数据拟合建模

,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第五章 数据拟合,一、拟合的概念,二、调用,MATLAB,命令实现拟合,三、范例,1,在一项工程实践中，通过观测，得到了一个,离散,的函数关系,(x,i,y,i,) i=1,2,n,。由于工程的需要，我们希望揭示出反映这组离散数据的一个,解析,的函数关系。 再用几何术语来表达：根据平面上的观测点,要求确定一个函数曲线,y=f(x),使曲线尽量接近这些点。实现这个愿望的方法简称为,曲线拟合,（,fitting a curve).,在生产实践和科学实验中,经常会遇到大量的不同类型的数据,(data).,这些数据提供了有用的信息，可以帮助我们认识事物的内在规律等,.,曲线拟合是根据实验获得的数据，建立自变量与因变量之间的函数关系，为进一步的深入研究提供工具。,一、拟合的概念,2,引例：浓度变化规律 在化学反应中，为研究某化合物的浓度随时间的变化规律，测得一组数据如表,5.1,3,表,5.1,t,时间,1 2 3 4 5 6 7 8,y,浓度,4 6.4 8.0 8.4 9.28 9.5 9.7 9.86,t,时间,9 10 11 12 13 14 15 16,y,浓度,10 10.2 10.32 10.42 10.5 10.55 10.58 10.6,表,5.1,中的数据反映了浓度随时间变化的函数关系,它是一种离散关系,.,若需要推断第,20,、,40,分钟的浓度值,就要用一个解析的函数,y=f(t),来拟合表,5.1,中的离散数据,然后再算浓度,f(20),f(40),。,首先将这些离散数据描绘在直角坐标系下，得到散点图。然后观察浓度与时间之间呈现什么规律。,4,图,5.1,浓度,y,随时间,t,呈,“,抛物线,”,(,二次函数,),状变化,.,根据散点图,可以认为,y,与,t,的函数为,y=a+bt+ct,2,其中,a,b,c,为待定，称为参数。参数的选择需要科学的方法和实验修正。,提示,5,函数形式确定以后，关键是要确定函数中含有的待定参数,a,b,c.,常用的方法是最小二乘法（,method of least squares),下面介绍该方法的基本原理。,6,最小二乘法,平面上的点,(x,i,y,i,) i=1,2,n,。揭示出一个离散的函数关系,;,设有连续可微的函数,y,=,f,(,x,),很接近上述离散的函数关系。但一般来说,因此，我们的愿望降低为是：如何选取,f,(,x,),的参数使达到,y,i,f,(,x,i,),i=1,2,n,。,7,对应的几何意义：诸点到曲线的距离平方和最小,8,二、曲线拟合的,MATLAB,实现,多项式函数拟合：,a=polyfit(xdata,ydata,n),其中,(xdata,ydata),为观测数据，,n,为你认定的适合观测数据的多项式的次数。输出为,a =a,1,a,n,a,n+1,即与多项式,f(x)=a,1,x,n,+,+a,n,x+a,n+1,对应,9,回到引例中的问题,t=1:16;,y=4 6.4 8.0 8.4 9.28 9.5 9.7 9.86 10 10.2 10.32 10.42 10.5 10.55 10.58 10.6;,a=polyfit(t,y,2),a = -0.0445 1.0711 4.3252,即拟合函数为,f(t)=a(1)*t2+a(2)*t+a(3),10,对拟合函数的拟合效果如何检测？仍然以图形来检测，我们将客观的散点与主观的拟合曲线画在一个画面上即可看出。,xi=linspace(0,16,160);,yi=polyval(,a,xi);,plot(x,y,o,xi,yi),%,图略,右图是以,8,次多项式拟合的效果,a=polyfit(t,y,8);,xi=linspace(0,16,160);,yi=polyval(a,xi);,plot(t,y,o,xi,yi, g),11,一般的曲线拟合：,p=lsqcurvefit(,Fun,p0,xdata,ydata),(xdata,ydata),是观测数据。对于这组观测数据我们选择了自认为是拟合效果比较好的函数形式,f(x),其中参数以字母表示，取值待定,.,我们把这个函数形式写入名为,Fun,的,M,文件,.,例如：对于上述观测数据所选择的拟合函数为,y=,a,e,-,b,x,+,c,e,-,d,x,编写,M,文件,ex.m,function y=ex(p, x),y=,p(1),*exp(,-p(2),*x)+,p(3),*exp(,-p(4),*x);,12,输入形参为,x ,在,lsqcurvefit,命令中,xdata,为实参。待定参数写为,p(1) , p(2) , ,，,p(n),此外，我们对待定参数应有一个大致的估计，体现在拟合命令,lsqcurvefit,中的初始向量,p0,中。,13,调用后返回的,p,就是按照最小二乘原则求得的待定参数。这时再把,p,的分量对位代入函数形式的相应位置，就得到了完整的拟合函数。,min,p, sum( fun(p,xdata) ydata ).2 ,lsqcurvefit(),命令的求解原理是,在所有可能的,参数,p,中挑选,使,sum,最小的,函数法则待定参数,p,观测到的函数值序列,观测到的,自变量序列,14,例如：,x=0:0.1:1;,y= 4.0000 2.8297 2.0183 1.4524 1.0550 0.7739,0.5733 0.4290 0.3242 0.2473 0.1903;,绘图认识观测数据体现的函数关系：,plot(x,y),15,选择了拟合函数的形式为,y=,a,e,-,b,x,+,c,e,-,d,x,1,、编写,M,文件,ex.m,function y=ex(p, x),y=p(1)*exp(-p(2)*x)+p(3)*exp(-p(4)*x);,2,、调用,p=,lsqcurvefit,(ex,1 2 1 4,x,y);,拟合函数为,y= p(1)*exp(-p(2)*x)+p(3)*exp(-p(4)*x),16,注：若要求算点,x,处的函数值可用程序,f=ex(p,x),计算。如,x=0:0.1:1; y=ex(p,x); plot(x,y),练习函数绘图,3,、评价拟合效果,plot(x,y, o)hlod onxi=,0:0.01:1;yi=ex(p,xi);plot(x,y),17,x=0 0.3142 0.6283 0.9425 1.2566 1.5708,1.8850 2.1991 2.5133 2.8274 3.1416;,y=0 1.6180 1.9021 0.6180 -1.1756 -2.0000,-1.1756 0.6180 1.9021 1.6180 0.0000;,三、范例课堂练习：对下述观测数据，给出拟合函数,提示：,1.,绘图估计解析关系,2.,建立解析关系的,M,文件,3.,调用,lsqcurvefit,命令,4.,针对解析关系绘图，与观测点对比，评价拟合函数优劣。,18,Malthus,模型中的,参数估计 为了让指数增长模型,较好地拟合美国人口统计数据。我们来讨论公式中的参数,2.,在工作区定义向量,.,t=0:1:21;,Matlab,的命令如下,1.,建立,M,文件,function x = renkou(p,t),x,=p(1)*exp(p(2)*t);,19,x=3.9 5.3 7.2 9.6 281.4;,20,3.,调用拟合函数,.,p=lsqcurvefit (,renkou,p0,t,x),结果为,p(1)=x0=14.9935 p(2)= r =,0.1422,r,是,10,年增长率,p0=3.9 0.2; %,x0,及,r,的估计,(,初始,),值。这是计算机数值解法的要求。,21,4.,图形观察拟合效果，以评价模型的准确性。,ti=0:0.1:21;,xi=renkou(p,ti),plot(t,x,+r,ti,xi,g),22,对于阻滞增长模型,估计参数 、 、,23,