第9章能量方法

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,材料力学电子教案,C,机械工业出版社,第,9,章,能量方法,9.1,应变能的计算,9.2,应变能的一般表达式,9.3,互等定理,9.4,卡氏第二定理,9.5,虚功原理,9.6,单位载荷法 莫尔积分,9.7,计算莫尔积分的图乘法,9.8,四个常用的强度理论,9.9,力法解超静定问题,概 述,利用应变能的概念来计算结构的变形、位移和内力的方法称为,能量法,。,二、能量法,结构在外力作用下变形时，外力在其相应的位移上作功，结构由于变形而储存了能量。,一、应变能,应变能不仅与外力的大小有关，还与结构的刚度有关。应变能包含了外力和变形两方面的信息。,9.1,应变能的计算,9.1.1,基本变形时的应变能,外力所作的功即为阴影三角形的面积，即,1. 拉（压）应变能,受轴向拉力作用的等直杆,线弹性范围内，拉力与变形量之间为一斜直线关系,若轴力沿轴线变化,，在,x,截面处的轴力为,F,N,(,x,),长为d,x,的微段的应变能为,整个杆件的应变能为,9.1 应变能的计算,杆件的应变能,由,扭转力偶所作的功,2. 扭转应变能,线弹性范围内,9.1 应变能的计算,圆轴应变能,扭矩沿轴线变化，微段的应变能,整个圆轴的应变能为,由,3. 弯曲应变能,两端截面的相对转角,9.1 应变能的计算,弯曲力偶在变形过程中所作的功,弯曲应变能,微段的弯曲应变能,全梁的弯曲应变能,9.1.2,同一,基本变形中应变能不可叠加,F,1,F,2,二力共同作用下的应变能,杆件中的应变能是内力的二次函数，因而应变能不具有可叠加性。,证明：,9.1 应变能的计算,由于 通常不为零,即在同一基本变形中应变能不可叠加。,在弯矩,M,作用下，长度为d,x,的梁段两端面的相对转角,则,9.1 应变能的计算,由此可见，同一基本变形中的应变能不可叠加，原因在于第一组载荷产生的内力会在第二组载荷产生的位移上交叉作功，反之亦然。,9.1.3,不同,基本变形的应变能可以叠加,组合变形的微段,由于不同基本变形的内力和位移之间不会交叉作功，故应变能对组合变形可用叠加原理，即,9.1 应变能的计算,9.2,应变能的一般表达式,2. 广义位移,1. 广义力,载荷包括集中力、分布力和集中力偶，称为,广义力。,在广义力作用处沿广义力方向的相应位移称为,广义位移,。,3. 应变能的一般表达式,任一广义力,F,i,与其对应的广义位移,i,始终保持线性关系，则该力所作的功为,F,i,i,/2。,9.3,互等定理,一、功互等定理,在载荷,F,1,和,F,2,共同作用下，1、2点处的位移,先加,F,1,，再加,F,2,先加,F,2,，再加,F,1,应变能与加载次序无关,F,1,在,F,2,单独作用下引起的1点的位移,12,上所作的功，等于,F,2,在,F,1,单独作用下引起的2点处的位移,21,上所作的功，这就是,功互等定理,。,9.3 互等定理,二、位移互等定理,当,F,1,=,F,2,时，有,9.3 互等定理,12,= ,21,当,F,1,、,F,2,数值相等时，,F,2,在1点引起的沿,F,1,方向的位移,12,，等于,F,1,在2点引起的沿,F,2,方向的位移,21,，此为,位移互等定理,。,9.3 互等定理,例9-1 所示外伸梁，抗弯刚度,EI,为常量。已知在跨度中点,C,处作用集中力,F,时，截面,B,的转角为 ，试求在截面,D,作用力偶,M,D,时，跨度中点,C,的挠度。,解,图a为第一载荷系统，图b为第二载荷系统,由功互等定理,于是有,9.4,卡氏第二定理,线弹性结构,应变能,第,i,个外力增加一微量d,F,i,，结构应变能为,1. 先施加,F,1,，,F,2,，,F,n,，后加d,F,i,应变能,(1) 在施加d,F,i,时,其作用点沿d,F,i,方向的位移为d,i,，结构中的应变能为d,F,i,d,i,/2。,2. 先施加d,F,i,，后加,F,1,，,F,2,，,F,n,9.4 卡氏第二定理,(2)再施加,F,1,，,F,2,，,F,n,时的应变能,V,。,(3)同时,在,F,i,的方向(即d,F,i,的方向)上又发生了位移,i,，“等候”在此的常力d,F,i,又完成了功d,F,i,i,。,略去二阶微量，得,根据弹性结构的应变能与加力次序无关的性质,9.4 卡氏第二定理,线弹性结构的应变能对某一载荷,Fi,的偏导数，等于在该载荷处沿载荷方向的位移，这就是,卡氏第二定理,。,交换上式中的积分与微分次序, 即先对,F,i,求微分，再对,x,积分，得,例：对于横力弯曲,由卡氏第二定理，得,9.4 卡氏第二定理,9.4 卡氏第二定理,例9-2 图9-9a所示悬臂梁的抗弯刚度,EI,为常数。试用卡氏第二定理计算自由端,B,截面的挠度和转角。,解(1) 求截面,B,的挠度,梁内任意横截面,x,处的弯矩及其对载荷,F,的偏导数为,9.4 卡氏第二定理,(2) 求截面,B,的转角,在截面,B,处“虚拟”地施加一个力偶,M,e,并令,M,e,=0，得,结果为负，说明,B,的转向与施加的“虚拟”力偶,M,e,的转向相反。,9.4 卡氏第二定理,例9-3 图9-10a所示简支刚架的抗弯刚度,EI,为常量，不计轴力和剪力的影响，求截面,B,的转角和截面,C,的水平位移。,解(1) 求截面,B,的转角,各段弯矩方程及其对,M,B,的偏导数,AB,段,CB,段,截面,B,的转角,9.4 卡氏第二定理,(2) 求截面,C,的水平位移,在,C,处虚加水平力,F,C,AB,段,CB,段,截面,C,的水平位移,各段的弯矩方程及其对,F,C,的偏导数,9.5,虚功原,理,一、虚位移,2. 在发生虚位移的过程中，各微段不仅发生刚体虚位移，而且也会产生虚变形。,由于其他原因(如温度变化或其他外力)使结构产生一新的位移（虚线），称这种位移为,虚位移,。,受任意载荷作用的简支梁,1. 虚位移是满足位移边界条件和变形连续条件的任意微小位移。,二、虚功原理,这称为变形体的,虚功原理,。,外力在刚体虚位移上所作的外力虚功,W,e,，恒等于内力在虚变形上所作的内力虚功,W,i,，即,9.5 虚功原理,现以梁弯曲问题为例，对上述原理加以证明。,假设其平衡状态为平直状态，在此基础上使梁发生虚位移,y,*(,x,),证明：,9.5 虚功原理,位移边界条件,变形连续条件,外力所作的虚功,9.5 虚功原理,则外力功,静力边界条件,满足平衡微分方程,9.5 虚功原理,式中 为在,F,i,的作用点沿,F,i,方向的虚位移。,虚功原理的一般表达式为,在杆件发生组合变形时，任意微段的虚变形,9.6,单位载荷法 莫尔积分,一、单位载荷法,2. 虚拟状态,求在外载荷作用下,K,点沿,n,-,n,方向的位移,1. 实际状态,在,K,点沿,n,-,n,方向施加一个单位载荷,F,K,=1,虚拟状态单位载荷引起的微内力,实际状态微段的相应变形,式中， 为结构在实际载荷作用下的待求广义位移。,根据功互等定理和变形体的虚功原理，虚拟状态中的外力在实际位移上所作的虚功，等于虚拟状态中的内力在实际状态中的变形上所作虚功之和。,这种求结构位移的方法称为,单位载荷法,。,9.6 单位载荷法 莫尔积分,线弹性结构，各种基本变形情况下微段的变形为,二、莫尔积分,则,9.6 单位载荷法 莫尔积分,上式为计算线弹性杆件或杆系结构位移的一般公式，又称为,莫尔积分,。,为实际载荷作用于结构时,x,截面上的轴力、扭矩和弯矩。,为单位载荷单独作用于同一结构时,x,截面上的轴力、扭矩和弯矩。,1. 平面弯曲变形,三、各种基本变形的莫尔积分式,9.6 单位载荷法 莫尔积分,2. 轴向拉压变形,3. 扭转变形,9.6 单位载荷法 莫尔积分,例9-4 图9-15a所示刚架，若两杆抗弯及抗拉(压)刚度分别为,EI,和,EA,，且为常数。试求,A,点的水平位移 。,解 在,A,点加一水平单位力,各段的弯矩方程和轴力方程,BC,段,AB,段,代入莫尔积分式,9.6 单位载荷法 莫尔积分,当 时，上式变为,第一项是由于弯曲变形引起的,A,点的位移，第二项是由于轴向变形引起的,A,点的位移。,可见由于轴向变形引起的位移大约是弯曲变形引起位移的0.3%。,若两杆均为直径为,d,的圆截面杆，且设,a,=4,d,，则,I,/,A,=,d,2/16，,A,点的水平位移为,9.6 单位载荷法 莫尔积分,例9-5 图9-16a所示外伸梁，其抗弯刚度为,EI,，试用单位载荷法求截面,C,的挠度 及截面,B,的转角 。,解,欲求截面,B,的转角，在,B,点加一单位力偶,BC,段,AB,段,欲求截面,C,的挠度，在,C,点加一向下的单位力,9.6 单位载荷法 莫尔积分,由莫尔积分，得,正号表明,C,点的挠度与所设单位力方向相同，即向下。,负号表明截面,B,的转角与所设单位力偶转向相反。,9.6 单位载荷法 莫尔积分,例9-6 图9-17a 所示桁架，设各杆的,EA,都相同，试求节点,C,的竖向位移 。,解为求节点,C,的竖向位移，在,C,点沿竖直方向加单位力,杆号,l,i,1,l,F,1,Fl,2,3,l,-,F,-,1,Fl,4,5,l,-,F,-,1,Fl,9.6 单位载荷法 莫尔积分,例9-7 图9-18a所示刚架，各杆刚度均为,EI,，试用单位载荷法求,C,、,D,之间的相对位移 和相对转角 。,解,求相对转角，在,C,、,D,两点加一对转向相反的单位力偶,AB,段,CA,段,求相对线位移，沿,CD,连线方向加一对相背的单位力,DB,段,9.6 单位载荷法 莫尔积分,由莫尔积分，得,正号表示,C,、,D,两点的相对位移与所加单位力指向相同。,负号表示,C,、,D,两截面之间的相对转角与所加单位力偶相对转向相反。,9.6 单位载荷法 莫尔积分,例9-8 图9-19a为一水平平面内的直角折杆，在,C,处承受竖直向下的力,F,作用。设两杆的抗弯刚度和抗扭刚度分别为,EI,和,GI,p。求,C,点的竖向位移 。,解 欲求,C,点的竖向位移，在,C,点加竖向单位力,BA,段,CB,段,由莫尔积分，得,9.6 单位载荷法 莫尔积分,应用莫尔积分式计算位移时注意,(1) 式中左端的“1”是与相应的广义单位载荷。当为线位移时，“1”应为单位集中力；当为角位移时，“1”应为单位力偶。,(2) 若求结构上任意两点之间的相对线位移，则需要沿该两点的连线施加一对相向(或相背)的单位集中力；若求结构上任意两截面之间的相对角位移，则需要在该两截面施加一对转向相反的单位力偶。,9.6 单位载荷法 莫尔积分,(3) 在各积分区间内， 与 、 与 、 与 必须选用同一,x,坐标。,(4) 若所得的结果为正值，则表示所求位移与所加单位载荷同向；反之，则表示所求位移与所加单位载荷反向。,9.6 单位载荷法 莫尔积分,(5) 用单位载荷法求,K,点位移的步骤:,在,K,点沿位移 的方向虚设相应的单位载荷；,写出结构在实际载荷作用下的内力,写出结构在单位载荷单独作用下的内力,代入莫尔积分表达式即可计算出位移 。,9.7,计算,莫尔积分的图乘法,图一般是曲线图形,计算梁或刚架的位移时，则莫尔积分可以写成,图为直线或折线图形,莫尔积分可以用图形互乘的代数运算来代替。,一、图乘法,设在杆长,l,段内,M,图是曲线,；,图是斜直线,代入积分,(1)上式第一项的积分代表,l,段内,M,图的面积,(2)第二项的积分代表此,M,图对于纵坐标轴的面积矩，其值为 ，此处,x,C,是,M,图形心,C,的横坐标。,9.7 计算莫尔积分的图乘法,是,M,图形心处对应的 值,积分式,因此对于等截面杆,以上对莫尔积分的简化运算方法称为,图乘法,。,9.7 计算莫尔积分的图乘法,二、常见图形的面积和形心位置,9.7 计算莫尔积分的图乘法,9.7 计算莫尔积分的图乘法,例9-9 图所示简支梁受均布载荷作用，梁的,EI,是常量。试求跨中,C,点的挠度 。,解在,C,点加铅垂单位力,单位力作用下的 图,载荷作用下的,M,图,M,图的面积为,形心处所对应的 图中的纵坐标值为,跨中,C,处的挠度为,9.7 计算莫尔积分的图乘法,例9-10 图9-23a所示刚架，抗弯刚度为,EI,，用图乘法求,C,截面的铅垂位移 、水平位移 和转角 。,解在,C,点分别施加铅垂、水平单位力和单位力偶，并分别画出载荷弯矩图及单位载荷弯矩图,9.7 计算莫尔积分的图乘法,载荷弯矩图分别与单位载荷弯矩图互乘,C,截面铅垂位移,9.7 计算莫尔积分的图乘法,C,截面水平位移,9.7 计算莫尔积分的图乘法,C,截面转角,9.7 计算莫尔积分的图乘法,应用图乘法须注意：,(1),画 和 图时，正负号规定要一致。,(2),必须取自直线图形。如果,M,图和 图都是直线图形，则 的数值可取自任一个图形。,(3),当,M,为正弯矩时， 为正，反之为负。,(4),图乘时应注意分段，每一段的 须为常数，且 图必须为一条直线，否则必须分段计算。,(5),当,M,图较复杂时，可考虑用叠加法作弯矩图，以易于确定,M,图的形心位置 和面积 。,9.8,力法解超静定问题,二、相当系统,一、静定基,将支座,B,作为多余约束去掉，以简支梁作为静定基本系统，简称为,静定基,。,在原有载荷和多余约束力共同作用下的静定基称为原结构的,相当系统,。,9.8.1,一次超静定问题,沿,X,1,方向的位移 等于零,三、一次超静定问题的力法方程,1. 确定,X,1,的变形条件,以 表示未知力,X,1,单独作用于静定基上时，在,X,1,作用点沿,X,1,方向的位移,9.8 力法解超静定问题,以 表示载荷,q,单独作用于静定基上时，在,X,1,作用点沿,X,1,方向的位移,根据叠加原理,若以 表示,X,1,为单位力，即 时在,B,点沿,X,1,方向的位移,，,则有,2. 力法方程,9.8 力法解超静定问题,由于是以力作为基本未知量的，这种方法称为,力法,，上式称为一次超静定问题的,力法方程,。,列出载荷以及多余约束力单独作用于静定基时,AB,段的弯矩方程,3. 求解,9.8 力法解超静定问题,由莫尔积分得,9.8 力法解超静定问题,代入力法方程得,其弯矩图如图(f)所示。,正号表明,X,1,的实际方向与所设方向一致，即向上。,9.8 力法解超静定问题,例9-11 图9-25a所示刚架，各杆,EI,相同，且为常量。试绘制,M,图。,解建立相当系统,列弯矩方程,CB,段,BA,段,由莫尔积分，得,由力法方程，得,画出弯矩图，如图e所示。,建立相当系统,三次超静定刚架,位移条件,9.8.2,力法典型方程,9.8 力法解超静定问题,杆件变形,根据叠加原理,上式称为,力法典型方程,。,9.8 力法解超静定问题,式中的9个系数 (,i,，,j,=1,2,3)和3个常数项 (,i,=1,2,3)都是静定基在单位载荷和原有载荷作用下的位移。,对于梁或刚架结构，只考虑弯矩的影响,由 的表达式可知,9.8 力法解超静定问题,例9-12 图9-27a所示刚架各杆的,EI,相同，且为常量。试求解此超静定刚架，并画刚架的弯矩图。,解建立相当系统,将原有载荷及各单位约束力分别作用于静定基上,9.8 力法解超静定问题,用莫尔积分计算力法典型方程中的各系数及常数项如下,9.8 力法解超静定问题,9.8 力法解超静定问题,9.8 力法解超静定问题,代入力法典型方程，得,解得,根据,(逆钟向),可绘制出刚架的弯矩图,如图g所示。,9.9,对称性与反对称性的应用,图示刚架沿对称轴切开，便得到一个对称的静定基,作用未知力及外载荷,F,建立相当系统,此时未知力有三对：一对弯矩,X,1,，一对轴力,X,2,和一对剪力,X,3,。,其中,X,1和,X,2是对称的，,X,3是反对称的。,绘出静定基在各单位未知力作用下的弯矩图,图和 图是对称的， 图是反对称的。,系数,力法典型方程简化为,9.9 对称性与反对称性的应用,典型方程分为两组，一组只包含对称的未知力,X,1,和,X,2,，另一组只包含反对称的未知力,X,3,。,一、载荷对称,M,F,对称。,反对称未知力,9.9 对称性与反对称性的应用,弯矩图对称。,对称的未知力,X,1,和,X,2,不为零。,结论： 当对称结构上作用对称载荷时，在对称截面上，反对称的内力(剪力)为零；,二、载荷反对称,M,F,如图。,对称未知力,9.9 对称性与反对称性的应用,弯矩图反对称。,反对称的未知力,X,3,不为零。,结论： 当对称结构上作用反对称载荷时，在对称截面上，对称的内力(轴力和弯矩)均为零。,9.9 对称性与反对称性的应用,例9-13 利用对称性求解图9-32 a所示刚架，并画弯矩图。各杆抗弯刚度均为,EI,。,解选择对称截面上的内力作为未知力。,将外载荷及各单位未知力分别作用于静定基上,建立相当系统,9.9 对称性与反对称性的应用,由莫尔积分求各系数及常数项如下,9.9 对称性与反对称性的应用,代入力法典型方程，简化后得,解出,根据,可画出刚架的弯矩图，如图f所示。,9.9 对称性与反对称性的应用,例9-14 求解图9-33a所示刚架，并画弯矩图。设各杆,EI,相等且为常量。,解选择对称截面上的内力作为未知力,将原载荷及各单位未知力分别作用于静定基上,建立相当系统,9.9 对称性与反对称性的应用,利用莫尔积分，力法典型方程中各系数及常数项分别为,代入力法方程求解未知力,根据叠加法 画出刚架的弯矩图。,