不定积分内容提要与典例

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第四章 不定积分,内容提要,典型例题,1,积分法,原 函 数,选,择,u,有,效,方,法,基,本,积,分,表,第一换元法,第二换元法,直接,积分法,分部,积分法,不 定 积 分,几种特殊类型,函数的积分,一、主要内容,2,1,、原函数,2,、不定积分,(1),定义,(2),微分运算与求不定积分的运算是,互逆,的,.,(3),不定积分的性质,3,、积分法：三法一表,基本积分表,分项积分法,换元积分法,分部积分法,3,4,、基本积分表（,24,个公式,）,5,、直接积分法（,分项积分法,）,6,、第一类换元法（,凑微分法,）,凑微分法的主要思想：,将不同的部分,中间变量与积分变量,变成相同，使之能套用基本积分公式。,此时要求熟悉并牢记一些基本的微分公式，并善于从被积表达式中拼凑出合适的微分因子。,4,常见类型,:,5,7,、第二类换元法,引入适当的变量代换，变化被积表达式，使之,化简并变成容易的积分。,常用代换,:,6,4.,根式代换,被积式如含,则令,被积式如含,则令,5.,指数代换,被积式如含,通常可令,7,8,、分部积分法,分部积分公式,使用分部积分法的关键是正确地选取,常用的方法,:,把被积函数视为两个函数的乘积,按,“,反对幂指三”的顺序,前者为 后者为,(,因为“幂指三”好积, “,反对”的导数比它自己简单,.),8,9,、几种特殊类型函数的积分,（,1,）有理函数的积分,待定系数法,化有理真分式为,部分分式,四种类型最简分式的不定积分,有递推公式,9,（,2,） 三角函数有理式的积分,(,万能代换,),（,3,） 简单无理函数的积分（,根式代换,）,讨论类型,解决方法,作代换去掉根号,注意,某些初等函数的原函数不是初等函数,如,俗称“积不出来”,10,11,12,二、典型例题,例,解：,13,例,解一,注意到,14,解二,而,15,例,解,16,例,解：,17,例,解一,令,1,18,例,解二,(,倒代换,),19,例, 求积分,解,20,例,解一,:,21,解二：,令,22,解三,整体换元,令,则,23,例,解一,分子分母同乘,24,解二,令,而,令,25,1,26,求,解,:,令,则,原式,例题,27,解,分子分母同乘以,令,例,.,分析,需要将,作为整体来考虑,28,例,解一,分子拆项,29,解二,分子分母同乘以,令,30,解三,倒代换,令,解四,凑微分,31,例,解一,32,解二,33,解三,令,34,解四,万能代换,不易得出正确结果,35,例,.,求,解,1:,原式,分部积分,第一个积分好积，主要看第二个积分,36,解,2:,原式,=,37,解,3,38,求,解,:,令,比较同类项系数,故,原式,说明,:,此技巧适用于形为,的积分,.,例题,39,解,：,“,配对法”,=,例题,40,例,*,解,令,对,我们用多种解法来解,分子拆项,再移项,P205. 2.(40),41,分母和差化积,42,分子分母同乘,43,分子分母同除以,再令,分子分母同除以,再令,解法与完全类似,44,万能代换,令,分母不易分解因式，直接用万能代换不妥,按分子分母都是,的一次式来解,45,分母是两项之和，分子是两项中之一项,令,则,解得,46,练习,2.,3.,4.,5.,6.,7.,8.,9.,10.,.,47,