吴赣昌编 概率论与数理统计 第1章

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,概率论与数理统计,教 师: 郑,立 笋,数学专业教研室数理楼,224B,教材：,概率论与数理统计（第四版）,吴赣昌 编,中国人民大学出版社,参考书：,1. 概率论与数理统计（第二版）,范大茵 陈永华 编,浙江大学出版社2003,2.大学数学学习方法指导丛书概率论与数理统计,李贤平 沈崇圣 陈子毅 编著,复旦大学出版社,引 言,概率统计是研究什么的,客观世界中发生的现象,确定性的,在一定条件下必然发生的现象,随机性的,在一定条件下，具有多种可能的结果，但事先又不能预知确切的结果,1)拋掷一枚硬币，其结果可能是图案面朝上,(,数字面朝上,),，也可能是图案面朝下,(,数字面朝下,),，并且在拋掷之前无法预知拋掷的结果。,2)足球比赛，其结果可能是胜、平、负，但在比赛之前无法预知其结果。,3)投掷一个骰子，其结果有6种，即可能出现1,2,3,4,5,6点，但每次投掷之前是无法预知投掷的结果的。,4)股市的变化。,说明：随机现象是广泛存在的。,一个射手在一次射击中可能击中目标，也可能未击中目标，但在一个短时间内，每天的命中率却是稳定的。,同一门炮在同样发射条件下射出的许多炮弹其落点不一样。虽然落点不同，但形成一个椭圆,-,落点分布。,命中率的稳定性与落点分布的稳定性都说明随机现象中蕴含着某种确定的规律。,这种规律只有在大量的试验和观察中才能呈现出来，这种规律性叫做,统计规律性,。,概率统计研究和揭示,随机现象统计规律性的学科,应用范围广泛。例如：,气象预报、水文预报、地震预报、产品质量检验、产品的可靠性评估、寿命预测、生物统计、卫生统计、保险、金融等各领域。,经典的数学理论如微积分学、微分方程等都是研究确定性现象的有力的数学工具,。,例,1,：,外语考试卷子中有,5,道题，每道题列出三种可能的答案，其中仅有一个答案正确，如果让一个没有学过这种外语的人来答卷，问他能答对至少,4,题的概率是多少？,例,2,：,有甲、乙两种味道和颜色都极为相似的酒各,4,杯，如果从中挑,4,杯，能将甲种酒全部挑出来，算是成功一次。某人声称他通过品尝能区分两种酒，他连续试验,10,次，成功,3,次，试推断他是猜对的，还是他确有区分的能力。,例,3,：,某商场计划于,5,月,1,日在户外搞一次促销活动，统计资料表明，如果在商场内搞促销活动，可获得经济效益,3,万元；在商场外搞促销活动，如果不遇到雨天可获得经济效益,12,万元，遇到雨天则会带来经济损失,5,万元，若前一天的天气预报称当日有雨的可能性 为,40%,，则商场应如何选取促销方式？,第一章 随机事件及其概率,随机事件,及其运算,频率与,概率,古典概型和几何概型,条件概率,事件的独立性,1.1,随机试验、样本空间、随机事件,一、随机试验（简称“试验”）,试验,：,一个盒子中有,10,个完全相同的白球，搅匀后任意摸出一球,试验,：,一个盒子中有,10,个大小完全相同的球，,5,个白色，,5,个黑色，搅匀后任意摸出一球,随机试验的特点(,p2),(1),试验可以在相同条件下大量,重复,进行；,(2),每次试验的可能结果不止一个，并且事先可以知道试验所有可能的结果,可观察性；,(3),进行一次试验之前不能确定出现的是哪个结果，但若进行大量重复试验的话，其可能结果的出现又有一定的,统计规律性,。,满足上述特点的试验称为,随机试验,，一般记为,E,。,E,1,：,拋掷一枚质地均匀的硬币,，,观察正面和反面出现的情况；,E,2,：,掷一颗质地均匀的骰子，观察其出现的点数；,E,3,：,记录某网站一分钟内受到的点击次数；,E,4,：,从某品牌的电视机中任取一台，观察其使用寿命。,随机试验的例子,随机试验,二、样本空间(,p2),1、样本空间：,由随机试验的一切可能的结果组成的一个,集合,称为试验,E,样本空间，记为,S,或,；,2、,样本点：,试验的每一个可能的结果,（,或样本空间的元素）称为一个样本点，记为,。,试给出,E,1,E,4,的样本空间,幻灯片,1,0,三、随机事件,例1.1,将一颗骰子连掷两次，依次记录所得点数，则所有可能出现的结果即该试验的样本空间是：,其中有36个可能的结果，即36个样本点。,每做一次试验，这36个样本点必有一个且仅有一个出现。在很多时候，我们是对样本空间中某些子集感兴趣，称之为,事件,。,如事件,A,：,两次投掷所得点数之和为8。,事件,B,：,两次投掷所得点数相等。,A,发生,(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2),记作：,A,=(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)，,A,是,S,的子集。,类似地，,B,=(1,1),(2,2),(6,6)，,B,也是,S,的子集。,1、随机事件,(,p3),随机试验,E,的样本空间,S,的子集为,E,的随机事件，简称事件。通常用大写字母,A,、,B,、,C,表示,。,任何事件均可表示为样本空间的某个子集.,称,事件,A,发生,当且仅当试验的结果是子集,A,中的元素出现。,特殊地，当一个事件仅包含,S,的一个样本点时，称该事件为,基本事件,(或简单事件),。,2、两个特殊事件,必然事件,S,S,包含所有的样本点，是,S,自身的子集，每次试验它总是发生的，称为必然事件。,不可能事件,空集,不包含任何样本点，它是,S,的子集，每次试验总是不发生，称为不可能事件。,课堂练习：,从通常的一副52张扑克牌中抽取一张，在下列情况下描述样本空间：,(1)不考虑牌的花色；,(2)考虑牌的花色。,解,：,(1)如果不考虑整套牌的花色，样本空间包含可由牌点,A,，,二点，十点，,J,，,Q,，,K,组成，即可表示为,=1,2,13。,(2),如果考虑整套牌，样本空间包含,S,，,H,，,D,，,C,的,A,，,一直到,S,，,H,，,D,，,C,的,K,。,如果用,1,2,3,4,分别表示黑、红、方、草，则黑桃,J,可写成(1,1,1),，样本空间有52个样本点：,四、事件之间的关系,（,熟练掌握,）,事件可以用,文字,表示，事件也可以表示为,样本空间的子集,，后者反映了事件的实质，且更便于今后计算概率。,还应注意，同一样本空间中，不同的事件之间有一定的关系，,事件之间的关系是由他们所包含的样本点所决定的，这种关系可以用,集合之间,的关系来描述。,例1.2,袋中装有2只白球和1只黑球。从袋中依次任意地摸出2只球。设球是编号的：白球为1号、2号，黑球为3号,。(,i,j,),表示第一次摸得,i,号球，第二次摸得,j,号球的基本事件，则这一试验的样本空间为：,S,=(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2),而且可得到下列随机事件,A=(3,1),(3,2)=,第一次摸得黑球；,B=(1,2),(1,3),(2,1),(2,3)=,第一次摸得白球；,C=(1,2),(2,1)=,两次都摸得白球；,D=(1,3),(2,3)=,第一次摸得白球，第二次摸得黑球；,G=(1,2),(2,1)=,没有摸到黑球。,设试验,E,的样本空间为,S,，,A,B,A,k,(,k,=,1,2,),为事件,返回,1.,事件的包含与相等,(,p4),“,A,发生必导致,B,发生”，即,A,中的样本点一定属于,B,，记为,A,B,，,也称,A,是,B,的子事件。,A,与,B,两个事件相等：,A,B,A,B,且,B,A,。,例,1.2,2.,和事件,(,p4),（,4,）,：,“,事件,A,与,B,至少有一个发生,”,，记作,A,B,2,n,个事件,A,1,A,2,A,n,至少有一个发生，记作,2” 可列个事件,A,1,A,2,A,n,至少有一个发生，记作,3.,积事件,(,p4),:,A,与,B,同时发生，记作,A,B,AB,3,n,个事件,A,1,A,2,A,n,同时发生，记作,3”可列个事件,A,1,A,2,A,n,同时发生，记作,4.,差事件,(,p4),：,A,B,称为,A,与,B,的差事件,表示事件,A,发生而,B,不发生，它是由属于,A,而不属于,B,的样本点所构成的事件。,思考：何时,A,-,B,=,?,何时,A,-,B,=,A,？,例1.2中,B,=,C,D,C,=,B,C,D,=,B,-,C,例1.2,5.,互,斥的事件,(,p4),：,AB=,指事件,A,与,B,不能同时发生。又称,A,与,B,互不相容,。,基本事件是,两两互不相容的,例1.2中：,AB=,AC=,6.,互逆的,事件,(,p4),A,B,且,AB,A,与,B,对立：,事件,A,与,B,既不能同时发生，又不能同时不发生。即在每次试验中，,A,与,B,有且仅有一个发生。,对立事件必为互不相容事件；互不相容事件未必为对立事件。,五、事件的运算(,p5),1、交换律：,A,B,B,A,，,AB,BA,2、,结合律,：(,A,B,),C,A,(,B,C,),，,(,AB,),C,A,(,BC,),3、,分配律,：(,A,B,),C,(,AC,),(,BC,),，,(,AB,),C,(,A,C,),(,B,C,),4、,对偶(,De Morgan),律,：,5,、,差积转换律,例1.3,甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以,A,、,B,、,C,分别表示甲、乙、丙命中目标，试用,A,、,B,、,C,的运算关系表示下列事件：,例1.4,试求事件“甲种产品滞销，且乙种产品畅销”的对立事件。,解,设,A,表示事件“甲种产品畅销”，,B,表示事件“乙种产品畅销”，则由题意，事件“甲种产品滞销，且乙种产品畅销”表示为：,因此对立事件为：,即所求对立事件为：“甲种产品畅销或乙种产品滞销”。,1.2 频率与概率,1.,频率,定义,1.,设在相同条件下， 进行了,n,次试验，若随机事件在,n,次试验中发生了 次，则此比值：,称为事件,A,在,n,次试验中发生的频率，记作,，,即,=,频率具有如下的性质,对任一事件,A,，0,f,n,(,A,),1；,对必然事件,S，f,n,(,S,)1；,而,f,n,(,)=0,(3),可加性：若事件,A,、,B,互不相容，即,AB,，,则,f,n,(,A,B,),f,n,(,A,) ,f,n,(,B,)。,一般地，若事件,A,1,，,A,2,，,，,A,n,两两互不相容，则,事件,A,发生的频率表示,A,发生的频繁程度，频率越大，事件,A,发生得越频繁，即在一次试验中发生的可能性越大。,历史上曾有人做过试验，著名的统计学家摩根、蒲丰和皮尔逊进行了大量的抛掷均匀硬币的试验，试图证明出现正反面的机会均等。,实验者,n,n,H,f,n,(,H,),De Morgan 2048 1061 0.5181,Buffon 4040 2048 0.5069,K. Pearson 12000 6019 0.5016,K. Pearson 24000 12012 0.5005,实践证明：当试验次数,n,增大时， 随机事件,A,的频率,f,n,(,A,),逐渐趋向一个稳定值,。,这是随机现象固有的性质，即频率的,稳定性,，也就是我们所说的随机现象的统计规律性。,二、概率,从直观上来看，事件,A,的概率是指事件,A,发生的可能性,P,（A）,应具有何种性质？,抛一枚硬币，币值面向上的概率为多少？,掷一颗骰子，出现6点的概率为多少？,出现单数点的概率为多少？,向目标射击，命中目标的概率有多大？,1、概率的统计定义,设随机事件,A,在,n,次重复试验中发生的次数为,n,A,，,若当试验次数,n,很大时，频率,n,A,/n,稳定,地在某一数值,p,的附近摆动，且随着试验次数,n,的增加，其摆动的幅度越来越小，则称数,p,为随机事件,A,的,概率,，记为,P,(,A,),=p,。,由定义，显然有,0,P,(,A,)1,P,(,S,)=1，,P,()=0。,设,E,是随机试验，,S,是它的样本空间，对于,E,的每一个事件,A,，,赋予一个实数,P,(,A,),与之对应，如果集合函数,P,(),具有如下性质：,非负性,：对任意一个事件,A,，,均有,P,(,A,)0 ；,完备性,：,P,(,S,),=,1；,可列可性质,：若,A,1,，,A,2,，,A,n,，,是两两互不相容的事件序列，即,A,i,A,j,=,(,i,j,i,j=,1,2,)，,有,P,(,A,1,A,2,A,n,)=,P,(,A,1,)+,P,(,A,2,) +,P,(,A,n,)+,则称,P,(,A,),为事件,A,的概率。,2、概率的公理化定义（,P.8）,3,、概率的性质,(,P.9-10),不可能事件的概率为零，即,P,(,)=0；,概率具有,有限可加性,，,即若事件,A,1,，,A,2,，,A,n,两两互不相容，则必有,P,(,A,1,A,2,A,n,)=,P,(,A,1,)+,P,(,A,2,) +,P,(,A,n,),设,A,，,B,是两个事件，则,P(A,-,B)=P(A),-,P(AB),特别地，若,A,B,，,则,AB,=,B,，,有,P(A,-,B)=P(A),-,P(B),，,且,P(A),P(B),，,此性质称为,单调不减性,。,互补性,对任一事件,A,，,有,加法公式,对任意两个事件,A,，,B,，,有,P,(,A,B,)=,P,(,A,)+,P,(,B,),-,P,(,AB,),可推广(,P.10),。,可分性,对任意两事件,A,，,B,，,有,例1.5,某人外出旅游两天，据天气预报，第一天降水概率为0.6，第二天为0.3，两天都降水的概率为0.1，试求：,(1)“第一天下雨而第二天不下雨”的概率,P,(,B,)，,(2)“,第一天不下雨而第二天下雨”的概率,P,(,C,)，,(3)“,至少有一天下雨”的概率,P,(,D,)，,(4)“,两天都不下雨”的概率,P,(,E,)，,(5)“,至少有一天不下雨”的概率,P,(,F,)。,解,设,A,i,表示事件“第,i,天下雨”，,i,=1，2，,由题意,P,(,A,1,)=0.6，,P,(,A,2,)=0.3，,P,(,A,1,A,2,)=0.1,(,1),且,可得,（2）,（,3）至少有一天下雨,=0.6+0.3,-,0.1=0.8,（,4）,（,5）,1.3 古典概型与几何概型,一、古典概型的定义,(,p.11),设随机,实验,E,满足下列条件,1.有限性：试验的样本空间只有有限个可能的结果，即,2.,等可能性：每个样本点的发生是等可能的，即,则称此试验,E,为古典概型，也叫,等可能,概型。,设事件,A,中所含样本点个数为,N,(,A,) ，,以,N,(,S,),记样本空间,S,中样本点总数,，,则有,P,(,A,),具有如下,性质,：,(1) 0,P,(,A,),1；,(2),P,(,S,)1；,P,(,)=0；,(3),AB,，,则,P,(,A,B,),P,(,A,),P,(,B,)。,古典概型中的概率,(,P12)：,解,设,A,-,至少有一个男孩,以,b,表示某个孩子是男孩，,g,表示某个孩子是女孩。,S,=,bbb,bbg,b,gb,gbb,bgg,ggb,gbg,ggg,A,=,bbb,bbg,bgb,gbb,bgg,ggb,gbg,例1.6,有三个子女的家庭,设每个孩子是男是女的概率相等,则至少有一个男孩的概率是多少?,例1.7,在盒子里有10个相同的球，分别标上号码1，2，10 。从中任取一球，求此球的号码为偶数的概率。,解,设,m,表示所取的球的号码为,m,(,m,=1,2,10)，,则试验的样本空间为,S,=1,2,10,，,因此基本事件总数,n=,10,。,又设,A,表示“所取的球号码为偶数”这一事件，则,A,=2,4,6,8,10，,所以,A,中含有,k=,5,个样本点，故,乘法公式,设完成一件事需分两步，第一步有,n,1,种方法,第二步有,n,2,种方法，则完成这件事共有,n,1,n,2,种方法,复习：排列与组合的基本概念,加法公式,设完成一件事可有两种途径，第一种途径有,n,1,种方法，第二种途径有,n,2,种方法，则完成这件事共有,n,1,+,n,2,种方法。,有重复排列,从含有,n,个元素的集合中随机抽取,k,次，每次取一个，记录其结果后,放回,，将记录结果排成一列，,n,n,n,n,共有,n,k,种排列方式.,无重复排列,从含有,n,个元素的集合中随机抽取,k,次，每次取一个，取后,不放回,，将所取元素排成一列，,共有,P,n,k,=,n,(,n,-1),(,n,-,k,+1),种排列方式.,n,n,-1,n,-2,n,-,k,+1,组 合,从含有,n,个元素的集合中随机抽取,k,个，共有,种取法.,二、古典概型的基本类型举例,古典概率的计算关键在于计算基本事件总数和所求事件包含的基本事件数。,由于样本空间的设计可由各种不同的方法，因此古典概率的计算就变得五花八门、纷繁多样。但可归纳为如下几种基本类型。,1、抽球问题,例1.8,设盒中,有,3,个白球，2个红球，现从,盒,中任,抽2,个,球，求取到一红球一白球的概率。,解,设,A,取到一红球一白球,答:取到一红一白的概率为3/5。,一般地，设盒中有,N,个球，其中有,M,个白球，现从中任,抽,n,个,球，则这,n,个,球中恰有,k,个白球的概率是,例1.9,某箱中装有,m+n,个球，其中,m,个白球，,n,个黑球。,(1)从中任意抽取,r+s,个球，试求所取的球中恰好有,r,个白球和,s,个黑球的概率；,解,试验,E,：,从,m+n,球中取出,r+s,个，每,r+s,个球构成,E,的一个基本事件，不同的基本事件总数为,设事件,A,：“,所取的球中恰好有,r,个白球和,s,个黑球”，总共有多少个基本事件呢？,所以，事件,A,发生的概率为,(2)从中任意接连取出,k+,1(,k+,1,m+n,),个球，如果每一个球取出后不还原，试求最后取出的球是白球的概率。,解,试验,E,：,从,m+n,球中接连地不放回地取出,k+,1,个球每,k+,1,个排好的球构成,E,的一个基本事件，不同的基本事件总数为,设事件,B,：“,第,k+,1,个,取出的球是白球”，,由于第,k+,1,个球是白球，可先从,m,个白球中取一个留下来作为第,k+,1,个球，一共有,其余,k,个球可以是余下的,m+n,-1,个球中任意,k,个球的排列，总数为,种保留下来的取法，,事件,B,所包含的基本事件总数为,所以最后所取的球是白球的概率为,注：,P,(,B,),与,k,无关，即不论是第几次抽取，抽到白球的概率均为,在实际中，有许多问题的结构形式与抽球问题相同，把一堆事物分成两类，从中随机地抽取若干个或不放回地抽若干次，每次抽一个，求,“,被抽出的若干个事物满足一定要求,”,的概率。如产品的检验、疾病的抽查、农作物的选种等问题均可化为随机抽球问题。我们选择抽球模型的目的在于是问题的数学意义更加突出，而不必过多的交代实际背景。,2、分球入盒问题,解,设,A,：,每盒恰有一球，,B,：,空一盒,例1.10,将3个球随机的放入3个盒子中去，问：,（1）每盒恰有一球的概率是多少？,（2）空一盒的概率是多少？,一般地，把,n,个,球随机地分配到,N,个盒子中去,(,n,N,)，,则每盒至多,有一,球的概率是：,例1.11,设有,n,个颜色互不相同的球，每个球都以概率1/,N,落在,N,(,n,N,),个盒子中的每一个盒子里，且每个盒子能容纳的球数是没有限制的，试求下列事件的概率：,A=,某指定的一个盒子中没有球,B=,某指定的,n,个盒子中各有一个球,C=,恰有,n,个盒子中各有一个球,D=,某指定的一个盒子中恰有,m,个球,(,m,n,),解,把,n,个球随机地分配到,N,个盒子中去(,n,N,),总共有,N,n,种放法。即基本事件总数为,N,n,。,事件,A,：,指定的盒子中不能放球，因此，,n,个球中的每一个球可以并且只可以放入其余的,N,-1,个盒子中。总共有(,N,1),n,种,放法。因此,事件,B,：,指定的,n,个盒子中，每个盒子中各放一球，共有,n,!,种放法，因此,事件,C,：,恰有,n,个盒子，其中各有一球，即,N,个盒子中任选出,n,个，选取的种数为,C,N,n,在这,n,个盒子中各分配一个球，,n,个盒中各有1球(同上)，,n,!,种放法；事件,C,的样本点总数为,事件,D,：,指定的盒子中，恰好有,m,个球，这,m,个球可从,n,个球中任意选取，共有,C,n,m,种选法，而其余,n,-,m,个球可以任意分配到其余的,N,-1,个盒子中去，共有(,N,-1),n-m,种，所以事件,D,所包含的样本点总数为,C,n,m,(,N,-1),n-m,某班级有,n,个人(,n,365,)，,问至少有两个人的生日在同一天,的概率有多大？,分球入盒问题，或称球在盒中的分布问题。有些实际问题可以归结为分球入盒问题，只是须分清问题中的“球”与“盒”，不可弄错。,(1)生日问题：,n,个人的生日的可能情况，相当于,n,个球放入,N=365,个盒子中的可能情况(设一年365天)；,(2)旅客下车问题(电梯问题)：一列火车中有,n,名旅客，它在,N,个站上都停车，旅客下车的各种可能场合，相当于,n,个球分到,N,个盒子：旅客：“球”，站：“盒子”；,(3)住房分配问题：,n,个人被分配到,N,个房间中；,(4)印刷错误问题：,n,个印刷错误在一本具有,N,页书的一切可能的分布，错误,球，页,盒子。,3.分组问题,例,1.12,30名学生中有3名运动员，将这30名学生平均分成3组，求：,（1）每组有一名运动员的概率；,（2）3名运动员集中在一个组的概率,。,解,设,A,：,每组有一名运动员；,B,：,3名运动员集中在一组,一般地，把,n,个,球随机地分成,m,组(,n,m,),要求第,i,组恰,有,n,i,个球(,i,=1,m,)，,共有分法：,4. 随机取数问题,例1.13,从1到200这200个自然数中任取一个,(1)求取到的数能被6整除的概率；,(2)求取到的数能被8整除的概率；,(3)求取到的数既不能被6整除也不能被8整除的概率。,解,N,(,S,)=200,N,(AB)=200/24=8,N,(A)=200/6=33,N,(B)=200/8=25,(1),(2),(3)的概率分别为：33/200,1/8,1-33/200-1/8+1/25,三、几何概型,样本空间为一线段、平面区域或空间立体的等可能随机试验的概率模型,（,1,）设样本空间,S,是直线上的某个线段,它的长度为,l,(S),A,是,S,的一个子集，则落在,A,中的概率为：,P(A)=,l,(A)/,l,(S,),。,（,2,）设样本空间,S,是平面上的某个区域,它的面积为,u,(S,),则落在,A,中的概率为：,P(A)=,u,(A)/,u,(S,),。,（,3,）设样本空间,S,是空间上的某个立体,它的体积为,v,(S,),则落在,A,中的概率为：,P(A)=,v,(A)/,v,(S,),。,例 甲乙两人相约在,7,点到,8,点之间在某地会面，先到者等候另一人,20,分钟，过时就离开。如果每个人可在指定的任一小时内任意时刻到达，试计算二人能够会面的概率。,解：,根据题意，这是一个几何概型问题，于是,袋中有十只球，其中九只白球，一只红球，十人依次从袋中各取一球(不放回)，问,第一个人取得红球的概率是多少？,第,二,个人取得红球的概率是多少？,1.4 条件概率,若已知第一个人取到的是白球，则第二个人取到红球的概率是多少？,已知事件,A,发生的条件下，事件,B,发生的概率称为在事件,A,发生的,条件下事件,B,发生,的条件概率，简称为,B,对,A,的,条件概率,，记作,P,(,B,|,A,)。,若已知第一个人取到的是红球，则第二个人取到红球的概率又是多少？,一、条件概率,例1.14,设袋中,有,3,个白球，2个红球，现从袋中任意,抽取两次，每次取一,个,，取后不放回。,(1)已知第一次取到红球，求第二次也取到红球的概率；,(2)求第二次取到红球的概率；,(3)求两次均取到红球的概率。,解,设,A,第一次取到红球,B,第二次取到红球,S,=,A,B,A,第一次取到红球,B,第二次取到红球,显然，若事件,A,、,B,是古典概型的样本空间,S,中的两个事件，其中,A,含有,n,A,个样本点，,AB,含有,n,AB,个样本点，则,称为,事件,A,发生的条件下事件,B,发生的,条件概率,(,p.18),定义 设,A,、,B,是,S,中的两个事件,，,P,(,A,),0,，,则,可以验证，条件概率,P,(|,A,),符合概率所需满足的三条基本性质：,非负性：对任意一个事件,B,，,均有0,P,(,B,|,A,)1；,完备性：,P,(,S|A,),=,1；,可列可加性：若,B,1,，,B,2,，,B,n,，,两两互不相容，则有,条件概率也满足概率的基本性质（,P.18),条件概率的一般计算方法：,(1)根据,A,发生以后的情况,直接,计算,A,发生的条件下，,B,发生的条件概率。“,缩减样本空间,”,(2)先计算,P,(,A,)，,P,(,AB,)，,再,用公式,例1.15,一盒中混有100只新、旧乒乓球，各有红、白两色，分类如下表。从盒中随机取出一球，若取得的是一只红球，试求该红球是新球的概率。,红,白,新,40,30,旧,20,10,设,A,-,从盒中随机取到一只红球。,B,-,从盒中随机取到一只新球。,例1.16,设某人从一副扑克中(52张)任取13张，设,A,为“至少有一张红桃”，,B,为“恰有2张红桃”，,C,为,“恰有5张方块”，求条件概率,P,(,B,|,A,)，,P,(,B,|,C,),解,例1.17,某种动物出生后活到20岁的概率为0.7，活到25岁的概率为0.56，求现年为20岁的这种动物活到25岁的概率。,解,设,A,表示事件“,活到20岁以上”，,B,表示事件“活到25岁以上”，显然,二、概率的,乘法公式,(,p.20),设,A,、,B,、,C,为随机事件，,P,(,A,)0，,则有乘法公式,P,(,AB,),P,(,A,),P,(,B,|,A,),当,P,(,AB,)0,时，上,式还可推广到三个事件的情形：,P,(,ABC,),P,(,A,),P,(,B|A,),P,(,C|AB,),一般地，,n,个随机事件,A,1,A,2,A,n,，,且,P,(,A,1,A,2,A,n-,1,)0,有下列公式：,P,(,A,1,A,2,A,n,),P,(,A,1,),P,(,A,2,|,A,1,),P,(,A,3,|,A,1,A,2,),.,.P,(,A,n,|,A,1,A,n,1,),例1.18,甲、乙、丙三人参加面试抽签，每人的试题通过不放回抽签的方式确定。假设被抽的10个试题中有4个难题签，按甲、乙、丙次序抽签，试求甲抽到难题签，甲和乙都抽到难题签，甲没抽到难题签而乙抽到难题签，甲、乙、丙都抽到难题签的概率。,解,设,A,、,B,、,C,分别表示甲、乙、丙抽到难题签的事件,返回,例1.19,盒中有3个红球，2个白球，每次从袋中任取一只，观察其颜色后放回，并再放入一只与所取之球颜色相同的球，若从盒中连续取球4次,试求第1、2次取得白球、第3、4次取得红球的概率。（）,解,设,A,i,为第,i,次取球时取到白球，则,三、全概率公式与贝叶斯公式,在概率论中，我们经常利用已知的简单事件的概率，推算出未知的复杂事件的概率。为此，常须把一个复杂事件分解为若干个,互不相容的简单,事件的和，再,由简单事件的概率,求得最后结果。,设,S,是试验,E,的样本空间，,A,1,A,2,A,n,是试验,E,的一组事件，若,A,1,A,2,A,n,满足如下两个条件：,（1）,A,1,A,2,A,n,=S,，,（2）,A,1,A,2,A,n,两两互不相容,则称事件组,A,1,A,2,A,n,组成样本空间的一个划分；,若是样本空间的一个划分，则在每次试验中，事件,A,1,A,2,A,n,必有且仅有一个发生。,1、样本空间的划分,A,2,A,1,An,B,定理1.1,设试验,E,的样本空间为,S,，,B,为,E,的事件。设事件组,A,1,A,2,A,n,组成样本空间,S,的一个划分，且设,P,(,A,k,)0,(,k,=1,2,n,),则,此公式称为,全概率公式,。,2、全概率公式(,P.21),（将计算一个复杂事件的概率问题转化为在不同情况下或不同原因下发生的简单事件的概率的求和问题）,例1.20,市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知三家工厂的市场占有率分别为1/4、1/4、1/2，且三家工厂的次品率分别为2、1、3，试求市场上该品牌产品的次品率。,解,设,B,：,买到一件次品；,A,1,：,买到一件甲厂的产品；,A,2,：,买到一件乙厂的产品；,A,3,：,买到一件丙厂的产品。,我们把事件,B,看作某一过程的结果,，,则我们可用全概率公式计算结果发生的概率,全概率公式的使用：,根据历史资料，每一原因发生的概率已知，,而且每一原因对结果的影响程度已知，,例1.21,某工厂生产的产品以100件为一批，假定每一批产品中的次品最多不超过4件，且具有如下的概率：,一批产品中的次品数 0 1 2 3 4,概 率0.1 0.2 0.4 0.2 0.1,现进行抽样检验，从每批中随机抽取10件来检验，若发现其中有次品，则认为该批产品不合格。求一批产品通过检验的概率。,解,设,B,表示事件“一批产品通过检验”，,A,i,(,i,=0,1,2,3,4),表示“一批产品含有,i,件次品”，则,A,0,A,1,A,2,A,3,A,4,组成样本空间的一个划分，,返回,例1.21的结果提供给人们这样的信息，即若工厂生产了1000批产品，则可以通过检验，以合格品出产厂的约有814批，而作为合格品出售的产品，每批中仍可能含有,i,(,i,=0,1,2,3,4),件次品。因此，就顾客而言，希望所买的产品中含次品少的概率要大，即概率,P,(,A,i,|,B,) (,i,=0,1,2,3,4),中最大的一个所对应,i,的越小越好，这就是下面讨论的另一个重要公式。,3、,贝叶斯公式(,Bayes,),定理1.2,设试验,E,的样本空间为,S,，,B,为,E,的事件。事件组,A,1,A,2,A,n,组成样本空间,S,的一个划分，且,P,(,A,k,)0,(,k,=1,2,n,),及,P,(B)0，,则,此式称为,Bayes,公式,。,Bayes,公式的使用,我们把事件,B,看作某一过程的结果，,而且每一原因对结果的影响程度已知，,如果已知事件,B,已经发生，要求此时是,由第,i,个原因引起的概率,，则用,Bayes,公式,例1.21,中，顾客买到的一批合格品中，含次品数为0的概率是多少？,类似可以计算顾客买到的一批合格品中，含次品数为1、2、3、4件的概率分别约为0.221、0.398、0.179、0.080。,例1.22,有甲乙两个袋子，甲袋中有2个白球，1个红球，乙袋中有2个红球，1个白球。这6个球手感上不可区别。今从甲袋中任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任取一球，问此球是红球的概率？,解,设,A,1,从甲袋放入乙袋的是白球；,A,2,从甲袋放入乙袋的是红球；,B,从乙袋中任取一球是红球。,甲,乙,思考,例1.22中，若已知取到一个红球，则从甲袋放入乙袋的是白球的概率是多少？,答,若一病人高烧到40，医生要确定他患有何种疾病，则必须考虑病人可能发生的疾病,B,1,B,2,B,n,。,这里假定一个病人不会同时得几种病，即,B,1,B,2,B,n,互不相容，医生可以凭以往的经验估计出发病率,P,(,B,i,),，,这通常称为,先验概率,。进一步要考虑的是一个人高烧到40时，得,B,i,这种病的可能性，即,P,(,B,i,|A,),的大小，它可由,Bayes,公式计算得到。这个概率表示在获得新的信息(即知病人高烧40)后，病人得,B,1,B,2,B,n,这些疾病的可能性的大小，这通常称为,后验概率,。有了后验概率，就为医生的诊断提供了重要依据。,若我们把,A,视为观察的“结果”，把,B,1,B,2,B,n,理解为“原因”，则,Bayes,公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。,例1.24,根据以往的临床记录，某种诊断是否患有癌症的检查有如下效果。若以,A,表示事件“试验反应为阳性”，以,C,表示事件“被检查者确实患有癌症”，则有,现对一大批人进行癌症普查，设被查的人确实患有癌症的概率是,P,(,C,)=0.005，,试求当一个被检查者其检验结果为阳性时，那么他确实患癌症的条件概率是多少？即求,P,(,C,|,A,)。,解,本例中,P,(,C,),=0.005,就是先验概率，而,P,(,C,|,A,)=0.087,为后验概率。可见比先验概率提高了近1,7.4,倍。虽然诊断的可靠性,P,(,A,|,C,),较高，但是确诊(即被检查诊断患有癌症者确实有癌症)的可能性很小，所以还必须提高诊断的准确率。,例1.25,数字通讯过程中，信源发射0、1两种状态信号，其中发0的概率为0.55，发1的概率为0.45。由于信道中存在干扰，在发0的时候，接收端分别以概率0.9、0.05和0.05接收为0、1和“不清”。在发1的时候，接收端分别以概率0.85、0.05和0.1接收为1、0和“不清”。现接收端接收到一个“1”的信号。问发端发的是0的概率是多少,?,),A,(,P,),A,B,(,P,),A,(,P,),A,B,(,P,),A,(,P,),A,B,(,P,+,0.067,解,设,A,-,发射端发射0，,B,-,接收端接收到一个“1”的信号。,0 (0.55),0 1 不,清,(0.9),(0.05),(0.05),1 (0.45),1 0 不,清,(0.85),(0.05),(0.1),P,(,A,|,B,)=,条件概率,条件概率 小 结,缩减样本空间,定义式,乘法公式,全,概率公式,贝叶斯,公式,例1.26,袋中有,a,只红球，,b,只白球,b,0，,现从此袋中取两次球，每次各取一只球，分有放回和无放回两种情况，记,A,表示事件,“第一次所取的球是红色的球”，,B,表示事件,“第二次所取的球是红色的球”。,求第一次取到是红球的概率；第二次取到红球的概率；在第一次取到红球的条件下，第二次仍取到红球的概率。,解,（1）有放回,（,2）无放回,1.5 事件的独立性,返回,设,A,、,B,是随机试验,E,的两个事件，若,P,(,A,)0，,则可定义,P,(,B,|,A,)，,即,A,发生条件下的,B,发生的概率。,一般地，,P,(,B,),P,(,B,|,A,)，,即事件,A,发生对事件,B,发生的概率是有影响的。,如例1.26（2）中,而且此时,在特殊情况下，一个事件的发生对另一个事件发生的概率没有影响，如例1.26(1)中,而且此时,例1.26,定义,（,P.24),设,A,、,B,是两,个,事件，若满足等式,P,(,AB,),P,(,A,),P,(,B,),则称事件,A,与事件,B,是,相互独立,的事件。,由定义可知，必然事件,S,和不可能事件,与,任何事件,都是相互独立的。,性质,以下四件事等价：,(1),事件,A,、,B,相互独立；,(3),事件,相互独立；,、,B,相互独立；,(4),事件,相互独立。,(2),事件,A,、,定理1 (,P.24),设,A,，,B,是两事件，且,P,(,A,)0，,则,A,，,B,相互独立的充分必要条件是,P,(,B,|,A,)=,P,(,B,),即,A,的发生与否与,B,的,发生概率,无关,。,独立性的概念可推广到多个事件,定义,(,p24),若三个事件,A,、,B,、,C,同时,满足下面四个等式：,则称事件,A,、,B,、,C,相互独立,。,（*）式成立，,则称,事件,A,、,B,、,C,两两相互独立。,注意：,（*）不能推出（*），（*）也不能推出（*）。两式必须同时成立，才能称,A,、,B,、,C,相互独立,。,由定义可知：,A,、,B,、,C,相互独立必有,A,、,B,、,C,两两独立，反之不真,。,一般地，设,A,1,，,A,2,，,A,n,是,n,个事件,，若下面个等式同时成立：,则称,n,个事件,A,1,，,A,2,，,A,n,相互独立,。,.,性质,1:,若事件,A,1,，,A,2,，,，,A,n,(n,1),相互独立，则其中任意,k(k,n),个事件也相互独立,。,性质,2:,若事件,A,1,，,A,2,，,，,A,n,(n,1),相互独立，则将,A,1,，,A,2,，,，,A,n,中任意,m(,1,m,n),个事件换成它们的,对立,事件，所得的,n,个事件仍相互独立,。,注：,通常事件的相互独立性是根据实际意义判断的。,注：互不相容事件，互逆事件，相互独立事件的异同,A,、,B,互不相容表示,A,、,B,不能同时发生,A,、,B,互逆表示,A,、,B,不能同时发生且不能同时不发生,A,、,B,相互独立表示两事件中一事件发生与否不影响另一事件的发生与否,事件独立性的应用举例,1、,加法公式的,简化,：若事件,A,1,，,A,2,，,A,n,相互独立, 则,2、,乘法公式的,简化,：若,事件,A,1,，,A,2,，,A,n,相互独立, 则,例1.27,甲、乙两射手独立地射击同一目标，他们击中目标的概率分别为0.9与0.8，求在一次射击中(每人各射一次)目标被击中的概率。,解,设,A,，,B,分别表示甲、乙射中目标的事件，,C,表示目标被击中的事件，则,P,(,A,)=0.9，,P,(,B,)=0.8,P,(,C,)=,P,(,A,B,)=,P,(,A,)+,P,(,B,)-,P,(,AB,),=0.9+0.8-0.90.8=0.98,另解,例1.28,设某种高射炮每次击中飞机的概率为0.2，问至少需要多少这种高炮同时独立发射(每门射一次)，才能使击中飞机的概率达到95%以上。,解,设所需高炮为,n,门，,A,表示击中飞机的事件，,A,i,(,i=,1,2,n,),表示第,i,门高炮击中飞机的事件，则由题意,即,故至少需14门高炮才能有95%以上把握击中飞机。,3、,在可靠性理论上的应用,如图，1、2、3、4、5表示继电器触点,假设每个触点闭合的概率为,p,且各继电器接点闭合与否相互独立，求,L,至,R,是通路的概率。,设,A,-L,至,R,为通路,，,A,i,-,第,i,个,继电器通,i,=1,2,5,由全,概率公式,第一章 小结,六个概念（随机试验、事件、概率、频率,条件概率,、独立性），,四个公式（加法公式、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式）,两个概型（古典概,型、,几何概型,）,第一章内容概要,一、事件及关系和运算,随机试验、样本空间、事件的定义,事件之间的关系（包含，相等，和，积，互斥，对立）,关系运算律,二、概率的定义和性质,统计定义、公理化定义（非负性，完备性，可列可加性）,性质（有限可加性、事件差、单调性、可补性、加法公式）,三、概率的计算,古典概型：,条件概率：,全概率公式：,贝叶斯公式：,四、独立性,事件的独立性：,P(AB)=P(A)P(B),补充题：,玻璃杯成箱出售，每箱,20,只，各箱次品数为,0,，,1,，,2,只的概率分别为,0.8,，,0.1,，,0.1,。一顾客欲买下一箱玻璃杯，售货员随机取出一箱，顾客开箱后取,4,只进行检查，若无次品则购买，否则退回，求：,(1).,顾客买下该箱玻璃杯的概率，,(2),顾客买下的一箱中，确实没有次品的概率。,