弹性力学及有限元法弹性力学基础知识

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二章,弹性力学基础知识,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,弹性力学及有限元法弹性力学基础知识,2,学习目标,了解弹性力学的,基本假设,；,掌握弹性力学的,基本概念,；,掌握弹性力学问题的实质及其,基本方程,之间关系；,掌握边界上的,位移和应力边界条件,的建立，及圣,维南原理,的应用；,了解,虚位移原理,；,掌握,强度理论,选用原则。,3,由于,工程实际问题的复杂性,是由多方面因素构成的，如果不分主次地考虑所有因素，问题是十分复杂的，数学推导将困难重重，以至于不可能求解。,根据问题性质,建立力学模型,时，必须作出一些基本假设，忽略部分可以暂时不予考虑的因素，使研究的问题限制在一个,方便可行,的范围之内。,基本假设是,弹性力学讨论问题的基础,。超出基本假设的问题将由固体力学的其他分支来讨论，如非线性弹性力学，塑性力学，复合材料力学等。,基本假设的必要性,2.1,弹性力学基本假设,4,假设所研究的整个弹性体内部完全由组成物体的介质所充满，各个质点之间不存在任何空隙。,变形后仍然保持这种连续性。,根据这一假设，物体的所有物理量，例如位移、应变和应力等均成为物体所占空间的,连续函数,。,是宏观假设，微观上这个假设不可能成立。,固体材料都是由微粒组成,工程材料内部的缺陷,2.1,弹性力学基本假设,1.,连续性假设,5,假设弹性物体是由同一类型的均匀材料组成的。因此，物体各个部分的物理性质都是相同的，不随坐标位置的变化而改变。,物体的弹性性质处处都是相同的,。,根据这个假设，在处理问题时，可以取出物体的任意一个小部分讨论，然后将分析结果应用于整个物体。,工程材料，例如混凝土颗粒远远小于物体的的几何形状，并且在物体内部均匀分布，从宏观意义上讲，也可以视为均匀材料。,对于环氧树脂基碳纤维复合材料，不能处理为均匀材料,。,2.1,弹性力学基本假设,2.,均匀性假设,6,2.1,弹性力学基本假设,3.,各向同性假设,假定物体在各个不同的方向上具有相同的物理性质，这就是说,物体的弹性常数将不随坐标方向的改变而变化,。,对于由晶体构成的金属材料，由于单晶体是各向异性的，微观上显然不是各向同性的。但是由于晶体尺寸极小，而且排列是随机的，因此宏观上，材料性能是显示各向同性。,当然，像木材，竹材以及纤维增强材料等，属于各向异性材料。,7,2.1,弹性力学基本假设,4.,完全弹性假设,对应一定的温度，如果应力和应变之间存在一一对应关系，而且这个关系和时间无关，也和变形历史无关，称为完全弹性材料。,完全弹性分为线性和非线性弹性，这里弹性力学研究限于线性的应力与应变关系。,这就是说，,弹性力学问题研究在胡克定律成立的条件之下,。,完全弹性假设使,研究对象的材料弹性常数不随应力或应变的变化而改变。,8,2.1,弹性力学基本假设,5.,小变形假设,假设在外力或者其他外界因素（如温度等）的影响下，物体的变形与物体自身几何尺寸相比属于高阶小量。,在弹性体的平衡等问题讨论时，可以不考虑因变形所引起的尺寸变化。,忽略应变和应力等分量的高阶小量，使基本方程成为,线性,的代数方程和微分方程。,9,2.1,弹性力学基本假设,6.,无初应力假设,假设物体处于自然状态，即在外界因素,（如外力或温度变化等）,作用之前，物体内部没有应力。,弹性力学求解的应力仅仅是外力或温度改变而产生的。,10,2.1,弹性力学基本假设,弹性力学的基本假设，主要包括弹性体的连续性、均匀性、各向同性、完全弹性和小变形假设等。,这些假设都是关于材料变形的,宏观假设,。,弹性力学问题的讨论中，如果没有特别的提示，,均采用基本假设,。,这些基本假设被广泛的实验和工程实践,证实是可行的,。,11,2.2,弹性力学基本概念,外力（,Load),内力和应力（,Stress),位移（,Displacement,）,应变（,Strain),主应力（,principal stress,）和主平面（,principal plane),12,1,、,外力,(Load),外力分为：体积力,(Body Force),表面力,(Surface Force),体力,是作用于物体内部各个质点上的力,:,例如物体的重力，惯性力，电磁力等等 ；,面力,是作用于物体表面的作用力,:,例如风力，静水压力，物体之间的接触力等 ；,面力和体力大小用集度表示，即,分别为物体单位体积或者单位面积的载荷。,13,1.,体力矢量大小和方向？,2.,体力分量？,3.,量纲？,1,、,外力：体力,一般来讲，物体内部,各点处的体力是不相同,的。,14,1.,面力矢量大小和方向？,2.,面力分量？,3.,量纲？,1,、,外力：面力,面力是表面坐标的函数,。,一般条件下，面力边界条件是弹性力学问题求解的主要条件。,15,2,、内力与应力,1.,内力？,2.,应力矢量？,3.,应力矢量的特点？,受外力作用，物体内部各截面之间产生附加内力，假想用一截面截开物体，其中一部分对另一部分的作用，表现为内力，它们是分布在截面上分布力的合力。,为物体在该截面上,A,点的应力。,过,M,点取截面的一部分，面积为,S,，,作用于其上的内力为,F,，平均集度为,F/,S,，其极限,为,16,2,、内力与应力,1.,内力？,2.,应力矢量？,3.,应力矢量的特点？,应力矢量,P,n,的方向由内力矢量,F,确定，同时受,S,方位变化的影响。通常将应力沿截面的法线和切线方向分解为,:,正应力,n,切应力,n,应力必须说明其坐标和作用面的方位。,17,2,、内力与应力,1.,内力？,2.,应力矢量？,3.,应力矢量的特点？,应力分量,应,力不仅和点的位置有关，和截面的方位也有关，称为张量。,在任意坐标系都具有协变性的量就是张量,。,取一,点平行于坐标平面的单元体，各面上的应力沿坐标轴的分量称为应力分量。,x,y,z,o,18,2,、内力与应力,1.,内力？,2.,应力矢量？,3.,应力矢量的特点？,应力符号第一下标表示所在的平面，第二下标表示沿坐标轴的方向。,y,yx,yz,x,y,z,o,符号规定：,正面：,单元体面的外法线与坐标轴,同向,负面：,单元体面的外法线与坐标轴,反向,在正面上，应力分量与坐标轴同向为正，反向为负。在负面上相反。,19,图示单元体面为负面,在法线为,y,的负面上，正应力记为,沿,y,轴负向为正，切应力,yx,、,yz,，沿,x,轴、,z,轴的负向为正。,2,、内力与应力,1.,内力？,2.,应力矢量？,3.,应力矢量的特点？,x,y,z,o,20,2,、内力与应力,1.,内力？,2.,应力矢量？,3.,应力矢量的特点？,点的应力状态：,一点所有截面的应力矢量的集合,取一个微小的六面体：,独立应力分量：,21,正应力用字母,表示。为了表明这个正应力的作用面和作用方向，加上一个下标，例如：正应力,x,是作用在垂直于,x,轴的面上同时也沿着,x,轴方向作用的。,切应力用字母,表示，并加上两个下标，前一个下标表明作用面垂直于哪一个坐标轴，后一个下标表明作用方向沿着哪一个坐标轴。例如：切应力,xy,是作用在垂直于,x,轴的面上而沿着,y,轴方向作用的。,22,2,、内力与应力,例,1,矩形薄板，板上受面力 时， ；,时， ；试绘出面力的方向。,例,2,矩形薄板，板受面力如图示，试写出边界条件。,力的概念举例,23,2,、内力与应力,例,3,已知单元体各面上的应力分量，试在单元上标出方向与数值。,力的概念举例,24,3,、位移,1.,位移分量？,物体内部各点空间位置发生变化,M(x,y,z),M(x,y,z),位移：刚体位移,变形位移,点的位移矢量,:,位移是点的坐标的单值连续函数,25,4,、应 变,1.,正应变？,2.,切应变？,3.,如何表示？,应变,反映局部各点相对位置的变化，与,应力,直接相关。,棱边的伸长和缩短,棱边之间夹角变化,点的应变矢量,:,正应变,切应变,点的应变状态也是坐标的单值连续函数,26,O,点应力状态：,斜截面的法线方向余弦：,1,）任意斜截面上的应力,设,S,为,ABC,的面积，则,OBC=lS,OCA=mS,OAB=nS,设,h,为,O,点至斜面,ABC,的高，,ABC,的法线方向的单位矢量可表示为,：,N,=,l i,+,m j,+,n k,5.,主应力与主平面,27,5.,主应力与主平面,1,）任意斜截面上的应力,微四面体在应力矢量和体积力作用下满足平衡条件，由,x,方向的平衡可得：,对于微分四面体单元，,h,与单元体棱边相关，为趋近于零的极小量，因此,同理,28,5.,主应力与主平面,2,）,主平面、应力主方向与主应力,1,）,切应力为零的微分面称为主微分平面，简称,主平面,。,2,）,主平面的法线称为,应力主轴,或者称为,应力主方向,。,3,）主平面上的正应力称为,主应力,。,29,5.,主应力与主平面,2,）,主平面、应力主方向与主应力,设过点,O,与坐标轴倾斜的微分面,ABC,为主平面，其法线方向,N,的三个方向余弦分别为,l,，,m,，,n,，,微分面上的应力矢量,P,n,，,即主应力的三个分量为,p,x,p,y,p,z,。,根据主平面的定义，应力矢量,P,n,的方向应与法线方向,n,一致，设,P,n,为主应力，则应力矢量的三个分量与主应力的关系为,p,x,=,P,n,l,p,y,=,P,n,m,p,z,=,P,n,n,30,5.,主应力与主平面,2,）,主平面、应力主方向与主应力,p,x,=,P,n,l,p,y,=,P,n,m,p,z,=,P,n,n,方程组有,非零解的条件,求解主应力,31,5.,主应力与主平面,2,）,主平面、应力主方向与主应力,特征方程,应力张量元素构成的行列式 主对角线元素之和,应力张量第一不变量,行列式按主对角线展开的三个代数主子式之和,应力张量第二不变量,应力张量第三不变量,32,5.,主应力与主平面,2,）,主平面、应力主方向与主应力,求解主应力,说明：,1,、受外力处于平衡的结构内，任意点有三个主应力，且主平面相互垂直。,、主应力值和方向只取决于受力状态，与选取的坐标系无关。,、所有截面中，规定,解得的三个实数根即为三个主应力，将主应力代入方程组，可得三个主方向。,33,2.3,弹性力学基本方程,平衡微分方程,几何方程,变形协调方程,物理方程,34,1.,平衡微分方程,外力和应力关系,平衡,物体整体平衡，内部任意部分也是平衡的。,对于弹性体，必须讨论一点的平衡。,微分平行六面体单元,35,平衡微分方程解释,微小六面体边长,d,x, d,y, d,z,单元体的体力,X,Y,Z,应力分量是位置坐标的函数，所以,36,平衡微分方程示意图,37,平衡微分方程,静力平衡条件,平衡微分方程,Navier,方程,38,2,、几何方程,应变和位移关系,微六面体：,MA,=d,x,MB,=d,y,MC,=d,z,39,2,、几何方程,应变和位移关系,a,点的位移,b,点的位移,40,2,、几何方程,应变和位移关系,切应变与位移：,因此,41,2,、几何方程,应变和位移关系,空间几何方程：,由几何方程可知，已知位移函数,u,v,w,，则该点应变分量确定。 但是，应变分量确定，无法求出位移分量。,42,3,、变形协调方程,设,e,x,=3,x,e,y,=2,y,g,xy,=,xy,e,z,=,g,xz,=,g,yz,=0,求其位移。,显然该应变分量没有对应的位移。,要使这一方程组不矛盾，则六个应变分量必须满足一定的条件。以下我们将着手建立这一条件。,解：,43,变形协调方程,也称变形连续方程，或,相容方程,。描述六个应变分量之间所存在的关系式。,同一平面内,的正应变与切应变之间的关系（,3,个）：,从几何方程中消去位移分量，第一式和第二式分别对,y,和,x,求二阶偏导数，然后相加可得,3,、变形协调方程,44,不同平面,内的,正应变与切应变,之间的关系,(3,个）：,将几何方程的四，五，六式分别对,z,，,x,，,y,求一阶偏导数,前后两式相加并减去中间一式，则,3,、变形协调方程,对,x,求一阶偏导数，则,45,3,、变形协调方程,变形协调方程的数学意义,使,3,个位移为未知函数的六个几何方程不相矛盾,。,变形协调方程的物理意义,物体变形后每一单元体都发生形状改变，如变形不满足一定的关系，变形后的单元体将不能重新组合成连续体，其间将产生缝隙或嵌入现象。,为使变形后的物体保持连续体，应变分量必须满足的关系。,46,4,、物理方程,应变和应力关系,应力应变关系属于材料性能,称为,物理方程,或者,本构方程,单向拉伸或者扭转应力应变关系可以通过实验确定,单向拉伸实验可以测出弹性模量,E,薄壁管扭转实验可以测定剪切弹性模量,G,复杂应力状态难以直接通过实验确定,47,4,、物理方程,杆受拉沿受力方向引起伸长，同时垂直于力方向则引起缩短，实验证明，在弹性范围内有,泊松比，也称横向变形系数。,应变和应力关系,取一个单元体，在各正应力作用下，沿,x,轴方向的正应变：,),(,E,1,E,x,3,2,1,z,y,x,z,y,x,x,x,x,E,E,s,s,m,s,s,m,s,m,s,e,e,e,e,+,-,=,-,-,=,+,+,=,48,广义虎克定律,4,、物理方程,应变和应力关系,切应变,：,49,写成矩阵形式：,简记为,其中，,D,为弹性矩阵，它完全取决于弹性系数,E,和,。,4,、物理方程,应变和应力关系,50,弹性力学问题总结,位移,应变,和,应力,和,一、基本力学量：,51,弹性力学问题总结,二、基本方程和主要关系式：,1.,几何方程（空间弹性结构内任一点,P,的位移与应变的关系）,直角坐标,52,2.,平衡微分方程（应力和体力之间关系）,Navier,方程,53,3.,物理方程（,应力分量与应变分量；与材料的物理特性有关,）,54,4.,变形协调方程,（,描述六个应变分量之间所存在的关系式,）,55,2.4,边界条件,应力边界条件,位移边界条件,圣维南原理,56,边界条件,应力边界条件：结构在边界上所受的,面力,与,应力分量,之间的关系 。,由于物体表面受到表面力，如压力和接触力等的作用， 设单位面积上的面力分量为,F,s,x,、,F,s,y,和,F,s,z,，物体外表面法线,N,的方向余弦为,l,，,m,，,n,。参考应力矢量与应力分量的关系，可得,应力边界条件：,57,结构在边界上,位移,为位置坐标的已知函数。,结构在一部分边界上位移为位置坐标的已知函数，其它边界上所受的面力为已知函数，或者结构在边界上部分面力分量和位移分量为位置坐标的已知函数。,位移边界条件：,混合边界条件：,边界条件,58,例：如图重力水坝的截面，坐标轴为,Ox,和,Oy,，,OB,面上的面力为,，求,OB,面的应力边界条件。,OB,面的法线方向余弦：,由应力边界条件公式，有,所以，应力边界条件为：,O,B,x,y,边界条件,59,圣维南原理,如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但,静力等效,的面力（即主矢量相同、对同一点的主矩也相同），那么，近处的应力分布将有显著的改变，但远处所受的影响可以忽略不计。,60,圣维南局部影响原理也可以表述为：如果物体的任一部分作用一个平衡力系，则此平衡力系在物体内产生的应力分布，仅局限于该力系作用的局部区域，在离该区域比较远处，这种影响便急剧减少。,圣维南原理,61,2.5,虚位移原理（虚功原理）,虚位移,：假定的、在约束条件允许范围内，弹性体可能发生的、任意的、微小的位移，只说明位移产生的可能性，必须满足变形协调条件和几何边界条件。,变形势能,：,弹性体受力变形后，弹性体内部应力在其应变上所做的功。,虚位移原理,：若弹性体在已知的面力和体力的作用下处于平衡状态，那么使弹性体产生,虚位移,时，所有作用在弹性体上的,外力在虚位移上,所做的,虚功,等于弹性体所具有的,虚变形势能,。,62,外力虚功,： 体力,面力,弹性体的虚变形势能,：,虚功方程,：,虚位移原理解释,63,2.6,失效理论,(,强度理论,),一般应力状态下材料失效形式：,塑性屈服,脆性断裂,弹性力学,/,材料力学中，,常用强度条件为：,材料何时以何种形式失效，不仅与主应力的大小有关，而且与,3,个主应力的比值有密切关系。,假定无论何种应力状态下，材料只要发生相同形式的失效，其原因便是相同的。利用单向拉伸的试验结果，即可建立一般应力状态下的失效判据。,64,失效理论,关于断裂的强度理论,：,第一强度理论（最大拉应力理论）,当一个单元体的三个主应力的最大拉应力到达材料的拉应力极限时，材料发生破坏。,极限条件为：,实践证明，这个理论与脆性材料的拉断实验相符。,这个理论最大缺点是只考虑三个主应力中的一个，其它两个发生变化也不影响极限状态，因此，不够合理。,65,关于断裂的强度理论,：,第二强度理论（最大伸长线应变理论）,该理论认为最大线应变是引起材料断裂破坏的主要因素，破坏条件为：,由物理方程可得：,此理论可适用于脆性材料在双向拉伸,-,压缩应力状态下，当压应力超过拉应力时的情况。,失效理论,66,关于屈服的强度理论,：,第三强度理论（最大切应力理论）,当构件外载过大时，材料会沿最大切应力所在截面滑移，发生屈服破坏。,破坏条件为：,此理论能解释三向均匀受压时，材料承受高载不破坏，也能说明塑性材料在单向拉伸时沿与轴线成,45,度方向滑移的现象。,不足在于不能解释三向均匀受拉时，塑性材料也会发生脆性破坏的事实，也没有考虑中间应力的影响。,失效理论,67,关于屈服的强度理论,：,第四强度理论（畸变能密度理论）,当单元体的畸变能密度（形状改变比能）达到材料单向拉伸极限状态的比能时，材料开始破坏。（如三向均匀压缩）,可得强度条件：,失效理论,68,强度理论的使用,须视,材料和应力状态,而定。,脆性材料以断裂形式破坏，采用第一、第二强度理论。,塑性材料以屈服形式破坏，采用第三、第四强度理论。,但是，材料破坏形式与应力状态有关，无论脆性或塑性材料，在三向拉应力接近时，都以断裂形式破坏，应采用最大拉应力理论，在三向压应力接近时，都可以引起塑性变形，应采用第三或第四强度理论。,失效理论选用原则,69,弹性力学的基本方法,从取微元体入手，综合考虑静力（或运动）、几,何、物理三方面条件，得出其基本微分方程，再进行求解，最后利用边界条件确定解中的常数。,按照方程中保留的未知量，求解方法可分为：,应力法（以,应力,为未知量）,位移法（以,位移,为未知量）,混合法（同时以,应力和位移,为未知量）,精确解法：采用数学分析的手段求得精确解,近似解法：最有效的是基于能量原理的变分方法,数值方法：,有限元法，,有限差分法，边界元法等,70,习 题,1.1,什么叫做一点的应力状态？如何表示一点的应力状态,?,什么是主应力,?,什么是主切应力,?,它们的大小和方向如何确定,?,它们的关系如何,?,圣维南原理的内容是什么？如何理解？,1.5,在有限元分析中，强度理论如何选用？,71,72,谢谢观赏！,2020/11/5,73,