矩母函数

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,现代精算风险理论,*,条件期望、矩母函数,山东财经大学保险学院 谭璐,主要内容,一、条件期望,二、混合分布,三、矩母函数,四、特征函数,现代精算风险理论,一、,条件期望,给定变量,Y,时，在,X,上的概率分布,对,Y,的每个可能取值，对,X,都定义有一个概率分布,也能求期望，称为条件期望,现代精算风险理论,：,数字,：,y,的函数。在知道,y,的值之前，不知道,：随机变量，当,Y,=,y,时，,的值,：随机变量,现代精算风险理论,假定对 采样，在给定,x,后，在对,采样,直观地，期望,事实上，对 ，有,得到期望,因而,注意： 是随机变量，当 时，其值为,思考题：,当,X,与,Y,独立时，,的值？,现代精算风险理论,定理：对随机变量,X,和,Y,，,假设其期望存在，则,更一般地，对任意函数,证明：利用条件期望的定义和,与,Y,有关的随机变量,现代精算风险理论,怎样计算 ？,一种方法是计算联合密度 ，然后计算,另一种更简单的方法是分两步计算,计算,计算,现代精算风险理论,条件方差,定义：,条件方差,定义为,其中,定理：对随机变量,X,和,Y,，,现代精算风险理论,现代精算风险理论,在给定,X,的情况下，条件分布为,，,Y,为随机变量，因此上式中,为常数，因此,所以,现代精算风险理论,二、混合分布,在一个分布族中，分布族由一个,/,一些参数决定，如,，这些参数 通常又是一个随机变量（贝叶斯学派的观点，参数也是随机变量），则最终的分布称为混合分布,(mixture distribution),渐增式地定义一个复杂的模型：通过条件分布与边缘分布,希望知道 ，至少是其期望和均值（条件期望和方差）,现代精算风险理论,混合分布举例,例：假设昆虫会产很多数量的蛋，蛋的数量为一个随机变量，用,表示；,另外假设每个蛋的是否存活是独立的，存活的概率为,p,为,Bernoulli,分布，用,X,表示存活的数量，则,现代精算风险理论,期望：,亦可通过条件期望计算：,方差：,亦可通过条件期望计算：,现代精算风险理论,矩母函数的得名起因于下述公式：,E(X,k,)=M,(k),(0),对于非负随机变量,X,来说，习惯上做一变换,s=-,t,L,X,(s,)=,M,X,(t,),通常称上式为,X,的,laplace,变换。,三、矩母函数,（,Moment Generating Functions,）,现代精算风险理论,拉式变换与概率分布函数,定理：一函数,L(s,) (s,0,),是某一分布函数的,Laplace,变换的充要条件为,L(0)=1,，无穷次可导，且满足,(-1),n,L,(n),(s),0,(s,0,n,0,),现代精算风险理论,矩母函数,（,Moment Generating Functions,）,矩母函数：用于计算矩、随机变量和的分布和定理证明,定义：,X,的矩母函数（,MGF,），或,Laplace,变换定义为,其中,t,在实数上变化。,若,MGF,是有定义的，可以证明可以交换微分操作和求期望操作，所以有：,取,k,阶导数，可以得到,方便计算分布的矩,现代精算风险理论,矩母函数,（,Moment Generating Functions,）,定义,X,是离散型,r. v,X,是连续型,r. v,矩母函数与分布间的一一对应,唯一性定理：,如果，,M,X,(,)=M,Y,(,),在,的某个区间上成立，则随机变量,X,与,Y,同分布,。,现代精算风险理论,现代精算风险理论,X,的矩母函数可以变形为：,于是,：,矩母函数与随机变量,X,的各阶矩,现代精算风险理论,另一方面：,于是：,现代精算风险理论,性质,1,：,例：,从而：,现代精算风险理论,再考虑：,于是：,现代精算风险理论,而,从而,特别,性质,2,：设,X,Y,是相互独立的随机变量，则：,现代精算风险理论,证明：,系：设,X,1,X,n,是独立随机变量，则：,例：设,Z,1,Z,2,是相互独立的标准正态分布随机变量，则：,现代精算风险理论,证明：,设,z,是标准正分布的随机变量,当,1/2,时，,作变换,于是：,现代精算风险理论,另一方面， 的密度函数为,其矩母函数为：,现代精算风险理论,令 ，对任意 ，有,当 时，上述积分是发散的。,所以,现代精算风险理论,矩母函数的性质,引理：,MGF,的性质,若 ，则,若 独立，且 ，则,例：,现代精算风险理论,矩母函数的性质,定理：令,X,、,Y,为随机变量，如果对在,0,附件的一个开区间内所有的,t,，有 ，则 。,例：令,且 独立，,则,为分布 的,MGF,，即,现代精算风险理论,多元矩母函数,定义：,性质,1,性质,2,现代精算风险理论,是虚数单位,.,四、特征函数,定义,设,X,是一随机变量，称,(,t,) =,E,exp(itX,),为,X,的特征函数,.,现代精算风险理论,(1),当,X,为离散随机变量时,，,(2),当,X,为连续随机变量时，,现代精算风险理论,(1),欧拉公式,：,(2),复数的共轭,：,(3),复数的模,：,特征函数的计算中用到复变函数，,为此注意：,现代精算风险理论,性质,|,(,t,),|,(0)=1,若,X,与,Y,独立，则,现代精算风险理论,