D极值与最值x

单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,目录 上页 下页 返回 结束,二、,最大值与最小值问题,一、,函数的极值及其求法,第五节,函数的极值与,最大值最小值,第,三,章,1,定义:,在其中当,时,(1),则称 为 的,极大值点,称 为函数的,极大值,;,(2),则称 为 的,极小值点,称 为函数的,极小值,.,极大值点与极小值点统称为,极值点,.,一、,函数的极值及其求法,2,注意:,为极大值点,为极小值点,不是极值点,2) 对常见函数, 极值可能出现在,导数为,0,或,不存在的点,.,1) 函数的极值是函数的,局部性质,.,例如,为极大值点,是极大值,是极小值,为极小值点,函数,3,3),极值的,必要条件,费马,(Fermat),引理：,且,存在,费马,可导,函数的,极值点,一定是,驻点,；,即,但驻点未必是极值点.,比如,4,定理 1,(极值第一判别法),且在空心邻域,内有导数,(1),“左,正,右,负,” ,(2),“左,负,右,正,” ,(自证),点击图中任意处动画播放暂停,5,例1.,求函数,的极值 .,解:,1) 求导数,2) 求极值可疑点,令,得,令,得,3) 列表判别,是极大值点，,其极大值为,是极小值点，,其极小值为,6,定理2,(极值第二判别法),二阶导数 , 且,则 在点 取极大值 ;,则 在点 取极小值 .,7,例2.,求函数,的极值 .,解:,1) 求导数,2) 求驻点,令,得驻点,3) 判别,因,故 为极小值 ;,又,故需用第一判别法判别.,8,二、,最大值与最小值问题,则其最值只能,在,极值点,或,端点,处达到 .,求函数最值的方法:,(1),求 在 内的极值可疑点,(2),最大值,最小值,9,特别:,当 在 内只有,一个,极值可疑点时,当 在 上,单调,时,最值必在端点处达到.,若在此点取极大 值 , 则也是最大 值 .,(小),对应用问题,有时可根据,实际意义,判别求出的可疑点,是否为最大 值点或最小值点 .,(小),10,例3.,求函数,在闭区间,上的最大值和最小值 .,解:,显然,且,故函数在,取最小值 0 ;,在,及,取最大值 5.,11,因此也可通过,例3.,求函数,说明:,求最值点.,与,最值点相同 ,由于,令,( 自己练习 ),在闭区间,上的最大值和最小值 .,12,(,k,为某常数 ),例4.,铁路上,AB,段的距离为100 km , 工厂,C,距,A,处20,AC,AB ,要在,AB,线上选定一点,D,向工厂修一条,已知铁路与公路每公里货运,为使货物从,B,运到工,20,解:,设,则,令,得,又,所以 为唯一的,极小值点 ,故,AD,=15 km 时运费最省 .,总运费,厂,C,的运费最省,从而为最小值点 ,问,D,点应如何取?,Km ,公路,价之比为3,:,5 ,13,例5.,把一根直径为,d,的圆木锯成矩形梁 ,问矩形截面,的高,h,和,b,应如何选择才能使梁的抗弯截面模量最大?,解,:,由力学分析知矩形梁的抗弯截面模量为,令,得,从而有,即,由实际意义可知 , 所求最值存在 ,驻点只一个,故所求,结果就是最好的选择 .,14,存在一个取得最大利润的生产水平? 如果存在, 找出它来.,售出该产品,x,千件的收入是,例6.,设某工厂生产某产品,x,千件的成本是,解:,售出,x,千件,产品的利润为,问是否,故在,x,2,= 3.414,千件,处达到最大利润,而在,x,1,= 0.586,千件,处发生局部最大亏损.,15,说明,：,在经济学中,称为边际成本,称为边际收入,称为边际利润,由此例分析过程可见, 在给出最大,利润的生产水平上,即边际收入边际成本,（见右图）,成本函数,收入函数,即,收益最大,亏损最大,16,内容小结,1. 连续函数的极值,(1) 极值可疑点 :,使导数为0 或不存在的点,(2) 第一充分条件,过,由,正,变,负,为极,大,值,过,由,负,变,正,为极,小,值,(3) 第二充分条件,为极,大,值,为极,小,值,(4) 判别法的推广,定理3,定理3,17,最值点应在极值点和边界点上找 ;,应用题可根据问题的实际意义判别 .,思考与练习,2. 连续函数的最值,1.,设,则在点,a,处( ).,的导数存在 ,取得极大值 ;,取得极小值;,的导数不存在.,B,提示:,利用极限的保号性,18,2.,设,在,的某邻域内连续, 且,则在点,处,(,A,) 不可导 ;,(,B,) 可导, 且,(C) 取得极大值 ;,(,D,) 取得极小值 .,D,提示:,利用极限的保号性 .,19,