概率论与数理统计课件第五章 二维随机变量及其分布

,单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第五章二维随机变量及其分布,第一节二维随机变量及其分布函数,第二节二维离散型随机变量,第三节二维连续型随机变量,第四节边缘分布,第五节随机变量的独立性,第一节二维随机变量及其分布函数,一、二维随机变量,如果由两个变量所组成的有序数组（,），它的取值是随着试验结果而确定的，则称（,）为二维随机变量，称（,）的取值规律为二维分布。,二维随机变量的分布函数,二、二维随机变量的分布函数,设,(,),是二维随机变量，(,),R,2,则称,F(x,y)=P,x,y,为(,),的,分布函数,，或,与,的,联合分布函数,。,分布函数的性质,三、分布函数的性质,（1）对于任意,x,y,R，,有0,F(x,y)1。,（2）F(x,y),关于,x（,或,y）,单调不减。,（3）,F(x,y),关于,x（,或,y）,右连续。,（4）,F(-,-)0，F(+,+)1,F(-,y)0，F(x,-)0,（5）对于任意,x,1,x,2,，y,1,y,2,有,P(x,1,x,2,y,1,y,2,),=F(,x,2,y,2,)- F(,x,2,y,1,)- F(,x,1,y,2,)+ F(,x,1,y,1,),例题1,例题1,设,(,),的联合分布函数为,F(x,y)=A(B+,arctanx,)(C+,arctany,)，,其中,x,y,R。,求常数,A，B，C。,解：,back,第二节二维离散型随机变量,二维离散型随机变量,如果二维随机变量(,)所有可能取的数组是有限或可列的，并且以确定的概率取各个不同的数组，则称(,)为二元离散型随机变量。,(,)分布律,(,)的联合分布律,y,1,y,j,x,1,p,11,p,1j,x,i,p,i1,p,ij,设,(,),的所有可能取值为(,x,i,y,j,)，,其中,i,j=1,2,称,为(,),的,联合概率分布,，也简称,概率分布,。,（1）,0,P,ij,1,（2）,i,j,P,ij,=1,例题2,例题2,一口袋中有三个球，它们依次标有数字1,2,2。从这袋中任取一球后，不放回袋中，再从袋中任取一球。设每次取球时，袋中各球被取到的可能性相同。以,分别记第一次和第二次取得的球上标有的数字。,求（1）(,),的分布律,（2）,P,(,),解: (1),back,1/3,1/3,2,1/3,0,1,2,1,P,(,=1,=1)=,P,(,=1,=2)=,P(=1)P(=1|=1)=0,P(=1)P(=2|=1)=1/3,。,例题2,一口袋中有三个球，它们依次标有数字1,2,2。从这袋中任取一球后，不放回袋中，再从袋中任取一球。设每次取球时，袋中各球被取到的可能性相同。以,分别记第一次和第二次取得的球上标有的数字。,求（1）(,),的分布律,（2）,P,(,),解: (2),back,1/3,1/3,2,1/3,0,1,2,1,P,(,),=P,(,=1,=1)+P,(,=2,=1)+ P,(,=2,=2) =2/3,第三节二维连续型随机变量,一、二维连续型随机变量,设(,)的分布函数为,F(x ,y),若存在非负可积函数,f(x,y)，,使得对于任意实数,x,y,有,则称(,)为,二维连续型随机变量,，f(x,y),为(,)的,联合概率密度函数,（,联合密度函数,),。,联合密度函数性质,二、联合密度函数性质,例题3,例题3,1.设(,)的联合概率密度为,求（1）常数,C,（2）P,(,),解：（1）,例题3续,C=8,例题3,1.设(,)的联合概率密度为,求（1）常数,C,（2）P,(,),解：（2）,例题3续,例题3续,2.设(,，,),的联合概率密度为,求（1）常数,k,解,（1）,y = x,1,0,x,y,(2),x+y=,1,y = x,1,0,x,y,0.5,x+y=,1,y = x,1,0,x,y,y = x,1,0,x,y,0.5,（3）F(x,y)=P(,x,y),F,(,x,y,) =,0,x ,0,或,y, 0,y,4, 0,x,1,0,y,x,，,或,x,1,0,y,1,，,2,x,2,y,2,y,4,0,x,1,x,y,1,，,2,x,2,x,4, 0,x,0，-1,2,),（3）,(,),在平面上的落点到,y,轴距离小于0.3的概率。,解,：（1）,back,例题4,(,),U(G)，G=0yx，0x 1,求（1）,f( x, y ),（2）P(,2,),（3）,(,),在平面上的落点到,y,轴距离小于0.3的概率。,解,：（2）,back,y=x,1,0,x,y,1,G,y = x,2,例题4,(,),U(G)，G=0yx，0x 1,求（1）,f( x, y ),（2）P(,2,),（3）,(,),在平面上的落点到,y,轴距离小于0.3的概率。,解,：（3）,back,y = x,1,0,x,y,1,0.3,第四节边缘分布,一、边缘分布函数,设,F(x,y),为(,),的联合分布函数，,关于,的边缘分布函数,P,(,x)=P,(,x,+)=F,(x),其中,x,R,关于,的边缘分布函数,P,(,y)=P,(,+,y)=F,(y),其中,y,R,例题5,例题5,设(,),的联合分布函数为,求,F,(x),和,F,(y)。,解：,边缘分布律,二、（离散型）边缘分布律,设(,),的联合分布律为,P,(,=,x,i,=,y,j,)=,P,ij,（i,j=1,2,）,关于,的边缘分布律,P,(,=,x,i,)= P,(,=,x,i,+)=,j,P,ij,=P,i.,关于,的边缘分布律,P,(,=,y,j,)= P,(,+,=,y,j,)=,i,P,ij,=P,.j,例题6,例题6,箱子装有10件产品，其中2件为次品。每次从中任取一件产品（不放回），共取2次。,求（1）(,),的联合分布律,（2）关于,的边缘分布律,解：,（1）,1,P.,j,1,0,P,i,.,1,0, ,例题6,箱子装有10件产品，其中2件为次品。每次从中任取一件产品（不放回），共取2次。,求（1）(,),的联合分布律,（2）关于,的边缘分布律,解: (2),边缘密度函数,0,1,P,8/10,2/10,三、（连续型）边缘密度函数,设(,)的联合概率密度为,f(x,y)，,关于,的边缘分布函数,关于,的边缘密度函数,例题7,例题7,1.(,),U(G),，,G0x1,|y|x,求（1）,f(x,y),（2）,f,(x),（3）,f,(y),解：（1）,back,例题7,1.(,),U(G),，,G0x1,|y|x,求（1）,f(x,y),（2）,f,(x),（3）,f,(y),解：（2）,back,例题7,1.(,),U(G),，,G0x1,|y|x,求（1）,f(x,y),（2）,f,(x),（3）,f,(y),解：（3）,back,例题7,2.,(,),N,(,1,2,1,2,2,2,;,)，,则,（1）,f,(x),N,(,1,1,2,),（2）,f,(y）,N,(,2,2,2,),解：略,back,一、随机变量的独立性（二维）,r.v.，,如果对于任意的,x,和,y， P,(,x,y)=P,(,x）P（y)，,即，,F(x,y)=F,(x)F,(y)，,则称,和,独立。,离散型：,和,独立,P,ij,=P,i,P,j,(i,j=1,),连续型：,和,独立,f(x,y)=,f,(x)f,(y),例题8,第五节随机变量的独立性,例题8,1.（,）,的联合分布律,证明,与,独立。,证明：,-1,0,2,0,2/20,1/20,2/20,1,2/20,1/20,2/20,2,4/20,2/20,4/20,0,1,2,P,1/4,1/4,2/4,-1,0,2,P,2/5,1/5,2/5,因为,P,ij,=P,i,.*P.,j，,所以,与,独立,例题8续,2.（,）,的联合分布函数为,证明,与,独立。,证明：,例题8续,所以,与,独立,3.（,）,的联合概率密度函数为,试判断,与,是否独立。,解：,所以,与,独立,二、随机变量的独立性（,n,维）,1.(,1,n,),的联合分布函数,F(x,1,x,n,)=P,(,1, x,1,n,x,n,)。,2.,i,的边缘分布函数,F,i,(,x,i,)=P,(,i,x,i,)。,3.若,F(x,1,x,n,) F,1,(x,1,) F,n,(,x,n,)，,则,1,n,相互独立。若,1,n,相互独立，,P(,1,= x,1,n,=,x,n,)= P,(,1,= x,1,) P(,n,=,x,n,),f,(x,1,x,n,) f,1,(x,1,) f,n,(,x,n,)。,总结,总结续,back,