第9章-差错控制编码1.

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第9章 差错控制编码,通信原理,通 信 原 理 电 子 教 案,第,9,章 差错控制编码,西 北 工 业 大 学,（2012.5）,9/13/2024,1,干扰,乘性：均衡,加性：调制解调体制、发送功率、最佳接收,9.1 引言,一、编码问题的提出,由于数字信号在传输过程中必不可免的受到,干扰,的影响，使码元波形变坏，故传输到接收端后可能,发生错判,。,信道,译码,检/纠错编码,若还不行，则需差错控制编码。,目的：,在数字通信系统中，为了提高数字通信的可靠性而采取的编码称为,信道编码,。,差错可控,之前：,为了提高数字信号传输的有效性而采取的编码称为,信源编码,。,如：PCM,二、方法/模型,9/13/2024,2,研究问题：,9.1,引言,9.2,差错控制编码的基本概念,9.3,常用的简单检错码,9.4,线性分组码,9,.5,循环码,9.6,检测和纠正突发错误的分组码,交织码,9.7,卷积码,9.8,网格编码调制,(TCM),9/13/2024,3,1.,随机性差错：,差错是随机的且相互之间独立单个错。通常,由高斯白噪声引起。,突发性差错：,错误之间有相关性,-,成串错 。,由脉冲性干扰引起，在短暂的时间内出现连续的差错，而这些短暂时间之后却又存在较长的无误码区间。,9.2.1,差错类型,9.2,纠错编码的基本概念,3. 混合性差错：,既存在随机差错又有突发性差错。,以上两种错误性质不同，可分别处理。,9/13/2024,4,可以用来检测一位错误,可纠正一位错误或检测两位错误,A,B,许用码组 禁用码组,00,01,11,10,采用,2,位二进制码,许用码组 禁用码组,000,001 010 100,111,101 110,011,采用3位二进制码,采用1位二进制码,0,1,9.2.2,差错控制的基本方法,在信息序列之后附加一些监督码元,，这些多余的码元与信息码元之间以某种确定的规则相互关联，接收端按照既定的规则检验出关联关系，如这种规则受到破坏，将会发现错误，乃至纠正错误。,例：,9/13/2024,5,检错与纠错能力与最小码距,d,0,的关系,(,c,) 为了,同时,检测,e,个错误，,纠正,t,个错误,d,0,e,t,1，,e,t,(,b,) 为了,纠正,t,个错误,d,0,2,t,1,(,a,) 为了,检测,e,个错误，,d,0,e,1,码距：,两个码组对应位上不同的数目。,码重：,码组中“,1,”的数目。,结论：,最小码距决定检错和纠错能力。,9/13/2024,6,差错控制方式,2.,前向纠错,（,FEC,）,可纠错的码,发,收,3.,混和纠错,（,HEC,）,可以发现和纠正错误,发,收,应答信号,比较：,译码复杂性、实时性和占用传输链路,(单向还是双向)。,1.,检错重发（,ARQ,）,可检错的码,发 收,应答信号,ARQ：自动重复请求发送,接收端所识别到的错误超过了自身的纠错能力时，就请求发送端重发。,9/13/2024,7,9.2.4,差错控制编码的效用,假设在随机信道中发“0”和发“1”的概率相同，在码长为,n,的码组中恰好发生,r,个错误的概率为：,(,p,为误码率,),当码长,n,7 ，,误码率 时,，,则有：,结论：采用差错控制编码，即使仅能纠正（或检测）,12,个错误，就能使误码率下降几个数量级。,（9.2-4）,9/13/2024,8,纠错码的分类,1,.,分组码与卷积码,分组码：,将信息码分组，为每组信息码后面附加若干位监督码元，且,监督码元仅监督本码组中的信息位,。,卷积码：,将信息序列分组，后面附加监督位，但,监督位不但与本码组的信息位有关，还与前面码组的信息位有关,，或者说监督位不仅监督本码组的信息位还监督其它码组的信息位,。,2,.,系统码与非系统码,系统码：,就是,信息位在前，监督位在后,的码字。,非系统码:,信息位与监督位之间,无特定的位置关系,。,编码效率,：,k,/,n,（,n，k,）码,9/13/2024,9,9.3,常用的简单纠错码,奇偶校验,构成：,n,-1位信息位、,1位监督位,。,n,位编码构成以下约束关系,接收端计算,校正子,（,偶监督,）,检错能力：,所有,奇数个错误,。,一半！应用非常广泛。,编码效率：,9/13/2024,10,9.3.2,纵向奇偶校验（,LRC,）用于检测突发错误,11100111 11011101 00111001 10101001,11100111,11011101,00111001,10101001,纵向排列,原始数据,11100111 11011101 00111001 10101001 10101010,突发错误,接收方检验是否满足,LRC,LRC,10101010,监督码元,交织编码： 针对突发性错误,n,位的LRC可以检测一个,n,位突发错误。,9/13/2024,11,信 息,码,元,0 1 0 1 1 0 1 1 0 0,0 1 0 1 0 1 0 0 1 0,0 0 1 1 0 0 0 0 1 1,1 1 0 0 0 1 1 1 0 0,0 0 1 1 1 1 1 1 1 1,0 0 0 1 0 0 1 1 1 1,1 1 1 0 1 1 0 0 0 0,监督码元,0 0 1 1 1 0 0 0 0 1,0,监督码元,1,0,0,1,0,1,1,9.3.3,水平垂直奇偶校验,（二维）,它能发现某一行或某一列上所有奇数个错误以及长度不大于行数（或列数）的突发错误。,可检某些偶数个错误。,具有一定的纠错能力。,9/13/2024,12,9.3.4 群计数码,111001 100,信息位,监督位,功能：,发现所有奇数个错误，以及一些偶数个错误，除“0”变“1”，和“1”变“0”成对出现。,规则：,信息码元分组后计算“1”的个数，然后将这个数目的二进制码元表示作为监督码元附加在信息码元之后。,9/13/2024,13,9.3.5 等重码（恒比码）,功能：,检测所有奇数个错误，以及一些偶数个错误，除“0”变“1”，和“1”变“0”成对出现。,数字 电 码 数字 电 码,0 0 1 1 0 1 5 0 0 1 1 1,1 0 1 0 1 1 6 1 0 1 0 1,2 1 1 0 0 1 7 1 1 1 0 0,3 1 0 1 1 0 8 0 1 1 1 0,4 1 1 0 1 0 9 1 0 0 1 1,表9-3 电传五中取三码,许用码组:,C,3,5,= 10,禁用码组:,2,5,-10 = 22,编码效率：,等重码,是从特定码长的码组中，选取固定个数的“1”作为码组的许用码组，这种码de,码重相同,，或,“1”与“0”之比保持恒定。,例：,我国电传汉字电码，每个汉字用4位阿拉伯数字表示，每个阿拉伯数字又用5位二进制符号表示，其中3个“1”，码重为3。,9/13/2024,14,9.4,线性分组码,定义：,信息位和监督位之间的关系由线性方程组约束的分组码称作线性分组码。,特征：,督元由信元的线性组合而产生。,奇偶校验码,就是一种效率很高的线性分组码。,这里,S,称为,校正子,：若,S,0，表示无错，,S,1表示有错。,因仅用了1位监督位,a,0,，所计算的1个校正子只能表示有错与无错。,若监督位增加到2位，就可增加一个监督方程式，便可获得,2个校正子,S,1,、,S,2,，于是：,9/13/2024,15,推广：,显然：,要求,2,r,-1,n,（,n,=,k,+,r,），则可指示（仅一位错时）,任一错码的位置包括信元、督元。,或：,2,r,k,+,r,+1,对于二进制编码，知道了错误的位置，就可以实现纠错了。,9/13/2024,16,一般说来对于(,n,，,k,)码。要想指出一位错码的所有可能位置，则要求：,对于纠正,t,个错误，需满足：,（纠正,1,个错误）,9/13/2024,17,9.4.1 线性分组码的构成,例：,构造,k,4,的,汉明码（,能纠一位错的线性分组码）,。,（1）确定,r,由,得,r,3 ，取,r,3,，则,n,7,。,（7,4）码！,（2）写出校正子的编码表,9/13/2024,18,表9,-,4 校正子表,S,1,S,2,S,3,误码位置,S,1,S,2,S,3,误码位置,0 0,1,a,0,1 0 1,a,4,0,1,0,a,1,1 1 0,a,5,1,0 0,a,2,1 1 1,a,6,0 1 1,a,3,0 0 0,无错,因此接收端计算下面,3,个校验关系，可,确定误码的位置,:,校正子表不是唯一的!,这里的“+”代表模2和,（2）写出校正子的编码表-,r,= 3,共有,3,个校正子,9/13/2024,19,发送端构成偶,校验方程,可得,督-信方程,（线性组合）,表9,-,5,16个许用码组！,信息位 监督位 信息位 监督位,0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 111,0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 100,0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 010,0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 001,0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 001,0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 010,0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 100,0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 111,（3）生成全部许用码组,9/13/2024,20,9.4.2,线性分组码的,监督矩阵,和,生成矩阵,1.,监督矩阵,从校验方程入手,记为,或有,9/13/2024,21,其中：,-监督矩阵,-码组的行矩阵,-零矩阵,可见：,H,一旦确定，督元和信元之间的关系也就确定了。,若:,-则称,H,为,典型阵,。,由线性代数理论：,典型阵各行一定是线性无关的；,非典型阵可通过矩阵的初等变换化为典型阵。,9/13/2024,22,2. 生成矩阵,矩阵形式:,从督信方程入手,由,9/13/2024,23,写成行阵形式,:,其中,Q,=,P,T,。,上式表明：,信息位给定后，就产生了监督位！,进一步，令,生成矩阵,G,= ,I,k,Q,则，码组行阵,A,= ,a,6,a,5,a,4,a,3,G,Q,能生成督元,G,才生成线性分组码,如何装配：信元督元？,9/13/2024,24,例：,生成矩阵,讨论：,由信息位与生成矩阵,G,相乘可得到全部码字,A,。,具有 ,I,k,Q,形式的生成矩阵称为,典型生成阵,。,由典型生成矩阵得出的码组为,系统码,。,码组行阵：,督元由相应的信息位决定！,9/13/2024,25,一般形式:,A,= ,a,n,-1,a,n,-2,a,r,G,3.,G,和,H,的关系,由,Q,=,P,T,或,P,=,Q,T,则 :,H,= ,P I,r,G,= ,I,k, Q,综上：,线性分组码的编码，就是根据其监督阵,H,或生成阵,G,将长为,k,的信息码编成长为,n,的码组。,9/13/2024,26,4. 线性分组码的性质,（1）封闭性,设：,A,1,、,A,2,分别为一线性分组码的任意两个许用码组。,则：,A,1,+,A,2,仍为该线性分组码的许用码组。,证：,由假设知,A,1,H,T,=0、,A,2,H,T,=0,所以,A,1,H,T,+A,2,H,T,=（,A,1,+,A,2,）,H,T,0,即,A,1,+,A,2,也是一个码组。,结论：,线性码组中任意两个码字之和，仍为该线性码组之码字。,（2）,线性分组码的,最小距离等于非零码的最小重量,。,即,:,d,0,=,W,min,（除全0码组）,证：,由封闭性得，两个码组之间的距离（之差），必是另一码组的重量。故最小码距即是码的最小重量！,9/13/2024,27,9.4.3,线性分组码的伴随式译码,设：,发送码组为,A,，,接收码组为,R,。,则：,R,-,A,E,（模2）,为错误行阵或错误图样。,对于前面（7，4）码的例子，一位错误图样为： (1000000) , (0100000)， (0010000)，(0001000)， (0000100)，(0000001), (0000001),计算校正子或伴随式：,结论：,校正子,S,仅与错误图案有关，与发送码组无关。,9/13/2024,28,伴随式与纠错：,结论：,校正子,S,只与,E,有关，若接收码字,R,中第,i,位有错，那么导出的伴随式恰好同于监督矩阵,H,的第,i,列。,例：,对于前面（7，4）码例子，一位错误图样为： (1000000) , (0100000)， (0010000)，(0001000)， (0000100)，(0000001), (0000001)，分别计算当错误图样为上面七种形式之一时的伴随式值。,9/13/2024,29,结论：,利用伴随式不仅可以判决接收码字中是否有错，而且可以指出差错的位置。,9/13/2024,30,例：,若接收的码组为1001101，请指出错误位置并译码。,解：,计算伴随式,最后一位有错，译码得,：1001100,。,9/13/2024,31,9.5.1 循环码的,概念,定义：,是一种具有,循环移位,特性的,线性分组码,。,特点：,编译码设备简单；检纠错能力强。,9.5,循环码,构成原理：,具有线性分组码的所有性质,之外，还具有,循环性：,循环码中任一许用码组经过循环移位后，所得到的码组仍然是许用码组。,9/13/2024,32,码多项式,定义：,为了利用代数理论研究循环码，可以将码组用代数多项是来表示，这个多项式被称为码多项式。,设：,许用循环码,A,=(,a,n,-1,a,n,-2,a,1,a,0,),则：,它的码多项式表示为：,其中：,x,i,仅是码元位置的标记。,码字与码多项式一一对应,！,9/13/2024,33,表9-6 (7，3)循环码,反之，由码多项式易得出码组。,9/13/2024,34,2.码多项式的按模运算,1）整数的按模运算,若一个整数,m,可以表示为:,则在模,n,运算下，有,m,p,（模,n,）。,例：,同样对于多项式而言，也有类似按模运算。,9/13/2024,35,其中：,商,Q,(,x,)为多项式，余数,R,(,x,)的幂次低于,N,(x)的幂次。,例:,求,x,4,+,x,2,+1,按模,x,3,+1,运算的余式,R,(,x,),2）码多项式的按模运算,若,则,9/13/2024,36,3）循环性,可以证明：,在循环码中，若,A,(x),是一个长为,n,的许用码组，则,x,i,A,(,x,),在按模,x,n,+1,运算下,，,亦是,许用码组。即若有,则,A,(,x,),也是一个许用码组。,例:,前述（7，3）码：,A,(,x,) =,x,6,+,x,5,+,x,4,+,x,2,（,1110100,）,前码组循环左移1位！,多项式除法,：,余式,9/13/2024,37,9.5.2 循环码的生成多项式,g,(,x,),（1）存在性,(,n,，,k,) 循环码中,有且仅有,一个,g,(,x,)，为,g,(,x,)=,x,n,-,k,+,1,特点:,最高的次数为,n,-,k,=,r,；,常数项,系数必为,1,。,在循环码中，除了全0码组外，再也没有连续,k,位均为0的码组。即连0长度最多为,k,-1位！,这唯一的,n-k,次多项式称为,生成多项式,，记为,g,(,x,),！,9/13/2024,38,（2）生成多项式,g,(,x,) 与生成矩阵,G,(,x,) 的关系,A,= ,a,n-1,a,r,G,G,= ,I,k,Q,生成矩阵,G,的每一行都是一个码组；,G,是,k,行,n,列矩阵。,只要找到,k,个已知码组，就能构成生成矩阵,G,！,生成多项式确定后，则,g,(,x,)、,x,g,(,x,)、,x,k,-,1,g,(,x,)都是码组，且这,k,个码组信息无关，因此可以用来构成生成矩阵。,g,(,x,)确定了,G,(,x,)也就确定了整个码组即确定！,9/13/2024,39,例:,( 7，3 ),循环码，,g,(,x,) =,x,4,+,x,2,+,x,+1,求典型生成矩阵,解:,可方便地直接写成码组形式,典型阵:,9/13/2024,40,（3）,生成多项式,g,(,x,),与码多项式,A,(,x,),的关系,（7，3）,表明：,所有,A,(,x,)都可以被,g,(,x,)整除，而且任一次数不大于(,k,-1)的多项式乘以,g,(,x,)都是码多项式。,A,(,x,),模,g,(,x,),=0 。,h,(,x,)为不大于(,k,-1)的多项式！,9/13/2024,41,结论:,g,(,x,)是,x,n,+1,的一个(,n-k,)次的因子，且常数项不为零。,证明：,任一循环多项式,A,(,x,)都是,g,(,x,)的倍式，即,而生成,多项式,g,(,x,)本身也是一个码组，即有,由于码组,A,(,x,)为一,（,n,-,k,）,次多项式，故,x,k,A,(,x,)为一,n,次多项式。由,知，,x,k,A,(,x,)在模,（,x,n,+1）,的运算下，亦,为一码组，故可写成,（4） 如何寻找,g,(,x,),9/13/2024,42,上式左端分子和分母都是,n,次多项式，故商,Q,(,x,),1,，因此上式可化成即,将,A,(,x,)=,h,(,x,),g,(,x,)、,A,(,x,)=,g,(,x,)代入，并整理，得,表明:,g,(,x,)应该是,x,n,+1,的一个因式！,证得:,g,(,x,)是,x,n,+1的一个(,n-k,)次的因子，且常数项不为零。,9/13/2024,43,例：,如 (,x,7,+1) = (,x,+1)(,x,3,+,x,2,+1)(,x,3,+,x,+1),则有,g,(,x,)：,（7，4）：,x,3,+,x,2,+1、,x,3,+,x,+1,（7，3）：,(,x,+1)(,x,3,+,x,2,+1) 、(,x,+1)(,x,3,+,x,+1),（7，6）：,x,+1,9/13/2024,44,例:,（7，3）,循环码有多项式如下，找出（7，3）码的生成多项式,g,(,x,)。,（1）,x,4,+,x,3,+,x,（2）,x,3,+,x,2,+1 （3）,x,+1,（4）,x,4,+,x,2,+,x,+1 （5）,x,4,+,x,+1,解:,依据,r,= 7-3 = 4，常数项不为零，有,（4）,x,4,+,x,2,+,x,+1 （5）,x,4,+,x,+1,还须证其是不是,x,n,+1=,x,7,+1的因子?,x,7,+1 =,(,x,4,+,x,2,+x+1),(,x,3,+x+1) +,0,x,7,+1 =,(,x,4,+,x,+1),(,x,3,+1) +,(,x,2,+,x,),故:,仅有,x,4,+,x,2,+,x,+1,为生成多项式,g,(,x,),。,9/13/2024,45,表9-7 (7,k,)循环码,结论：,循环码完全由其码组长度,n,及生成多项式,g,(,x,),决定,。,表中：,h,(,x,),称为监督多项式。,9/13/2024,46,例,一个(7，4) 循环码的生成多项式为,确定该循环码的典型化的生成矩阵和监督矩阵。,解：,由,g,(,x,),构成的生成矩阵为,：,典型生成矩阵,：,典型监督矩阵：,9/13/2024,47,9.5.3,系统循环码的编码实现,系统码组中的最左边的,k,位是信息码元，随后是,n,-,k,位的监督码元，即码多项式为：,因此,：,有：,结论（编码步骤）：,m,(,x,),x,n-k,/g,(,x,),除法求余得到,r,(,x,)；,m,(,x,),x,n-k,+r,(,x,)求得,A,(,x,)。,m,(,x,)信息多项式,r,(,x,)监督多项式,9/13/2024,48,例,9.5.2,已知,(7，4),循环码的生成多项式为,若信息码为,1001,，求编码码字。,因此：,解：,即：,编码码组为：,1001011,或：,直接由信息码元,1001,+监督码元,011,拼接而成！,9/13/2024,49,上述编码过程，在硬件实现时，可以利用除法电路（曹志刚p,344348,）来实现。,编码的电路,9/13/2024,50,工作过程：,信息输入时，开关合2：,输入码一方面输入除法器，另一方面直接输出，在信息位全部进入除法器后,开关合1：,输出端接到移位寄存器，将移位寄存器中存储的余项依次输出，同时切断反馈线。,系统码！,9/13/2024,51,循环码的译码可以分三步进行：,（1）由接收到的码多项式,R,(,x,)计算校正子（伴随式）多项式,S,(,x,)；,（2）由校正子,S,(,x,)确定错误图样,E,(,x,)；,（3）将错误图样,E,(,x,)与,B,(,x,)相加，纠正错误。,循环码的译码,9/13/2024,52,9.6交织码，9.7卷积码，9.8TCM 为选讲内容,可根据课时情况选择讲授,9/13/2024,53,前面介绍的线性分组码和循环码都是用来纠正随机错误的，,交织码是一种纠正和检测突发错误的分组码。,在纵向奇偶校验码中，按列进行检验，就可以,检测,出每一行上不超过列数的突发性错误，这种方法同样可以用于,纠正,突发性错误，由此构造的纠错码称为,交织码。,*9.6 纠正和检测突发错误的分组码-交织码,9/13/2024,54,（1）,若,将能纠正,t,个随机错误的码作为方阵的行码，,m,个行码组构成一个方阵，这种交织码保证可以纠正,t,个突发长度为,m,的突发错误。,（2）,但若将能纠正,b,个突发错误的码作为行码，则,m,个行码组构成的方阵，可以保证纠正长度为,bm,个突发错误。,m,行、,n,列,交织度,m,9/13/2024,55,编码器输出时，按列的顺序自左至右读出，这时的序列为:,在接收端，将上述过程逆向重复，即把收到的序列按列写入存储器再按行读出，这时就仍然恢复成原来的,(,n,k,),分组码,交织码实际上是一种时间扩散技术，当交织度足够大时，就把突发错误离散成随机错误，从而被分组码所纠正,但是,m,受到传输时延的限制。,9/13/2024,56,因而,(,m,n,m,k,),也是循环码,，,(,n,k,),码中每一个码组在,(,m,n , m,k,),码中对应有一个码组，它们有相同的码重只是各码元相隔,m,位,。,采用循环码构造交织码时，不必用,n,m,阵列就能实现编码，假设交织码每行为(,n,k,)循环码，其生成多项式为,g,(,x,),，则,g,(,x,),必定能除尽,x,n,+,1。交织度为,m,的交织码(,m,n,m,k,)，其生成多项式为 ，它的物理意义是在,g,(,x,),的各项之间插入(,m,-1)个0，显然 能除尽,。,9/13/2024,57,例：用生成多项式为 的,（7，4）,线性分,组码，构成交织度为,3,的,（21，12）,交织码，求交织码的生成,多项式及监督矩阵,。,输入,(7,4),码编码器,输入,(21，12),码编码器,交织码译码时，必须将码元排列成,n,m,阵列，然后分别独立的对其进行译码。,9/13/2024,58,*9.7,卷积码,(,n,，,k,，,N,),卷积码通常用,（,n,k,N,),来表示，它是把,k,个信息比特编成,n,个编码比特，其中,N,定义为编码,约束长度,，说明编码过程中互相约束的码段个数。,卷积码的编码器具有记忆性,，任意时刻输出的,n,个比特，不仅与当前输入的,k,比特有关系，还与前,N,-1个,k,比特输入有关。因此，,编码过程中相互关联的码元就有,nN,个,。,定义,c,=,k,/,n,为卷积码的,编码效率,，,c,和,N,是衡量卷积码性能的两个重要参数。,由于卷积码的编码过程充分利用了各码组的相关性，且,n,和,k,也较小，因此，在与分组码相同的编码效率下，卷积码的性能更优。在相似的纠错能力下，卷积码的实现通常比分组码更加简单。,9/13/2024,59,图,9-15,卷积编码器的一般形式,卷积码的基本原理,注：,模2加法器输入端的数目不一定相同。,9/13/2024,60,图9-16 (3,1,3)卷积码编码器,(3,1,3)卷积编码器的输入与输出逻辑关系为：,(9.7-1),例：,以一个简单的(3,1,3)卷积码为例来简述卷积码的编码过程，此时最高的编码效率为,c,=1/3。,9/13/2024,61,图9-17 (3,1,3)卷积码树状图,(,每输入0或1时输出状态,),卷积码的图解表示,9/13/2024,62,图9-21 闭合型状态图,a,b,c,d,为移位寄存器状态,图9-19 (3,1,3)卷积码网格图,输入码： 1 0 1 0 1,状态： 10 01 10 01 10,输出码：,111 001 100 001 100,9/13/2024,63,卷积码的解析表示,生成多项式,(9.7-2),当输入为10101,时，,M,(,x,)=,1+,x,2,+,x,4,则（3,1,3）编码器输出,Y,分别为：,Y,1,(,x,)=,G,1,(,x,),M,(,x,)= 1,(1+,x,2,+,x,4,)=,1+,x,2,+,x,4,Y,2,(,x,)=,G,2,(,x,),M,(,x,)= (1+,x,2,)(1+,x,2,+,x,4,)=1+,x,6,Y,3,(,x,)=,G,3,(,x,),M,(,x,)= (1+,x,+,x,2,)(1+,x,2,+,x,4,)=,1+,x,+,x,3,+,x,5,+,x,6,相应的输出序列为：,Y,1,(,x,)=(,y,11,y,12,y,13,y,14,)=(10101,),Y,2,(,x,)=(,y,21,y,22,y,23,y,24,)=(1000001,),Y,3,(,x,)=(,y,31,y,32,y,33,y,34,)=(1101011,),编码器输出的序列为：,Y,= (,y,11,y,21,y,31,y,12,y,22,y,32,y,13,y,23,y,33,y,14,y,24,y,34,) = (111 001 100 001 100,),9/13/2024,64,卷积码的距离特性：,最小码距：,卷积码中长度为,nN,(,N,为约束长度)的编码后序列,之间的最小汉明距离。,最小自由距,：卷积码中任意长,编码后序列之间的最小汉明距离。,采用哪种距离作为纠错能力的度量与译码算法有关：,1.,当译码算法仅限于处理长度为,nN,的接收序列时，最小码距,是重要考量，如门限译码。,2 .,当译码所考察的编码后序列长度大于,nN,时，最小自由距,是重要考量，如维特比译码或序列译码算法。,9/13/2024,65,*9.8,网格编码调制,(TCM),汉明距离：,码组间的最小距离决定编码的纠错能力；,欧氏距离：,相平面中相邻矢量最小距离决定干扰造成的误码。,1,8PSK的欧氏距离,例：,4PSK 信号每个码元传输2b信息，若因干扰引起相位错判，将出现错码。改为8PSK每码元仍传2b信息，第3b用于纠错，即采用码率2/3的卷积码，这时接收端解调和译码可一步完成。,提出：,纠错码可在不提高功率的条件下降低误码率，但付出的代价是占用带宽增加。将编码和调制结合的TCM是解决同时节省带宽和功率的途径之一。这种方法可在保持信息速率和带宽不变的条件能获得,3dB6dB,的功率增益。,9/13/2024,66,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,(000),(001),(010),(011),(100),(101),(110),(111),图9-24,8PSK信号的星座图划分,TCM信号的产生,9/13/2024,67,D,D,0 0 0 0 1 1 1 1,0 0 1 1 0 0 1 1,0 1 0 1 0 1 0 1,0 1 2 3 4 5 6 7,卷积编码器,信号编码,8PSK,信号映射,输入,输出,图9-28,四状态网格编码最优码的编码器框图,9/13/2024,68,