综合法和分析法

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,综合法和分析法,问题提出,1.,合情推理的主要作用和思维过程是什么？,作用：提出猜想，发现结论；,过程：从具体问题出发观察、分析、比较、联想归纳、类比提出猜想,.,2.,演绎推理的一般模式是,“,三段论,”,，三段论的基本含义如何？,大前提：已知的一般原理；,小前提：所研究的特殊情况；,结 论：根据一般原理，对特殊情况做出判断,.,合情推理所得结论的正确性是需要证明的，演绎推理的实施也需要具体的操作方法，因此，从理论上获取证明数学命题的基本方法，是我们需要进一步学习的内容,.,演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程,.,数学结论、证明思路的发现,主要靠合情推理,.,探究（一）：,综合法,例,1:,已知,a0,b0,求证,a(b,2,+c,2,)+b(c,2,+a,2,)4abc,因为,b,2,+c,2,2bc,a0,所以,a(b,2,+c,2,)2abc.,又因为,c,2,+b,2,2bc,b0,所以,b(c,2,+a,2,) 2abc.,因此,a(b,2,+c,2,)+b(c,2,+a,2,)4abc.,证明,:,上述从已知条件，基本不等式，不等式乘法和加法性质出发，推出所证结论成立的证明方法叫做,综合法,.,综合法又叫,“,顺推证法,”,或,“,由因导果法,”,，即利用已知条件和某些数学定义、公理、定理、性质、法则等，经过一系列的推理论证，最后推导出所证结论成立,.,用,P,表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q,表示所要证明的结论,.,则综合法用框图表示为,:,证明,:,变式：已知,x+y+z,=m.,求证,x,2,+y,2,+z,2,证明：,x+y+z,=m,，,(x+y+z),2,=x,2,+y,2,+z,2,+2(xy+yz+zx)=m,2,.,又,x,2,+y,2,2xy,y,2,+z,2,2yz,z,2,+x,2,2xz,2(x,2,+y,2,+z,2,)2(xy+yz+zx),即,x,2,+y,2,+z,2,xy+yz+zx,m,2,=x,2,+y,2,+z,2,+2(xy+yz+zx)3(x,2,+y,2,+z,2,).,x,2,+y,2,+z,2,综合法证不等式常用的不等式性质及重要的不等式：,(1)a,2,0(aR).,(2)(a-b),2,0(a,bR),其变形后,a,2,+b,2,2ab,(3),若,a,b(0,+),则 特别地,(4)a,2,+b,2,+c,2,ab+bc+ca(a,b,cR),(5)a+b+c,a,2,+b,2,+c,2,ab+bc+ca,这三个式子之间的关系，由,(a+b+c),2,=a,2,+b,2,+c,2,+2(ab+bc+ca),得出,.,三式中已知两式，第三式即可由设等式用另两式表示出来,.,例,2,：在中，三个内角、对应的边分别为,a,、,b,、,c,，且、成等差数列，,a,、,b,、,c,成等比数列，求证为等边三角形,为等边三角形,证明：,练习：在锐角三角形中，,A,、,B,、,C,为三角形内角，求证：,sinA+sinB+sinC,cosA+cosB+cosC,.,证明：,在锐角三角形,ABC,中，,A+B ,A -B,0 -BAsin( -B)=,cosB,即,sinA,cosB,同理可证：,sinB,cosC,sinC,cosA,由,+,得：,sinA+sinB+sinC,cosA+cosB+cosC,.,变式：,ABC,中，三边,a,、,b,、,c,成等比数列,.,求证：,证明：,a,、,b,、,c,成等比数列，,b,2,=ac.,综合法证明三角问题常用公式：,(1),三角函数的定义，诱导公式，和差倍公式以及恒等变形,.,(2),三角形内角和为,180,三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边,.,(3),三角形中的正、余弦定理以及面积公式,.,练习：求证,:,例,3,：求证：,(,其中,a0,b0).,:,要证,只需证,只需证,只需证,证明,分析,证明,:,因为,所以,所以,所以 成立,因为,成立,所以 成立,探究（二）：分析法,上述从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明的方法叫做,分析法,得到一个明显成立的结论,分析法又叫,“,逆推证法,”,或,“,执果索因法,”,.,即由未知探需知，逐步推向已知,.,若用,Q,表示所要证明的结论，则分析法的推理过程用流程框图可怎样表示？,例,4:,求证：,.,练习,:,当,x4,时，证明：,证明,:,欲证,(x4),，,只需证,即证,展开得,即,只需证,即证,x,2,-5x+4x,2,-5x+6,即,40,y0,求证：,证明,:x0,y0,要证,只需证：,只需证：,(x,2,+y,2,),3,(x,3,+y,3,),2,只需证：,x,6,+3x,4,y,2,+3x,2,y,4,+y,6,x,6,+2x,3,y,3,+y,6,只需证：,3x,4,y,2,+3x,2,y,4,2x,3,y,3,只需证：,3x,2,+3y,2,2xy,因为,3x,2,+3y,2,x,2,+y,2,2xy,所以,3x,2,+3y,2,2xy,综上原不等式成立,.,1.,“,分析综合法,”,解决数学问题：,“,分析综合法,”,又叫混合型分析法,是同时从已知条件与结论出发,寻找其之间的联系而沟通思路的方法,.,在解题过程中,分析法和综合法是统一的,不能把分析法和综合法孤立起来使用,分析和综合相辅相成,有时先分析后综合,有时先综合后分析,.,分析综合法的方法结构如图所示：,在平时的证明问题中，一般不是单纯地使用某一种证明方法，更多的是综合使用几种方法,.,2.,“,分析综合法,”,证明的步骤：,在解决问题时,我们经常把综合法和分析法综合起来使用,.,根据条件的结构特点去转化结论,得到中间结论,P;,根据结论的结构特点去转化条件,得到中间结论,Q.,若由,Q,可以推出,P,成立,就可证明结论成立,其证明模式可用框图表示如下：,其中,Q,1,代表结论,P,1,代表要证的条件,).,例,5,已知,sin,cos,2sin,，,sin,cos,sin2,，其中 ，,求证：,证明,:,因为,(sin+cos),2,-2sincos,1,，,由已知可得,4sin,2,-2sin,2,=1,要证,只需证,只需证,cos,2,-sin,2,= (cos,2,-sin,2,),只需证,1-2sin,2,= (1-2sin,2,),即证,sin,2,-2sin,2,=1.(,已证,),综上等式得证,.,练习：,ABC,的三个内角,A,，,B,，,C,成等差数列，其角,A,、,B,、,C,的对边分别为,a,、,b,、,c,求证,(a+b),-1,+(b+c),-1,=3(a+b+c),-1,.,证明：要证,(a+b),-1,+(b+c),-1,=3(a+b+c),-1,成立，,即证 成立，即,化简得,又需证,c(b+c)+(a+b)a,=(,a+b)(b+c,),即,c,2,+a,2,=b,2,+ac.,又,ABC,的三个内角,A,，,B,，,C,成等差数列，所以,B,60,.,由余弦定理,得,所以,a,+c,2,-b,ac,所以原命题成立,.,(,分析法,),因为,ABC,三个内角,A,，,B,，,C,成等差数列，所以,B,60,.,由余弦定理，得,b,2,=c,2,+a,2,-2accos60,，,即,c,2,+a,2,=ac+b,2,两边同时加,ab+bc,得,c(b+c)+a(a+b,)=(,a+b)(b+c,),两边除以,(,a+b)(b+c,),，得,所以 即,所以,(a+b),-1,+(b+c),-1,=3(a+b+c),-1,.,(,综合法,),【,互动探究,】,若把本例的结论当条件，试证明：,B= .,证明, (a+b),-1,+(b+c),-1,=3(a+b+c),-1,，,，, 即,c(b+c)+a(a+b,)=(,a+b)(b+c,),b,2,=a,2,+c,2,-ac,又,B(0,),B= .,小结作业,1.,在数学证明中，综合法和分析法是两种最常用的数学方法，若从已知入手能找到证明的途径，则用综合法，否则用分析法,.,2.,综合法的每步推理都是寻找必要条件，分析法的每步推理都是寻找充分条件，在解题表述中要注意语言的规范性和逻辑性,.,3.,综合法和分析法是两种互逆的思维模式，在证明某些较复杂的问题时，常采用分析综合法，用综合法拓展条件，用分析法转化结论，找出已知与结论的连结点,.,作业：,P89,练习：,1,，,2,，,3.,