9-一阶电路和二阶电路

,单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第九章 一阶电路和二阶电路,重 点,1.,时间常数,的概念及物理意义,2.,三要素法分析一阶电路,3.,二阶零输入响应的三种情况,难 点,1.,电容电压、电感电流不连续的一阶电路,2.,一阶和二阶电路的阶跃响应概念及求解,9-1,动态电路的响应的分类,换路,:,电源的接入或断开、电路结构或元件参数的突然改变等引起电路的变化统称为“换路”。,对电路的分析往往以换路为计时起点，即令,t,0,时发生换路。换路前的一瞬时起为,t,0,，换路后的一瞬时记为,t,0,，并认为换路在,0,至,0,瞬间完成。,原始状态：,动态电路在,t,0,时的集合,u,C,(0,),、,i,L,(0,),初始状态：,动态电路在,t,0,时的集合,u,C,(0,),、,i,L,(0,),动态,电路,响应,零输入响应,电路在没有输入激励的情况下，仅由非零原始储能（即由,u,C,(0,),和,i,L,(0,),决定的电路中的储能）所引起的响应,电路在零状态下,即,u,C,(0,),0,、,i,L,(0,),0,，仅由输入激励引起的响应,零状态响应,一个非零状态的电路，由输入激励和非零原始储能共同产生的响应,全响应,对于线性动态电路而言，全响应等于零输入响应与零状态响应的叠加。,9-2,一阶电路的零输入响应,一、,RC,电路的零输入响应（,ZIR,）,只含有一个电容元件或一个电感元件，其余元件均为电阻元件、受控源的电路是零输入的一阶电路。,图示电路，,S,闭合前一瞬间的电容电压,u,C,(0,),U,0,，,S,闭合后电路中的响应是零输入响应。,电路方程,初始条件,解得,从图中可以看出，,u,C,和,i,都是从各自的初始值按相同的指数规律衰减，衰减的快慢取决于指数函数中 的大小。仅取决于电路的结构和元件的参数。,是一个衰减因子，,RC,具有时间的量纲。对于给定的,RC,电路，,R,和,C,的乘积是一个常量，称为,RC,电路的,时间常数,，用 表示，即,关于时间常数 的说明：,（,1,）时间常数是体现一阶电路惯性特性的参数，它只与电路的结构与参数有关，而与激励无关。,（,2,）对于含电容的一阶电路，,R,：由动态元件看进去的戴维宁等效电阻,（,3,） 的大小反映了一阶电路过渡过程的进展速度，是反映过渡特性的一个重要物理量， 越大，电惯性越大，相同初始值情况下，放电时间越长。,时，,时，,因此， 就是 衰减到 所需的时间。,理论上要经过无限长时间,u,C,才衰减至零，工程上一般认为换路后，经过 时间过渡过程结束。,t,0,u,C,U,0,0.368,U,0,0.135,U,0,0.05,U,0,0.0184,U,0,0.0068,U,0,（,4,）一阶电路微分方程的特征根为时间常数的倒数，它具有频率的量纲，称为“,固有频率,”。,例,9-2-1,图示电路，,t,0,时开关,S,断开，已知开关断开前电路已工作了很长时间，求换路后的响应,u,C,、,i,C,、,i,R,。,二、,RL,电路的零输入响应,电路方程,初始条件,解得,图示电路，,S,断开电路中的电流和电压已稳定，,S,断开前一瞬间的电感电流 。,S,断开后电路中的响应是零输入响应。,RL,电路的时间常数：,则有,三、一阶电路的零输入响应的结论,1.,求解,RC,电路和,RL,电路零输入响应的输入,输出方程是一阶齐次方程，方程的解的函数形式为 ，令特征根 ，则 是电路的时间常数，,RC,电路的时间常数 ，,RL,电路的时间常数 。因此，零输入响应亦为,（ 为响应的初始值）,2. RC,电路和,RL,电路中的零输入响应电压和零输入响应电流都以同一时间常数按指数规律变化。经过 以后，可认为响应已接近于零，过渡过程即告结束。,i,L,(0,+,)=,i,L,(0,),u,C,(0,+,) =,u,C,(0,),RC,电路,RL,电路,例,9-2-2,求图示电路换路后的响应 、 、 。,9-3,一阶电路的零状态响应,零状态响应（,ZSR,）：电路在零初始状态下（动态元件初始储能为零），由外施激励引起的响应。,一、电路方程,图（,a,）所示电路，已知 ，开关,S,闭合以后电路中的响应即为零状态响应。,(a),(b),解得,二、电路方程及解的一般形式,式中,r,为待求响应，,f,(,t,),为由激励决定的右端项，其函数形式取决于激励的函数形式。,特解 （取决于激励函数的形式）,通解 （当 时，衰减为零）,全解,由初始条件 解得,故方程的解为,r,f,强迫响应；,r,f,(0,+,),强迫响应的初值；,r,(0,+,),响应初值；,电路的时间常数。,上式为一阶电路的解得一般形式，是普遍适用的。,r,(0,+,),、,r,f,、,被称为一阶电路的解的三要素。,(1),RC,串联电路直流激励下,Uc,的响应,i,S(,t,=0),+,u,R,C,+,u,C,R,u,C,(0,)=0,+,U,S,r,(0+)=0,；,(,一,),直流激励的零状态响应,以电容开路，电感短路求,rf,，,rf,为常量。,且,rf(0+)=,rf,，故,(2),RL,串联电路直流激励下,I,L,的响应,(,二,),正弦激励的零状态响应,r,(0+)=0,；,以相量法求解,r,f,。,例,9-3-1,在（,a,）所示电路中， ，开关,S,在,t,0,时闭合，求闭合后电路中的电流,i,。,(a),(b),例,9-3-2,在图（,a,）所示电路中，已知 ，,的波形如图（,b,）所示，求 、 。,(a),(b),9-4,一阶电路的全响应,非零状态的电路 （ 、 ），在换路以后，由输入激励和非零原始储能共同产生的响应称为全响应。,对于线性电路，全响应为零输入响应和零状态响应之和。,对于,直流激励,的一阶动态电路，通常采用,三要素法,求解。,三要素法：,-,为时间常数,。,1,、三要素法的计算公式,-,为任意瞬时电路中的待求电压或电流；,-,为相应所求量的初始值；,-,为相应的稳态值；,1,）计算初始值,2,、三要素法的计算步骤,2,）计算稳态值,用断路代替电容，用短路代替电感。,3,）计算时间常数,电容串联,电容并联,电感串联,电感并联,4,）响应曲线,一阶动态电路响应的分类：,1,）零输入响应与零状态响应,零输入响应,零状态响应,2,）自然响应与强迫响应、暂态响应和稳态响应,强迫响应,稳态响应,自然响应,暂态响应,例题：已知,t, 0,+,时的,i,L,和,i,0,解：应用三要素法解题,（,1,）求初值,（,2,）求终值,（,3,）求,s,代入,得,例题：电路如图所示，电容上原来无储能,求,1,） 时,:,解：该电路的时间常数为,方法一：子区间三要素法,2,） 时,:,3,） 时,:,响应曲线：,以上解题中注意两个问题：,1,）用上一个分段区域求得的状态变量函数式计算下一个分段区域的初始值；,2,）对起始点不在计时零点区域的响应，在直接列写结果时应该将时间延迟加入计算式中。,方法二：叠加法,利用单位阶跃函数写出激励的表达式：,将各个部分响应叠加：,9-5,电容电压、电感电流,不连续的一阶电路,例,9-5-1,在图示电路中，,C,1,=2F,，,C,2,=1F,，,R,=5,，开关,S,在,t,= 0,时闭合，若,S,闭合前一瞬间 ，,，求,S,闭合后的电压,u,C1,、,i,1,、,i,2,、,i,R,。,例,9-5-2,图,示电路，,L,1,=1H,、,L,2,=2H,、,R,1,=,R,2,=3,，开关,S,在,t,= 0,时断开，若,S,断开前电路已处于稳定状态，求,S,断开后的电流,i,1,和电压,u,L1,、,u,L2,。,9-7,二阶电路的零输入响应,图示电路，开关,S,在,t,=0,瞬时闭合，已知 ，,。电路在,t,0,以后的响应是由换路前电容元件的储能引起的零输入响应。,电路方程,初始条件,特征方程,特征根,令,则,当 （即 ）时，,p,1,和,p,2,为不相等的负实,根，称为过阻尼情况；,当 （即 ）时，,p,1,和,p,2,为一对相等的负,实根，称为临界情况；,当 （即 ）时，,p,1,和,p,2,为一对共轭复,根，称为欠阻尼情况或振荡情况。,对于,RLC,串联电路，当,L,和,C,的值已经给定时，可称,为阻尼电阻。当,RLC,串联电路中的,R,大于、等于、小于,R,d,时，电路中的零输入响应将分别呈现过阻尼、临界阻尼、欠阻尼情况。,