D62二重积分计算

单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,四、二重积分的换元法,第二节,二、利用直角坐标计算二重积分,三、利用极坐标计算二重积分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二重积分的计算法,第六章,一、二重积分的几何意义,1,解法:,由二重积分的定义:,一、二重积分的几何意义,曲顶柱体的体积,给定曲顶柱体:,底：,xoy,面上的闭区域,D,顶:,连续曲面,侧面：,以,D,的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面,求其体积.,“大化小, 常代变, 近似和, 求 极限”,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2,1)“大化小”,用,任意,曲线网分,D,为,n,个区域,以它们为底把曲顶柱体分为,n,个,2)“常代变”,在每个,3)“近似和”,则,中,任取,一点,小曲顶柱体,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3,4)“取极限”,令,机动 目录 上页 下页 返回 结束,4,利用定积分曲顶柱体体积的计算：累次积分,设曲顶柱的底为,任取,平面,故曲顶柱体体积为,截面积为,截柱体的,机动 目录 上页 下页 返回 结束,5,同样, 曲顶柱的底为,则其体积可按如下两次积分计算,机动 目录 上页 下页 返回 结束,6,二、利用直角坐标计算二重积分,且在,D,上连续时,由曲顶柱体体积的计算可知,若,D,为,X ,型区域,则,若,D,为,Y ,型区域,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,7,当被积函数,均非负,在,D,上,变号,时,因此上面讨论的累次积分法仍然有效 .,由于,机动 目录 上页 下页 返回 结束,8,说明:,(1) 若积分区域既是,X,型区域又是,Y,型区域 ,为计算方便,可,选择积分序, 必要时还可以,交换积分序,.,则有,(2) 若积分域较复杂,可将它分成若干,X,-型域或,Y,-型域 ,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,9,例1.,计算,其中,D,是直线,y,1, x,2, 及,y,x,所围的闭区域.,解法1.,将,D,看作,X,型区域, 则,解法2.,将,D,看作,Y,型区域,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,10,例2.,计算,其中,D,是抛物线,所围成的闭区域.,解:,为计算简便, 先对,x,后对,y,积分,及直线,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,11,例3.,计算,其中,D,是直线,所围成的闭区域.,解:,由被积函数可知,因此取,D,为,X, 型域 :,先对,x,积分不行,说明:,有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,12,例4.,交换下列积分顺序,解:,积分域由两部分组成:,视为,Y,型区域 , 则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,13,对应有,三、利用极坐标计算二重积分,在极坐标系下, 用同心圆,r,=常数,则除包含边界点的小区域外,小区域的面积,在,内取点,及射线,=常数,分划区域,D,为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,14,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,15,设,则,特别, 对,机动 目录 上页 下页 返回 结束,16,若,f,1 则可求得,D,的面积,思考:,下列各图中域,D,分别与,x,y,轴相切于原点,试,答:,问,的变化范围是什么?,(1),(2),机动 目录 上页 下页 返回 结束,17,例6.,计算,其中,解:,在极坐标系下,原式,的原函数不是初等函数 ,故本题无法用直角,由于,故,坐标计算.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,18,注:,利用例6可得到一个在概率论与数理统计及工程上,非常有用的反常积分公式,事实上, 当,D,为 R,2,时,利用例6的结果, 得,故式成立 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,19,例7.,求球体,被圆柱面,所截得的(含在柱面内的)立体的体积.,解:,设,由对称性可知,机动 目录 上页 下页 返回 结束,20,定积分换元法,四、二重积分换元法,满足,一阶导数连续;,雅可比行列式,(3) 变换,则,定理:,变换:,是一一对应的 ,机动 目录 上页 下页 返回 结束,正则变换,21,分析:,根据定理条件可知变换,T,可逆.,用平行于坐标轴的,直线分割区域,任取其中一个小矩,形, 其顶点为,通过变换,T, 在,xoy,面上得到一个四边,形,其对应顶点为,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,22,同理得,当,h,k,充分小时,曲边四边形,M,1,M,2,M,3,M,4,近似于平行四,边形,故其面积近似为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,23,因此面积元素的关系为,从而得二重积分的换元公式:,例如,直角坐标转化为极坐标时,机动 目录 上页 下页 返回 结束,24,例8.,计算,其中,D,是,x,轴,y,轴和直线,所围成的闭域,.,解:,令,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,25,例9.,计算由,所围成的闭区域,D,的面积,S,.,解:,令,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,26,例10.,试计算椭球体,解:,由对称性,令,则,D,的原象为,的体积,V,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,27,内容小结,(1) 二重积分化为累次积分的方法,直角坐标系情形 :,若积分区域为,则,若积分区域为,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,28,则,(2) 一般换元公式,且,则,极坐标系情形:,若积分区域为,在变换,下,机动 目录 上页 下页 返回 结束,29,(3) 计算步骤及注意事项,画出积分域,选择坐标系,确定积分序,写出积分限,计算要简便,域边界应尽量多为坐标线,被积函数关于坐标变量易分离,积分域分块要少,累次积好算为妙,图示法,不等式,( 先积一条线, 后扫积分域 ),充分利用对称性,应用换元公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,30,