函数行列式

*,16.2.,函数行列式的性质 函数相关,数学分析,(2),16.2 函数行列式的性质 函数相关,一、,函数行列式,二、函数行列式的性质,三、函数相关,1,一、函数行列式,1.,定义,给定,n,个,n,元,函数构成的函数组,设它们对每个自变量都存在着偏导数,2,行列式,称为,雅可比行列式,，或,函数行列式,，表为,或,3,例,1,平面上点的直角坐标 与极坐标 之,间的坐标变换为,例,2,柱面坐标变换,4,例,3,球面坐标变换,5,性质,1,定义于某一,n,维区域,D,中，且有关于一切变元的连续偏导数,.,又设,定义于某一,n,维区域,中，且有关于一切变元的连续偏导数,.,二、函数行列式的性质,函数行列式不仅在隐函数存在定理中起着重要作用，而且在其他不少分析问题和应用中，也是经常出现的，它有以下主要性质：,设函数,6,当点 在 中变动时,对应的点,不越出区域,D,.,于是就可以通过中间变量 把 看为 的复合函数,.,7,(,链式法则,),8,这就是所要证明的结论,.,9,性质,2,定义于某一,n,维区域,D,中，且有关于一切变元的连续偏导数,.,并且 它们的反函数,那么,设函数,存在，具有对各变元的连续偏导数,.,这个性质可以看做反函数导数公式 的拓广,.,10,例,4,平面上点的直角坐标 与极坐标 之,间的坐标变换为,由于,因此除原点,(,r,= 0),外,存在逆变换，并且,11,考察函数组,它们在,n,维空间的某一个区域,D,中有定义,.,如果其中有一个函数的数值,例如,可以由其余函数的数值 单值地确定时,函数 在区域,D,中和其余的函数有关,就称,在,D,中函数相关,.,或称函数组,三、函数相关,12,更确切地说,对,n,维区域,D,中任何一点,由函数组,(,个函数,),相应地得到 维空间内的一点,于是对区域,D,相应得到 维空间内的一个点集,.,如果存在一个函数,它的定义域是 维空间里的某一点集,E,并且,E,包含了,使得,也就是在区域,D,上成立着,则称函数组 在,D,上函数相关,.,13,如果在区域,D,内以及在,D,的任何部分区域内都不存在这样的函数,为了能用微分学来讨论函数的相关性,我们总假设函数,在 维区域,E,内具有对一切变元的连续偏导数,.,也就是说,只有在,D,内以及在,D,的任何部分区域内,函数组皆非函数相关时才称为在,D,上函数独立,.,则称函数组,使得 在所考虑的区域内为恒等式,在,D,上函数独立,.,14,例,5,函数组,在整个四维空间上函数相关,.,例,6,常数和任何函数都相关,.,15,下面给出判别一组函数相关或独立的条件,为此需要引进函数组的雅可比矩阵的概念,.,对于函数组,我们称矩阵,(,如果矩阵中每一个元都存在的话,),为函数组 的雅可比矩阵,.,16,如果雅可比矩阵的秩是,那么由这个矩阵的元所组成的,r,阶行列式中至少有一个在,D,内不恒为零,而一切高于,r,阶的行列式,(,假若有的话,),恒为零,.,假设这个函数组在区域,D,内具有对一切变元的连续偏导数,.,现在考虑函数组,函数独立和函数相关的条件,.,17,定理,1,若,函数组 的雅可比矩阵中有一个,m,阶行列式在,D,内不为零,.,例如不妨假设,在,D,内成立,则函数组 在,D,内是函数独立的,.,18,定理,2,若,(1),函数组 的雅可比矩阵在,D,内的秩为,;,(2),雅可比矩阵在点 达到秩,r,.,亦即存在一个,r,阶行列式,不妨设它为,在 点成立,则在点 的某个邻域内成立,:,19,例,7,函数,的雅可比矩阵,中有一个二阶行列式无零点，所以这两个函数是函数独立的。,20,例,8,设有两个函数,容易验证,它们的雅可比行列式在第一象限内无零点,雅可比矩阵在第二和第四象限内的秩为,1,在第三象限内的秩为零,所以只有在第一象限内它们是函数独立的,.,21,