第五章 定积分及其应用

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第五章 定积分及其应用,定积分是积分学中最重要的概念之一，同导数概念一样，也是在解决一系列实际问题的过程中逐渐形成的。用定积分的方法能解决大量的科学技术及经济管理中的计算问题。,本章将学习定积分的概念、性质、计算及其在几何、物理等方面的应用。,内容提要,第一节定积分的概念,第二节微积分基本公式,第三节定积分的换元法,第四节定积分的分部积分法,第五节无穷区间上的广义积分,第六节定积分的应用举例,第一节 定积分的概念,重点：定积分的概念和性质,难点：定积分概念的理解,a,b,x,y,o,实例,1,（求曲边梯形的面 积）,一、两个实例,在初等数学中，以矩形面积为基础，解决了较复杂的直边图形的面积问题,.,现在的曲边梯形有一条边是曲线，所以其面积就不能按照初等数学的方法来计算,.,困难就在于曲边梯形底边（区间）上的高是变化的，而且这种变化规律不是线性的,.,但由于曲线是连续的，所以当在上的变化很小时，相应的高的变化也很小,.,由于这个想法，可以用一组平行于轴的直线把曲边梯形分割成若干个小曲边梯形，只要分割的充分细，每个小曲边梯形就很窄，则其高的变化就很小，,a,b,x,y,o,a,b,x,y,o,用矩形面积近似取代曲边梯形面积,显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积,（四个小矩形）,（九个小矩形）,曲边梯形如图所示，,曲边梯形面积的近似值为,曲边梯形面积为,实例二、求变速直线运动的路程,思路：把整段时间分割成若干个小段，每小段上速度看作不变。求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值。最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值。,（,1,）分割,部分路程值,某时刻的速度,（,2,）求和,（,3,）取极限,路程的精确值,二、定积分的定义,定义,被积函数,被积表达式,积分变量,记为,积分上限,积分下限,积分和,注意：,定理,1,定理,2,三、存在定理,四、定积分的几何意义,几何意义：,a,b,例,1,、用定积分表示下列图中阴影部分的面积,解：根据定积分的几何意义，解题如下：,对定积分的,补充规定,:,说明,在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小,五 定积分的性质,证,性质,1,证,性质,2,例,若,（,定积分对于积分区间具有可加性）,则,性质,3,证,性质,4,证,由闭区间上连续函数的介值定理知,性质,5,（定积分中值定理）,积分中值公式,使,即,积分中值公式的几何解释：,第二节 微积分基本公式,重点：牛顿,莱布尼兹公式,难点： 积分上限的函数,变速直线运动中位置函数与速度函数的联系,变速直线运动中路程为,另一方面这段路程可表示为,一、问题的提出,考察定积分,记,积分上限函数,二、积分上限函数及其导数,积分上限函数的性质,证,由积分中值定理得,（,2,）,分母的导数为,所以有,定理,3,（微积分基本公式）,证,三、牛顿,莱布尼茨公式,令,令,牛顿,莱布尼茨公式,微积分基本公式表明：,注意,求定积分问题转化为求原函数的问题,.,例计算下列定积分,（,1,）,(2),(3),(4),(5),第三节 积分的换元法,重点与难点：,掌握定积分的换元积分公式,牛顿莱布尼茨公式把定积分的计算问转化为求原函数（不定积分）的问题，因而求不,定积分的各种具体方法经过适当的变化，都可,用于求定积分，本节我们来学习定积分的换元,法,.,解法,2,要比解法,1,简便些，因为它省去了变量回代这一步。,一般的，定积分的换元法可表述为：,定积分的换元法有两个特点：,换成新变量,时，积分限也要换成相应于新变量,的积分限,.,即所谓的,“,换元必换限,.,”,（）求出,的一个原函数后，不必象不定积分那样再把原变量,回代，而直接代入新变量,的上下限，然后相减就,把原变量,（,1,）用,可以了。,第四节 定积分的分部积分法,重点与难点：,熟练掌握定积分的分部积分公式,把不定积分的分部积分公式,添加上积分限，就得到定积 分的分部积分公式：,例 求,解：由例,4,的结果知,当,时,，,当,时，,令,则,当,时，,当,时,代入到,中得：,第五节 无穷区间上的广义积分,重点与难点：,广义积分的概念与计算,显然，当,在,内变化时，,曲边体形的面积,也随着,b,的变化而变化,时，这个曲边梯形面积的极限就应该是,“,开口曲边梯形,”,的面积，即,当,二、 广义积分的定义,为了书写方便起见，我们规定：,记为,写为,第六节 定积分应用举例,重点与难点：,正确理解定积分的元素法；,熟练掌握用元素法求平面图形的面积和旋,转体的体积；,会求平面曲线的弧长、变力作功和函数的,平均值。,回顾,曲边梯形求面积的问题,一、问题的提出,a,b,x,y,o,（,3,）,求和,得,A,的近似值,面积表示为定积分的步骤是：,a,b,x,y,o,（,4,）,求极限,得,A,的精确值,提示,面积元素,微元法的一般步骤：,这个方法通常叫做,微元法,应用方向：,平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等,曲边梯形的面积,平面图形的面积,二、平面图形的面积,解 两曲线的交点为,面积元素,选 为积分变量,旋转体,就是由一个,平面图形,饶这平面内一条,直线,旋转一周而成的立体这直线叫做,旋转轴,圆柱,圆锥,圆台,三、旋转体的体积,x,y,o,旋转体的体积为,解,直线 方程为,弧长元素,弧长,四、平面曲线的弧长,解,所求弧长为,如图所示,点击图片任意处播放,暂停,解,建立坐标系如图,这一薄层水的重力为,功元素为,(,千焦,),等份，每个小区间的长度为,由于,连续，所以当,足够大时，我们可把,在区间,上看作常数,，,先把区间,用分点,这就是说，纯电阻电路中正弦交流电的平,均功率等于电流电压峰值乘积的一半,.,通常交流电器上注明的功率就是平均功率,