第81节(齐次方程的分离变量法)

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第八章 分离变数(傅里叶级数)法,分离变数法,是定解问题的一种基本解法，适用于大量的,第一节、齐次方程的分离变数法,（一）分离变数法介绍,研究两端固定的均匀弦的自由振动，即：,边界,初始,征值,问题，本章限于本征函数是三角函数的情况。,个常微分方程，其中有的常微分方程带有附加条件，构成,本,各种各样的定解问题，其基本思想是把偏微分方程,分解,成几,1,这里弦是有限长的，即有两个端点，波在端点时间来回反射,同频率的反向波形成,驻波,在驻波中，有的点振幅最大，叫做波腹，还有些最小，叫做波节,驻波没有波形传播，即各振动项位点不依次滞后，他们按统一方,此时，驻波的一般表达式具有分离变数的形式！,把上式代入振动方程和边界条件可得：,（与t无关）,式随时间t振动，可以表示成T（t）但各点振幅随地点而异，即是,x的函数X（x），则驻波的一般表达式为：,2,对于方程,同除,则可得,左边是时间t的函数，与坐标x无关，右边是坐标x的函数，与,就把原方程分为两个常微分方程，即：,我们先来求解X，根据,的不同来考察,（1）,时间t无关，显然不等，除非等于,常数,，记常数为,3,方程的解是,积分常数由初始条件确定：,由此可得,即,驻波,没有意义，故排除！,（2）,此时方程的解是：,积分常数由初始条件确定：,由此可得,即,没有意义，故排除！,4,（2）,此时方程解为：,积分常数由初始条件来确定,此时如果,仍然可得,从而,应该予以排除！,只剩下一种可能：,则,即：,而此时,C,2,为任意常数,注：,上式正是傅里叶正弦级数的基本函数族！,5,由以上过程可知道，分离变数过程中所引入的常数,不能,为负数或者零，也不是任意的正数，必须取特定的数值，才能,使原方程有有意义的解。常数 的这种特殊数值叫做,本征值,，,而此时T的方程应该写成：,此方程的解为：,其中，A，B为积分常数,把X（x）和T（t）代入原方程就可得分离变数形式的解：,相应的解叫做,本征函数,，即构成,本征值问题,。,6,这就是两端固定弦上的可能的驻波，每个自然数n对应一个,在,共计n1个点上，,则U（x,t）=0,这些点是驻波的节点,相邻节点间隔l/n为半波长，故,波长,应为：2l/n,本征振动的角频率为,则,频率,为:,当n=1的驻波,除了两端x=0和x=l之外没有其他的节点,波长2l在,N1的各个驻波叫做,n次谐波,波长2l/n是基波的1/n,频率na/2l,驻波，这些驻波也叫做两端固定弦的,本征振动,。,所有本征振动里边是最长的,频率最低,这个驻波叫做,基波,.,是基波的n倍.,7,以上的本征振动是满足弦振动方程,和边界条件,的线性独立的特解,由于方程和边界,条件都是齐次的,故所有的本征振动的线性叠加:,仍然满足,原方程和边界条件,此即满足方程的一般解,其中A,B为任意常数,但此时未考虑初始条件!,以下就是考虑到初始条件求定解问题的确定解,就是选取适当的,把上述一般解代入初始条件,可得:,叠加系数An和Bn,满足初始条件:,8,左边是傅里叶正弦级数,我们只要把函数,展开成,傅里叶正弦级数,比较系数就可以得到A,n,和B,n,:,这样,我们就得到了原定解问题的解:,系数由以上的傅里叶级系数确定,展开成傅里叶正弦级数是由,第一类边界条件确定的!,9,偏微分,方 程,分离,变数,常微分方程2,解2,本 征 解,解2解1,齐次边,界条件,分离,变数,常微分方程1,条件,解1,（本征函数）,所求解,初始,条件,关键在于,分离变数,，使偏微分问题化为,常微分,问题，同时把边界,分离变数法,条件化为常微分方程的附加条件，构成,本征值,问题。可以推广到,线性齐次方程和线性齐次边界条件的多种定解问题中！,10,求解:,11,（二）例题,例1：,磁致伸缩换能器、鱼群探测换能器等核心是两端自由的,（边界条件）,（初始条件）,（泛定方程）,解,分离变量：,代入泛定方程和边界条件,即：,均匀杆，作纵振动，定解问题如下：,12,对于方程,化为：,两边分别是x和t的函数，不可能相等，除非是一常数，设为,则,于是可分解为关于X和T的,常微分方程,（1）,（2）,对于本征值问题（1）,如果,则X（x）恒为零，无意义。,如果,则方程的解是：,代入常微条件得：D,0,0,则,13,为对应于本征值,的本征函数,如果,方程,的解是：,积分常数满足：,故C,2,0,若C,1,0，则无意义！,则,可得：,即,相应的本征函数为：,以下把,的情况合二为一。,14,C,1,为任意常数，上式是傅里叶余弦级数的基本函数族。,将本征值代入T的方程,可以得到：,解分别为：,其中系数均为独立的任意常数。,把X（x），T（t）分别代回,得到本征振动如下：,15,注意，上式是傅里叶余弦级数的基本函数族。,所有本征振动叠加即得,一般解,：,其中系数由初始条件,确定。,把一般解代入初始条件，可以得到：,16,把左边的函数,展开成傅里叶余弦级数，比较系数,由上可知，A,0,和B,0,分别表示平均初始位移和平均初始速度，由于,例2：,研究细杆导热问题，初始时刻杆的一端问题为零，另一端,一端为第一类边界条件，另一端为第二类边界条件,类齐次边界条件所决定的。,不受外力作用，以不变的速度B,0,移动，傅里叶余弦级数是由第二,另一端跟外界绝热，试求杆上温度的变化。,温度为U0，杆上温度梯度均匀，零度的一端保持温度不变，,17,可得杆上温度U（x，t）满足的泛定方程和定解条件：,这里泛定方程和边界条件都是齐次的，利用分离变数法，得：,代入泛定方程和边界条件可得关于X（x）和常微分方程及条件,及关于T的常微分方程：,X（x）的方程和条件构成,本征值,问题，只能得到,无意义,18,则当,时得到常微方程的通解为：,代入常微分方程的初始条件，可得：,除非是,否则还是得到无意义的解,则此时可得：,C,2,0,即：,这里给出本征值，相应的本征函数为：,19,而关于T的方程,此时变为：,此方程的解为：,U（x,t）的一般解是：,其中C,k,由初始条件确定：,20,左边是以,为基本函数族的级数，启发我们把右边,也展开成以,为基本函数族的级数（傅里叶正弦级数）,比较系数可得：,21,此时可得最后结果为：,注,对于本征函数即,既不同于第一类齐次边界条件,又不同于第二类齐次边界条件的,边界条件,表明应该把导热细杆从区间0，l偶延拓到l，2l,延拓后条件为：,一，三决定了本征函数为,n是正整数,第二个条件则,限定n只能是奇数，,边界条件,22,若n为偶数，则,不为零，综上所述可得本征函数为：,即,注,对于一般解，如果考虑早先的时刻即t0,却不能,反推,早先时刻的温度分布，这是输运过程的特点。,，从某个时刻的温度分布可以推算出以后时刻的温度分布，但,边界条件相同，不管初始温度分布如何，总趋于统一平衡状态,23,随k的增大而急剧减小，此时一般解级数,收敛很快，在t0.18l,2,/a,2,时，可以只保留第一项k0，此时误差,例3：,散热片的横截面为矩形，一边yb处于较高温度U，其他,不超过1%,解横截面上的稳定温度分布u（x，y），即定解问题：,三边y0，x0和xa处于冷却介保持较低的温度u,0,，求,24,x,y,U,u,0,u,0,u,0,O,a,b,如右图所示：,解,这是二维拉普拉斯方程的第一类边界值,把u（x，y）分解为v（x，y）和w（x，y）的线性叠加：,其中v和w分别满足一组齐次边界条件即：,化为齐次的，可以带来方便。,是齐次的，此时恒为零，但可以把边界,问题，没有初始条件，边界条件不能都,25,可以验证，把w和v的泛定方程叠加起来就是u的泛定方程,把v和w的边界条件叠加起来就是u的边界条件，则原问题化为,另解,令,把原来的温度U,0,作为新,的温标v（x，y）的零点，代入泛定方程和边界条件可得：,分离变数令：,问题解出。,求解v和w，而此时v和w各有两个齐次边界条件可以利用本征值,26,代入上述泛定方程和齐次边界条件，可得X和Y的常微分方程,和X的边界条件：,（1）,（2）,则显然（1）构成本征值问题，可得本征值为：,本征函数为：,将本征值代入（2）可得：,分离解为：,叠加即得一般解：,27,为确定系数A,n,和B,n,j将上式代入非齐次边界条件：,右边展开比较系数,由此可得：,可得最后结果：,28,例4：,带电的云跟大地之间的静电场,可近似看成匀强电场，电场强度为E,0,竖直,表示为定解问题，取圆柱的轴为z轴，如果把导线看成无限,+,+,+,+,带电云,A,B,y,x,大地,在xy平面的剖面是个圆：x,2,+y,2,=a,2,a为半径。,解,柱外空间没有电荷，电势u满足二维拉普拉斯方程,（柱外空间）,长，则静电场的强度电势与z无关，我们只在xy平面研究。,体圆柱如何改变静电场。,“,无限远,”的静电场保持匀强，现在来看导,临近的电场也就不再是匀强电场，离圆柱,输电线是导电圆柱体，柱面产生感应电荷,水平架设的输电线处在静电场中，如图：,29,对于导体来说，电荷不再移动，说明导体中各处的电势相同，,分离变数法代入拉普拉斯方程可以分解为两个常微分方程，但,边界条件为：,不能分解为X（x）或Y（y）的边界条件，无法进行下去！,边界是圆，提示我们采用平面,极坐标系,。,在极坐标系中，方程可表示为：,其中,为极径，,为极角,导体电势为零表示为齐次的边界：,如下：,又电势只是相对高低，可以把导体的电势作为零点，边界条件,30,在无限远处，电势保持为E,0,，故在无限远处，E,y,0，E,x,E,0,即,隐含着非齐次边界条件：,现在问题转化成极坐标系中的定解问题：,解,分离变数设：,代入泛定方程可得,左边与,无关，右边与,无关，除非为一,常数,！,31,把此常数记为：,此时分解为两个常微分方程：,对于第一个方程，隐含着附加条件，某点的极角可以相差,的整数倍，但电势在某点是确定值，故：,即：,自然的周期条件,此条件与常微分方程构成本征值问题，可以求得常微方程解：,32,从而可求得本征值和本征函数：,把本征值代入常微分方程,可得：,欧拉型常微分方程,作代换,方程可化为：,由此我们可得到分离变数形式的解为：,33,拉普拉斯方程是线性的，其一般解为所有本征解的叠加：,为了确定上式中的系数，先代入,齐次,边界条件：,一个傅里叶级数为零，所有的系数为零，即：,34,再来看非齐次边界条件：,对于非常大的,一般解中的,远远小于,可以略去，代入非齐次边界条件可得：,这里如果出现,则主要部分就不是,而是,主部,故可得：,由第一项,可得,可得：,35,最后我们可得柱外的静电势为：,对于此一般解，中间一项，即,是原来静电场的电势,分布，最后一项,当,充分大时，可以忽略，代表,在圆柱附近对匀强电场的修正，是柱面感应电荷的影响。,对于,系数是任意常数，表明有不确定的因素！,在物理上，此不确定因素出在原来导体所带电量上，这一项正,是圆柱原来带的电量。,讨论,设原来圆柱体不带电，则D,0,0，此时,36,若只看y轴下方，则如图，可以看成平行,+,+,+,+,带电云,A,B,y,x,大地,此时，上下两端，即A和B点的电场强度为：,是原来电场的两倍！且与半径无关！,此处最容积击穿！,Y轴上的电势,与导体圆柱相同,A,电容器的极板必须加工的非常平滑！,两倍！对于高压电容器来说，很危险！容易击穿，故高压,此突起的电场强度是其他匀强电场强度的,板电容器之间的静电场，但上面带有突起,37,例5：,长为l的理想传输线，一端x0接交流电，电动势为,另一端xl是开路，求解线上的稳恒电振荡。,理想传输线,是一种理想化的模型，实际上总有损耗，初始条件引起的自由振荡总是逐渐衰减，经过许多个周期之后，自由振荡消失，此时的电振荡完全是由交流电源引起的，电源提供的能量正好补偿了消耗，使得振荡可以维持而不衰减，这就是现实中的,稳恒电振荡,。,解,初始条件所引起的自由振荡已经消失，故不用考虑初始,条件，这里的定解问题是没有初始条件的。,最后取结果的,虚部即可,38,稳恒振荡完全由交流电源引起，故周期相同，则：,代入泛定方程，可得X的常微分方程：,方程的解为：,故：,第二项是电源发出的波，第一项是反射波,系数A和B由边界条件确定，边界中有电流，故还需要j的表达式,由物理定律可得电流：,（具体参看相关资料）,把v和j分别代入边界条件可得：,39,则稳恒振荡由,给出，系数A和B由上面的关系给出。,40,输入端电压同电流之比叫做,输入阻抗：,当,此时对电源来说，相当于一个,短路,元件！,41,Method of Separation of Variables （分离变量法）,for One-Dimensional Mixed Problems,Solution.,利用驻波的特点，得到某时刻的波形可以用一系列驻波的叠加来表示。,代入方程,：,（1）,1.,分离变量法,42,（2）,（3）,Eq.(2) is a,Sturm-Liouville problem,.The general solution of Eq.(2) is,43,44,45,The solution of (1) is,46,