第2讲-波函数

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,量子力学,光电子科学与工程学院,王可嘉,第二讲,不确定度关系,波函数及其统计诠释,1,第2讲目录,一、,不确定度关系（测不准原理）,二、,量子力学讨论的对象：波函数,三、,自由粒子的波函数,四、,一般粒子的波函数及其物理意义,五、,波函数的统计诠释及其性质,六、,动量分布概率,七、,再论不确定度关系,2,一、不确定度关系（,1,）,在经典力学中，宏观粒子在任何时刻都有完全确定的位置、动量、能量等。然而，对于,微观粒子，其波动性远远大于宏观粒子,，以致于它的某些,成对的物理量,（如位置坐标和动量、时间和能量等）,不可能同时具有确定的量值,。,这就叫不确定度关系或测不准原理。,下面以电子单缝衍射为例讨论这个问题,3,一、不确定度关系（,2,）,电子可在缝宽 范围的任意一点通过狭缝，电子坐标不确定量就是缝宽 ，电子在,x,方向的动量不确定量:,x,入射电子束,狭缝,照相底版,P,P,x,4,严格的理论给出的,不确定性关系,为：,首先由海森堡给出(1927),海森堡不确定性关系,(海森堡测不准关系),它的物理意义是，微观粒子不可能同时具有确定的位置和动量。粒子位置的不确定量 越小，动量的不确定量 就越大，反之亦然。因此在某一时刻微观粒子的位置和动量不可能同时完全确定。,轨道,的概念已失去意义，经典力学规律也不再适用。,-,微观粒子的“波粒二象性” 的具体体现,一、不确定度关系（,3,）,Heinsenberg,（,1901-1976,）,5,二、量子力学讨论的对象：波函数（,1,）,牛顿力学：质点（经典粒子）,1,、经典物理讨论对象：,讨论对象：质点的坐标、动量、能量等,6,二、量子力学讨论的对象：波函数（,2,）,电动力学：电磁场（经典波动）,讨论对象：电磁场的波幅、波矢、能量等,Maxwell,方程组,7,二、量子力学讨论的对象：波函数（,3,）,根据,de Broglie,的 “波粒二象性”假设 ：一切实物粒子具有波粒二象性，即具有确定动量 和确定能量,的实物粒子相当于频率为 和波长为 的波。满足,de Broglie,关系：,量子力学：引入一个物理量,波函数：,波函数 表征了粒子所具有的波粒二象性，完全描述了微观体系的状态。,（量子力学基本假设之一）,量子力学讨论的对象是什么？,8,三、自由粒子的波函数（,1,）,平面波与傅里叶变换的回顾,只考虑一维空间情况下，平面波为：,任意函数 均可用 展开：,为 的,Fourier,变换,特别地，若 ，有,9,三、自由粒子的波函数（,2,）,自由粒子：,指的是不受外力作用，静止或匀速运动的质点。因此，其能量,和动量 都是常量。,根据,de Broglie,关系：可得与自由粒子对应的物质波的频率和波长为： 和,波矢定义为： 所以看出自由粒子的频率和波矢均为,常量。,改写,de Broglie,关系为,10,三、自由粒子的波函数（,3,）,和,都为常量的波应该是平面波，可用以下函数描述 或,代入,de Broglie,关系得到：,即：自由粒子的波函数，它将粒子的波动同其能量和动量联系了起来。它是时间和空间的函数。,11,三、自由粒子的波函数（,4,）,总结：由于自由粒子的能量和动量为常量，根据,de Broglie,关系，其对应物质波的角频率和波矢也为常量，根据经典波动理论，角频率和波矢为常量的波为平面波，即：自由粒子的波函数为平面波：,我和他怎么会是双胞胎呢！,12,四、一般粒子的波函数及其物理意义（,1,）,当粒子受到外力的作用时，其能量和动量不再是常量，因此波函数无法用平面波表示。用一般函数来表示,问题是：该如何理解波函数所代表的,物理意义,呢？,经典物理：,质点动量的物理意义：,电场强度的物理意义：,13,四、一般粒子的波函数及其物理意义（,2,）,波粒二象性,一切实物粒子都具有波粒二象性！,如何理解一个实物粒子具有波动性？,历史上对粒子波动性的认识有两种,误解,：,(1)波包说：认为粒子波就是粒子的某种实际结构，即将粒子看成是三维空间中连续分布的一种物质,波包,。波包的大小即粒子的大小，波包的速度即粒子的运动速度。粒子的干涉和衍射等波动性都源于这种波包结构。,(2)群体说：认为体现粒子波动性的衍射行为是,大量粒子相互作用或疏密分布,而产生的结果。,14,四、一般粒子的波函数及其物理意义（,3,）,1,、波包说：,波动的强度空间分布只在,有限区域,内不为零,波包说：认为粒子波就是粒子的某种实际结构，即将粒子看成是三维空间中连续分布的一种物质,波包,。,波包的大小即粒子的大小,，波包的速度即粒子的运动速度。,15,四、一般粒子的波函数及其物理意义（,4,）,一维自由粒子的波函数为：,：自由粒子尺寸难道,无限大,？,两种选择：,1,、自由粒子波函数是错的？！,2,、波包说是错的？！,16,四、一般粒子的波函数及其物理意义（,5,）,一般粒子的波函数为： 根据,Fourier,变换,物理意义：波包可以看做各种波长的平面波的,叠加,。,定义群速 ，表示波包中心的移动速度；,即，整个波包的移动速度。,若 ，即： 则整个波包在运动过程中会发生,扩散,。,17,四、一般粒子的波函数及其物理意义（,6,）,对于,de Broglie,波，有关系：,根据波包说：粒子为三维空间中连续分布的一种物质波包，波包的大小即粒子的大小。由于,，则波包会随着运动发生扩散，即：粒子的大小随时间会变大。,难道电子会随着时间 “变胖”？,18,四、一般粒子的波函数及其物理意义（,7,）,波包说的错误之处在于：物质波包的观点,夸大了波动性,的一面，,抹杀了粒子性,的一面，与实际不符。,19,四、一般粒子的波函数及其物理意义（,8,）,2,、群体说：,认为体现粒子波动性的衍射行为是,大量粒子相互作用或疏密分布,而产生的结果。,然而，电子衍射实验表明，就,衍射效果,而言：,弱电子密度长时间强电子密度短时间,群体说,夸大了粒子性,的一面，,抹杀了波动性,的一面，与电子衍射实验不符。,20,四、一般粒子的波函数及其物理意义（,9,）,3,、再论波粒二象性,经典粒子,：哲学上是一个客体，强调了,颗粒性,或者是,原子性,！其运动时总是有一个确切的,轨道,。,经典波动,：强调了某种实在物理量的空间分布做,周期性,变化。,21,四、一般粒子的波函数及其物理意义（,10,）,对于,de Broglie,物质波（波函数 ），绝不能用,经典,的概念生搬硬套得来解释。,要想解释,de Broglie,物质波，我们必须重新认识什么是,“粒子性”,和,“波动性”,！,de Broglie,物质波,“粒子性”,一个客体，强调得是,颗粒性,或者是,原子性，,但运动时确切的,轨道,必须抛弃。,“波动性”,强调得是波的相干叠加性，而不是某种实在物理量的空间分布做,周期性,变化,22,四、一般粒子的波函数及其物理意义（,11,）,23,四、一般粒子的波函数及其物理意义（,12,）,4,、统计诠释：,粒子的波粒二象性可以用波函数来表示：,1926,年，,M. Born,提出：波函数 为刻画粒子在空间的,概率,分布的,概率波,， 表征了粒子出现在点 附近的概率大小的一个量。,M. Born,（,1882-1970,）,Nobel Prize in Physics(1954),24,五、波函数的统计诠释及其性质（,1,）,1,、统计诠释的详细表述：,表示粒子出现在,点 附近的概率。,表示点 处的体积元 中找到粒子的概率。,表示在体积微元 中找到粒子的概率。,25,五、波函数的统计诠释及其性质（,2,）,2,、统计诠释下波函数的性质：,（,1,）归一性：在全空间中找到粒子的概率为,1,（,2,）相对概率：对于概率分布，重要的是,相对概率分布,。,和 所描述的相对概率分布是完全相同的。,例：在空间任意两点 和 处， 描述的相对概率为：,26,五、波函数的统计诠释及其性质（,3,）,和,（,4,）相位不定性,:,若,，,则：,对粒子在点 附近出现概率的描述是相同的。,这是因为,:,（,3,）波函数的常数因子不定性：设 是一个常数，则：,和 对粒子在点 附近出现概率的描述是相同的。,27,五、波函数的统计诠释及其性质（,4,）,2,、统计诠释下对波函数的要求,(1),、可积性,(2),、归一化,(3),、单值性，要求,(4),、连续性,28,六、动量分布概率（,1,）,设 ，则 表示粒子出现在点 附近的概率。,设 ，那么粒子具有动量 的概率如何表示？,平面波的波函数为：,任意粒子的波函数可以按此平面波做,Fourier,展开：,29,六、动量分布概率（,2,）,可见， 代表 中含有平面波 的成分，因此， 应该代表粒子具有动量 的概率。,30,七、再论不确定度关系（1）,经典粒子,：可以同时具有确定的动量和空间位置，即,和 可以同时成立。,微观粒子,： 和 不能同时成立。,例1：设一维自由粒子具有确定的动量 ，即 ，其相应的波函数为平面波,已证明平面波,故,且,31,七、再论不确定度关系（,2,）,例,2,：设一维粒子具有确定的位置 ，即 ，则其波函数为,相应的傅立叶变换为,:,32,七、再论不确定度关系（,3,）,例3：有限长波列,33,七、再论不确定度关系（,4,）,严格证明表明，对一般粒子，有,物理意义：粒子的坐标和动量不可能同时,被准确测量,。或者说，微观粒子的位置（坐标）和动量不能同时具有,完全确定,的值。,34,七、再论不确定度关系（,5,）,不确定度关系是微观粒子波粒二象性所带来的必然结果。这是因为，对波动而言，不能提“,空间某一点,x,的波长,”。从而，对微观粒子，只要承认其具有波粒二象性，“,微观粒子在空间某一点,x,的动量,”，这样的提法也没有意义。所以，对一个给定点,x,，动量只能是不确定的，这就是不确定度关系。,35,下一讲,力学量的平均值,算符,薛定格方程,量子力学中的基本假设,36,