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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,高三数学,第二轮专题复习,立体几何向量法求角,有关角的几个概念或范围,范,围,平面角,空间中的角,b,a,O,从一点,引出的两,条射线组,成的图形,两条,直,线的夹角,异面,直线的夹角,a,b,b B,a,a,b,b,a,、,b,交于,O.AOB,是,异面直线,a,、,b,所,成的角。,a A,O,a,l,l,直线和平,面所成的角,l,是,l,在平面,a,内的射影,l,与,l,的夹角是,l,与,a,所成的角。,二面角,O,A,B,l,a,OA,l, OB,l,OA,a,OB,AOB,是二面,角,a,l,的,平面角。,a,b,A,B,C,D,设,异面,直线,a,、,b,的夹角为,cos,=, ,AB ,CD,cos,| |,=,AB,CD,AB,| |,CD,| |,=, ,AB ,CD,或,=, ,AB ,CD,利用两条直线的方向向量的夹角的,余弦,的,绝对值,为两直线的夹角的余弦而得。,1,、,求两异面直线所成的角,2、,求直线和,平面所,成的角,C,B,n,设直线,BA,与平面,的夹角为,，,n,为平面,的,法向量,A,g,1,n,与向量,BA,的夹角为锐角,g,1,当,=,C,B,A,n,g,2,n,与向量,BA,的夹角为钝角,g,2,当,=,b,a,l,q,n,1,n,2,g,3.,法向量,的夹角与二面角的平面角的关系,设, , ,=,g,n,1,n,2,设,a,l,b,的平面,角为,q,q,=,g,b,a,l,q,n,1,n,2,g,g,两个平面的,法向量,在二面角内,同时,指向,或,背离,。,b,a,l,q,n,1,n,2,g,b,a,l,q,n,1,n,2,g,设, , ,=,g,n,1,n,2,设,a,l,b,的平面,角为,q,q,=,g,两个平面的,法向量,在二面角内,一个,指向,另,一个,背离,。,1,G,K,F,E,A,B,1,C,1,D,1,C,D,B,A,z,y,x,例1：棱长为1的正方形,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中,E,F,G,K,分别是,棱,AD,AA,1,A,1,B,1, D,1,D,的中点，,求,A,1,D,与,CK,的夹角；,DD,1,与平面,EFG,所成的角；,（用三角函数表示）,二面角,GEFD,1,的大小,（用三角函数表示）,解：以,D,为坐标原点,DA,DC,DD,1,为单位正,交基底建立直角坐标系。,G,K,F,E,A,1,B,1,C,1,D,1,C,D,B,A,z,y,x,A,1,(1,0,1),D,(0,0,0),C(0,1,0),DA,1,=(1,0,1), , ,CK,cos,DA,1,=,| |,CK,| |,DA,1,CK,DA,1,DA,1,与,CK,的夹角为,DD,1,与平面,EFG,所成的角；,（用三角函数表示）,z,y,x,G,K,F,E,A,1,B,1,C,1,D,1,C,D,B,A,设面,EGF,的,法向量,=(x,y,z,),n,n,EG,=0,n,EF,=0,令,x,=,1,得,=(1, 1,1),n,z,y,x,G,K,F,E,A,1,B,1,C,1,D,1,C,D,B,A,DD,1,=(0,0,1), , ,cos,DD,1,n,DD,1,与平面,EFG,所成的角为,二面角,GEFD,1,的大小,（用三角函数表示）,z,y,x,G,K,F,E,A,1,B,1,C,1,D,1,C,D,B,A,由知面,GEF,的法向量,=(1, 1,1),n,而面,DAD,1,A,1,法向量,DC,=(0, 1,0), , ,cos,DC,n,二面角,GEFD,1,为,D,B,C,A,s,z,x,y,解:建立如图所示的,直角坐标系,C(,1,1,0,),S(,0,0,1,),AD,且,AD,是面,SBA,的,法向量,设平面,SCD,的,法向量,n =,(,x,y,z,),例,2.,如图,在底面是直角梯形的四棱锥,SABCD,中, ,ABC=90,SA,面,ABCD,SA= AB=BC=1,求面,SCD,与面,SBA,所成的二面角,的正切值。,DC,SD,n,DC,=,0,n,SD,=,0,D,B,C,A,s,z,x,y,即,令,x,=,1,则,n,cos,a,=,n,AD,|,n,|,|,AD,|,从而,tan,a,例,3,在三棱锥,DABC,中,底面,ABC,是等腰直角三角形,侧面,DBC,是等边三角形,平面,DBC,平面,ABC,AB=AC=4,E,F,分别为,BD,AD,中点。,求二面角,FCED,的大小；,直线,CE,与平面,ABC,所成的角；,O,解：找,BC,的中点,O,连,AO,DO,ABC,是等腰三角形 ,DBC,是等边三角形,AOBC,于,O,DOBC,于,O,DO,面,ABC,故可以以,O,为坐标原点,OA、OC、OD,分别为,x,y,z,轴建立如图所示的直角坐标系,z,y,x,B,F,E,D,A,C,A,B,C,O,x,y,x,O,z,y,B,F,E,D,A,C,A,B,C,O,x,y,设面,EFC,的,法向量,=(x,y,z,),n,n,CE,=0,n,EF,=0,由,令,x,=,1,因,OA,面,BCD,故,=(1, 0, 0),为面,BCD,的一个法向量,m,即二面角,FCED,的大小为,直线,CE,与平面,ABC,所成的角；,x,O,z,y,B,F,E,D,A,C,m,=(0, 0,1),平面,ABC,的法向量为,直线,CE,与平面,ABC,所成的角,30,
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