在矩阵,满足,可逆,，并称,则称矩阵,为矩阵,的,逆矩阵,，,记作,显然此时,也为矩阵,的逆矩阵,。,3,、矩阵的初等变换与逆矩阵,一、逆矩阵的概念,例,1,解,：,设,可逆，且其逆,由,得,何时可逆，并求出其逆。,矩阵,待定系数法,因此,解得,这里,并且,所以,可逆。,时,例,2,时，,证明：,当,回到,矩阵方程,则,显然，矩阵,可逆时，,方程两边同时左乘,故,更一般地,，对于,矩阵方程,则,显然，矩阵,可逆时，,方程两边同时左乘,右乘,例,3,解：,显然,可逆。,矩阵,满足关系式,且,求,得,关系式两边左乘,即,所以,由于,可逆，,且,所以,定义,2,矩阵 的,伴随矩阵,或 指的是,显然我们有下面的定理：,定理,1,对于任意 阶方阵 ，有,注意下标,定理,2,方阵 可逆的充要条件是 ，且,例,4,求 及 。,所以 可逆。,当,时，由,所以,得,例,5,求,B.,解：,所以 可逆，两边右乘 ，得,根据,两边再左乘 ，得,即,由于,因而,所以,二、逆矩阵的几个基本性质,性质,1,可逆阵,A,的逆矩阵是,唯一,的。,性质,3,可逆阵,A,的逆矩阵的逆矩阵就是矩阵,A,即,性质,2,互逆的充要条件是 或,证明,：,由 ，两边取行列式，得,所以,A,可逆。,又,故结论成立。,性质,5,同阶可逆阵,A,和,B,的,乘积,也可逆，且,性质,4,可逆阵,A,的,数乘,矩阵也可逆，且,性质,6,可逆矩阵,A,的转置矩阵的逆矩阵就是,A,的逆矩阵的转置，即,转置,和,求逆,两运算,可交换顺序,例,6,解：,设 是,3,阶矩阵，且 ，求,由于矩阵源自线性方程组，所以我们回到,“,起点,”,，首先研究线性方程组的,高斯消元法,，引出方程组的三类,同解变换,。然后将它们应用到单位矩阵，得到三类,初等矩阵,。最后利用初等矩阵与初等变换的关系，将矩阵变换成,“,形状简单,”,的矩阵，最终得到解决,矩阵求逆问题,及,解矩阵方程,等相关问题的,初等（行）变换法,。,三、初等变换和初等矩阵,例,7,求解线性方程组,首先，我们来分析所谓,高斯消元法,解方程组的过程,解：,显然，方程组 就是方程组 的解,观察可知，解线性方程组的过程中我们用到下列三类,可逆,的,同解变换,：,（,1,）,对换,其中两个方程的位置； （,对换,）,（,2,）用一个非零常,数乘,以某一个方程； （,数乘,）,（,3,）某方程的常数,倍加,到另一个方程上去。（,倍加,）,由于解线性方程组的过程中仅仅改变线性方程组的系数和常数项，也就是,只改变线性方程组的增广矩阵中的元素,，因此我们可以将线性方程组的三类,同解变换,移植,到矩阵。,定义,3,下面三类变换称为矩阵的,初等行、列变换,:,（,1,）,对换,其矩阵中任意的两行,(,列,),。用 表示对换第 两行,(,列,),。,（,对换,）,（,2,）用一个非零常,数乘,以矩阵中的某一行,(,列,),的所有元素。用 表示用常数 乘以矩阵的第 行,(,列,),。,（,数乘,）,（,3,）将矩阵某行,(,列,),的所有元素的常数,倍加,到另一行,(,列,),的对应元素上去。用 表示第 行,(,列,),的 倍加到第 行,(,列,),。 （,倍加,）,矩阵的,初等列变换,与,初等行变换,统称为,初等变换,显然，初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同，即,类似于方程组的同解变换，我们称经过初等变换后的矩阵与变换前的矩阵,等价,，用 表示。,注意,：等价不是相等。,显然对 矩阵 施行初等行变换，在把 变成 时，原来的 就变成了 。这就是我们解决矩阵求逆问题的,初等行变换法,。,例,9,解,：,重新求解,例,7,。,方程组对应的矩阵方程为,这里,则,从而,所以,也就是,由,可知,在,初等行变换法,中，如果将原来的 改成,所以,初等行变换法,中还可用于求矩阵乘积,例,10,解,：,求解矩阵方程 其中,因此,