点集拓扑学子空间

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第3章子空间（有限）,积空间，商空间,在这一章中我们介绍通过已知的拓扑空间构造新的拓扑空间的三种惯用的办法为了避免过早涉及某些逻辑上的难点，在3.2中我们只讨论有限个拓扑空间的积空间，而将一般情形的研究留待以后去做,1,3.1 子空间,3.2 （有限）积空间,3.3 商空间,2,3.1子空间,定义,3.1.1,设（,X,，,）是一个度量空间，,Y,是,X,的一个子集,.,因此，,YY,显然 ：,YYR,是,Y,的一个度量（请自行验证）我们称,Y,的度量 ，是由,X,的度量,诱导出来的度量,.,度量空间（,Y,，,）称为度量空间（,X,，,）的一个度量子空间,XX,3,定理,3.1.1,设,Y,是度量空间,X,的一个度量子空间则,Y,的子集,U,是,Y,中的一个开集当且仅当存在一个,X,中的开集,V,使得,U,VY,定义3.1.2,设,A,是一个集族，Y是一个集合集族AY|A,A,称为集族,A,在集合Y上的限制，记作 .,4,引理3.1.2,设Y是拓扑空间（X，T）的一个子集则集族 是Y的一个拓扑,定义,3.1.3,设,Y,是拓扑空间（,X,，,T,）的一个子集,Y,的拓扑 称为（相对于,X,的拓扑,T,而言的）相对拓扑；拓扑空间（,Y,， ）称为拓扑空间的一个（拓扑）子空间,5,定理3.1.3,设Y是度量空间X的一个度量子空间则X与Y都考虑作为拓扑空间时Y是X的一个（拓扑）子空间,定理3.1.4,设X，Y，Z都是拓扑空间如果Y是X的一个子空间，Z是Y的一个子空间，则Z是X的一个子空间,6,定理 3.1.5,设Y是拓扑空间X的一个子空间，yY则,（l）分别记T和 为X和Y的拓扑，则 = ；,（2）分别记,F,和 为X和Y的全体闭集构成的族，则 = ；,（3）分别记 和 为点y在X和Y中的邻域系 ，则 = ,7,定理3.1.6,设Y是拓扑空间X的一个子空间，A是Y的一个子集则,（1）A在y中的导集是A在X中的导集与Y的交；,（2）A在Y中的闭包是A在X中的闭包与Y的交,定理3.1.7,设Y是拓扑空间X的一个子空间，yY则,（1）如果 是拓扑空间X的一个基，则 是子空间Y的一个基；,（2）如果 是点y在拓扑空间X中的一个邻域基，则 是点y在子空间Y中的一个邻域基,8,定义3.1.4,设X和Y是两个拓扑空间，f:XY映射f称为一个嵌入，如果它是一个单射，并且是从X到它的象集f(X)的一个同胚如果存在一个嵌入f: XY，我们说拓扑空间X可嵌入拓扑空间Y,本节关键:,掌握拓扑空间中的子集(这里称为子空间)的开集、闭集、闭包、导集”长”得什么模样,作业:,P95 1.2.5.7.,9,