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,第七章,第 三节,估计量的评选标准,(13),二、有效性,三、相合性,一、无偏性,从上一节可知，对于同一未知参数，用不同的估计方法求出的估计量可能不相同，而用相同的估计方法得到的估计量也可能不同，也就是说，同一未知参数可能具有多种估计量，那么采用哪一个估计量为好呢？通常认为误差越小的估计量越好,.,由于待估参数是未知的，所以误差也是未知的.又由于所求的估计量与样本有关，所以估计量也是随机变量,因此在评价估计量的优劣时，应考虑估计量的整体性能.主要有以下三个方面：一是有无系统偏差；二是波动性的大小如何；三是随着样本容量的增大估计量是否越来越精确，这就是评价估计量优劣的无偏性，有效性和相合性三项标准,.,一、无偏性,则 是一个,而若 的数学期望恰等于其真值，,设 是未知参数 的估计量,我们总希望估计值在 的真值左,定义,1,:,设 是未知参数 的估计量,若 存,在,且对 有 ，,则称 是 的无偏估,称 具有无偏性,.,在科学技术中,称为以 作为 的,这就是所谓的无偏性,.,右摆动，,的估计值，,对于不同的样本值就会得到不同,随机变量，,估计量，,系统误差,.,无偏估计的实际意义就是无,估计的,系统误差,，,例,1,：,设总体,总是,特别,，不论 服从什么分布，只要 存在，,存,阶中心矩,的,计,.,的无偏估,总是,服从什么分布，,论,证明：不,的一个样本，,是 总体,在，,证明：,与,同分布，,的无偏估计,.,例,2：,设总体,且 ,若 均为未知，,则 的估,证明：,若在的两边同乘以 ，则所得到的估计,而 恰恰就是样本方差,.,即：,，,的数学期望和方差,是有偏的,.,计量,都存在，,量就是无偏了,.,而且,常用,偏的角度考虑，,比,可见,可以作为 的估计，,在实际应用中，无系统偏差只能对整个系统（整个实验）而言,.,就一次实验来讲，可能偏大也可能偏小，无系统偏差实质上并说明不了什么问题，只是平均来说它没有偏差,.,所以无偏性只有在大量的重复实验中才能体现出来；而另一方面，往往一个参数的无偏估计有多个，而仅由无偏性无法确定哪个估计量更好,.,从无,因此，,估计,.,是无偏,的估计量,.,作为方差,的估计好,.,作为,那么，究竟哪个无偏估计更好、更合理，这就看哪个估计量的观察值更接近真实值的附近，即估计量的观察值更密集的分布在真实值的附近,.,我们知道，方差是反映随机变量取值的分散程度,.,所以同一参数的不同无偏估计以方差较小者为更好、更合理,.,为此引入了估计量的有效性概念,.,例3,:,设 是总体 的一个样本,体 的数学期望 ,方差 ，,均值 与 均为 的无偏估计,.,为任意常数,.,总,其中,则样本,二、有效性,定义,2:,设 与 都是 的无偏估计量,意的样本 都有 ,例4,：,问例3中的 与 哪一个更有效？,解：,（许瓦兹不等式 ，,得,若对任,更有效。,则称,令,）,更有效。,例5,：,设 是来自总体 的一个样本，,服从 上的均匀分布,求 的矩估计量与,解,:,即： ，,极大似然估计,:,计量为,下面考虑上例两种估计方法的,优劣,：,极大似然估计量,.,由上一节知其极大似然估,令,矩估计,:,的分而函数,的密度函数,现在将极大似然估计量进行修正，,则,，,令,这里的,均为愿未知参数的无偏估计,我们再来比较它们谁更有效：,可见,即极大似然估计比矩估计要更加精确一些,.,三、相合性,关于无偏性和有效性是在样本容量固定的条件下提出的,.,我们不仅希望一个估计量是无偏的，而且是有效的，自然希望伴随样本容量的增大，估计值能稳定于待估参数的真值，为此引入一致性概念,.,定义,3,：,设 是 的估计量,若对 ，,则称 是 的相合性估计,计量（一致性估计量）,.,有,，,不过，一致性只有在 n 相当大时，才能显示其优越性，而在实际中，往往很难达到，因此，在实际工作中，关于估计量的选择要示具体问题而定,.,例如：,在任何分布中,是 的相合估计；,则是 的相合估计,.,而,
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