模块2 构件的基本变形分析

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,模块,2,构件的基本变形,分析,学习情境,1,变形体与杆件变形,学习情境,2,拉伸和压缩,学习情境,3,剪切、挤压和扭转,学习情境,4,直梁的弯曲,模块,2,构件的基,本变形,【,知识目标,】,了解变形固体的基本假设，理解杆件变形的基本形式；,掌握杆件在轴向拉伸与压缩变形时的内力（轴力）的求法、横截面上的应力及拉,(,压,),杆的变形计算，理解材料拉伸和压缩时的力学性能；,理解剪切及挤压概念、掌握剪切强度及挤压强度的实用计算方法；,建立圆轴扭转的概念，掌握扭矩、扭矩图、圆轴扭转时横截面上的应力和变形、强度条件及其应用；,建立平面弯曲的概念 、掌握剪力和弯矩的计算，掌握梁的强度条件及其应用，理解提高梁强度的主要措施。,模块,2,构件的基,本变形,【,技能目标,】,对构件进行拉伸与压缩变形分析与计算；,分析构件剪切与挤压变形，校核其剪切强度及挤压强度、设计截面等；,分析圆轴类构件的扭转，校核强度条件、设计截面等；,对梁的剪力和弯矩进行计算，校核强度条件，并采取措施提高梁的强度。,模块,2,构件的基,本变形,工程实际中的构件种类繁多，根据其几何形状，可以简化为四类：杆、板、壳、块 。本模块研究的主要对象是等截面直杆,(,简称等直杆,),。构件的安全可靠性与经济性是矛盾的。构件基本变形分析的内容就是在保证构件既安全可靠又经济的前提下，为构件选择合适的材料、确定合理的截面形状和尺寸，提供必要的理论基础和实用的计算方法。 为此，需要掌握变形体与杆件变形、拉伸和压缩、剪切、挤压和扭转、直梁的弯曲等知识，这就是本模块的学习内容。,学习情境,1,变形体与杆件变形,2.1.1,变形体及变形体的基本假设,在外力作用下，一切固体都将发生变形（尺寸和形状），故称为变形固体，简称变形体。,而构件一般均由固体材料制成，所以构件一般都是变形体。,由于变形体种类繁多，工程材料中有金属与合金，工业陶瓷，聚合物等，性质是多方面的，而且很复杂，因此在材料力学中通常省略一些次要因素，对其作下列假设：,(1),各向同性：物体各个方向的力学性能相同；,(2),均匀连续：物体内被同一种物质充满， 没有空隙；,(3),小变形：物体受到外力后产生的变形与物体的原始尺寸相比很小， 有时甚至可以忽略不计。,2.1.2,杆件变形,工程实际中的构件种类繁多，根据其几何形状，可以简化为四类：杆、板、壳、块。构件某一方向的尺寸远大于其他两个方向的尺寸时称为杆件，如图,2-1,所示。,杆件受力有各种情况，相应的变形就有各种形式。在工程结构中，杆件的基本变形有四种：拉伸和压缩变形、剪切变形、扭转变形、弯曲变形。杆件同时发生几种基本变形，称为组合变形。,学习情境,2,拉伸和压缩,2.2.1,拉伸与压缩的概念,工程实际中，有很多发生轴向拉伸和压缩变形的杆件，如联接钢板的螺栓（见图,2-2(,a,),），在钢板反力作用下，沿其轴向发生伸长（见图,2-2(b),），称为轴向拉伸；托架的撑杆,CD,（见图,2-3 (a),）在外力的作用下，沿其轴向发生缩短（见图,2-3(b),），称为轴向压缩。产生轴向拉伸（或压缩）变形的杆， 简称为拉（压）杆。,2.2.2,轴力与轴力图,1.,内力与截面法,杆件的内力指杆件受到外力作用时， 其内部产生的保持其形状和大小不变的反作用力。 该反作用力随外力的作用而产生， 随外力的消失而消失。 截面法是求杆件内力的方法。截面法求内力的步骤：,(1),作一假想截面把杆件切开成两部分（见图,2-4,（,a,）；,(2),留下其中的一部分， 并在切开处加上假设的内力（如图,2-4(b),或图,2-4(c),所示）；,(3),以该部分为研究对象列静力平衡方程， 求解未知的内力。,2.2.2,轴力与轴力图,2,轴力,为了对拉（压）杆进行强度计算，首先分析其内力。如图,2-5,所示，因拉（压）杆的外力均沿杆轴线方向，由其共线力系平衡条件可知，其任一截面内力,FN,的作用线也必通过杆轴线，这种内力称为轴力。常用符号,FN,表示。,2.2.2,轴力与轴力图,2,轴力,为了使取左段或取右段求得的同一截面上的轴力相一致，规定：,F,N,的方向离开截面为正,(,受拉,),指向截面为负,(,受压,),，如图,2-6,所示。,2.2.2,轴力与轴力图,3.,轴力图,用平行于杆轴线的,x,坐标表示横截面位置，用垂直于,x,的坐标,F,N,表示横截面轴力的大小，按选定的比例，把轴力表示在,x,-,F,N,坐标系中，描出的轴力随截面位置变化的曲线，称为轴力图。如图,2-7,所示。,【,例,2.1】,如图,2-8,所示，已知,F,1,=20KN,，,F,2,=8KN,，,F3=10KN,，试用截面法求图示杆件指定截面,1,1,、,2,2,、,3,3,的轴力,并画出轴力图。,解,外力,F,R,，,F,1,，,F,2,，,F,3,将杆件分为,AB,、,BC,和,CD,段，取每段左边为研究对象，求得各段轴力为：,F,N1,=F,2,=,8,KN,F,N2,=F,2,-,F,1,=-,12,KN,F,N3,=F,2,+,F,3,-F,1,=-,2,KN,各段受力分析及轴力图见图,2-9,。,2.2.3,轴向横截面上的应力与变形计算,1.,应力,内力在截面上的集度称为应力,(,垂直于杆横截面的应力称为正应力，平行于横截面的称为切应力,),。应力是判断杆件是否破坏的依据。单位是帕斯卡，简称帕，记作,Pa,，即,l,平方米的面积上作用,1,牛顿的力为,1,帕。,根据杆件变形的平面假设和材料均匀连续性假设可推断：轴力在横截面上的分布是均匀的，且方向垂直于横截面。即横截面上各点处的应力大小相等，方向沿杆轴线，垂直于横截面， 故为正应力。,2.2.3,轴向横截面上的应力与变形计算,1.,应力,如图,2-10,所示，横截面的正应力,计算公式为：,正应力的正负号规定与轴力相同，即拉应力为正，压应力为负。,【,例,2.2,】,图,2-11,所示插销拉杆，插销孔处横截面尺寸,b,=50 mm,，,h=,20mm,，,H,=60mm,，,F,=80,kN,，试求拉杆的最大应力。,解,(1),计算轴力。由截面法可求得杆内各横截面的轴力为,F,N,=,F,=80,kN,(2),计算最大应力。 由于整个杆件轴力相同，面积小的横截面应力最大， 即,正号表示最大应力为拉应力。,2.2.3,轴向横截面上的应力与变形计算,2,、拉,(,压,),杆的变形,轴向变形和横向变形统称为绝对变形。拉伸时轴向变形为正，横向变形为负；压缩时轴向变形为负，横向变形为正。,轴向变形、横向变形计算公式分别为,2.2.3,轴向横截面上的应力与变形计算,2,、拉,(,压,),杆的变形,英国科学家胡克通过实验，发表了力与变形的关系：当杆横截面上的正应力不超过某一限度时，杆的绝对变形与轴力,FN,、杆长成正比，与杆的横截面积,A,成反比，计算公式为,通过公式推导，可以得到计算公式为,【,例,2.3】,求如图,2-12(a),所示杆的总变形量。已知杆各段横截面面积为,A,CD,=200mm2,，,A,BC,=,A,AB,=500mm2,，,E,=200GPa,。,解,（,1,） 作轴力图。,用截面法求得,AB,段轴力,F,NAB,=20kN,，,BC,段和,CD,段轴力。画轴力图，如图,2-12(b),所示。,（,2,） 计算杆的总变形,l,。,由胡克定律可知，应先分别计算,AB,段、,BC,段、,CD,段的变形， 再求杆的总变形。,解,（,2,） 计算杆的总变形,l,。,2.2.4,材料拉伸和压缩时的力学性能,1,低碳钢拉伸和压缩时的力学性能,1,）低碳钢拉伸时的力学性能,低碳钢标准拉伸试件安装在拉伸试验机上，然后对试件缓慢施加拉伸载荷，直至把试件拉断，如图,2-13,所示。根据拉伸过程中试件承受的应力和产生的应变之间的关系，可以绘制出该低碳钢的曲线，如图,2-14,所示。,2.2.4,材料拉伸和压缩时的力学性能,1,低碳钢拉伸和压缩时的力学性能,2,）低碳钢压缩时的力学性能,低碳钢压缩时的,曲线如图,2-15,所示，与其拉伸时的,曲线（以虚线表示）相比，在弹性阶段和屈服阶段，两曲线是基本重合的。这说明压缩时的比例极限,P,、弹性极限,e,、 弹性模量,E,以及屈服极限,s,与拉伸时基本相同。,2.2.4,材料拉伸和压缩时的力学性能,2.,铸铁拉伸和压缩时的力学性能,1,）铸铁拉伸时的力学性能,铸铁是脆性材料的典型代表。如图,2-16,所示，,曲线没有明显的直线部分和屈服阶段，无缩颈现象而发生断裂破坏，塑性变形很小。,2.2.4,材料拉伸和压缩时的力学性能,2.,铸铁拉伸和压缩时的力学性能,2,）铸铁压缩时的力学性能,铸铁压缩时的,曲线如图,2-17,所示，与拉伸时的,相比，压缩时的,曲线也无明显直线部分和屈服阶段。说明压缩时在应力很小的条件下也是近似符合胡克定律的，且不存在屈服极限。,2.2.5,拉,(,压,),杆的强度计算,1.,极限应力与许用应力,极限应力是指材料丧失正常工作能力时的应力，用,0,表示。塑性变形是塑性材料破坏的标志，因而把屈服极限,s,作为塑性材料的极限应力。对于脆性材料，断裂是脆性材料破坏的惟一标志，因此，强度极限,b,是脆性材料的极限应力。,许用应力是指构件安全工作时材料允许承受的最大应力。构件的工作应力必须小于材料的极限应力。一般把极限应力除以大于,1,的系数,n,作为工作应力的最大允许值称为许用应力，用,表示 。,2.2.5,拉,(,压,),杆的强度计算,2.,轴向拉（压）时的强度计算,为了保证拉压杆具有足够的强度，必须使杆的最大工作应力小于或等于材料在拉伸（压缩）时的许用应力,， 即,该式称为拉（压）杆的强度条件。应用该条件式可以解决以下三类问题：校核强度 、设计截面 、确定许可载荷。,【,例,2.4】,某铣床工作台进给油缸如图,2-18,所示，缸内工作油压,p,2MPa,，油缸内径,D,75mm,，活塞杆直径,d,18,mm,，已知活塞杆材料的许用应力,50MPa,，试校核活塞杆的强度。,【,例,2.4】,解,（,1,）求活塞杆的轴力。设缸内受力面积为,A1,，则：,【,例,2.5】,气动夹具如图,2-19(a),所示。已知气缸内径,D,=140 mm,，缸内气压,P,=0.6,MPa,活塞杆材料为,20,钢，,=80MPa,，试设计活塞杆直径,d,。,解,活塞杆左端承受活塞上气体的压力，右端承受工件的阻力，所以活塞杆受到轴向拉伸，如图,2-19(b),所示。拉力,F,的值可由气体压强乘活塞的受压面积求得。在尚未确定活塞杆的横截面面积之前，当计算活塞的受压面积时，可暂将活塞杆横截面面积略去不计。故有,解,学习情境,3,剪切、挤压和扭转,2.3.1,剪切,1.,剪切的概念,当工作时，联接件的两侧面上作用大小相等、方向相反、作用线平行且相距很近的一对外力，两力作用线之间发生里相对错动，这种变形称为剪切变形，如图,2-20,所示。产生相对错动的截面称为剪切面。作用在剪切面上的内力称为剪力，用,Fs,表示。,2.3.1,剪切,2.,剪切的实用计算,工程中， 通常近似地认为剪切面上的切应力是均匀分布的，所以剪切面上的切应力计算公式为,剪切强度条件： 剪切应力不超过材料的许用切应力，即,2.3.2,挤压,1.,挤压的概念,构件在受到剪切作用的同时，往往还伴随着挤压作用。接触面上产生较大的压力，致使接触处的局部区域产生塑性变形，这种现象称为挤压。,工程中近似地把挤压面上的挤压应力也看成是均匀分布的。 挤压应力,jy,的计算公式为,挤压强度条件：挤压应力不超过材料的许用挤压应力,【,例,2.6】,如图,2-22,所示齿轮与轴通过,B,型普通平键联接。已知轴径,d,=70mm,，键的尺寸为,b,h,l,=20mm12 mm100 mm,， 传递转矩,T,=2,kNm,，材料许用应力,jy,=100MPa,，,=60,MPa,试校核此键联接。,解,(1),校核键联接的剪切强度。,解,(2),校核键联接的挤压强度。,故挤压强度够。,综上结果，此键联接强度足够。,2.3.3,扭转,1.,扭转的概念,变形特点：在杆件两端作用两个大小相等、方向相反，且垂直于杆件轴线的力偶；致使杆件的任意两个横截面产生绕杆件轴线的相对转动。这种变形称扭转变形。以扭转变形为主要变形的构件称为轴，受扭圆轴实例如图,2-23,所示。,2.3.3,扭转,1.,扭转的概念,变形量用扭转角,表示，如图,2-24,所示。,2.3.3,扭转,2,扭转内力,扭矩和扭矩图,1,）外力扭矩,在工程中，作用于圆轴上的外力偶矩一般不是直接给出的， 通常给出的是圆轴所需传递的功率和转速。外力偶矩计算公式为,2.3.3,扭转,2,扭转内力,扭矩和扭矩图,2,）扭矩,扭转时的内力称为扭矩。截面上的扭矩与作用在轴上的外力偶矩组成平衡力系。扭矩求解仍然使用截面法。如图,2-25,所示。,2.3.3,扭转,2,扭转内力,扭矩和扭矩图,2,）扭矩,扭矩符号用右手螺旋法则,:,指出截面外为正，指向截面内为负。如图,2-26,所示。,2.3.3,扭转,2,扭转内力,扭矩和扭矩图,3,）扭矩图,一般而言，圆轴上各横截面上的扭矩是不相同的。为了直观地表示圆轴上扭矩的作用情况，把圆轴的轴线作为,x,轴（横坐标轴）， 以纵坐标轴表示扭矩,T,，这种用来表示圆轴横截面上扭矩沿轴线方向变化情况的图形称为扭矩图。,【,例,2.7】,已知一传动轴如图,2-27(a),所示，主动轮,A,上输入功率为,15 kW,，,B,、,C,轮为输出轮，输出轮,B,上输出功率为,10 kW,， 轴的转速为,n,=1000 r/min,。试求各段轴横截面上的扭矩，并绘出扭矩图。,解,(1),计算外力偶矩,M,。,其中，,M,A,方向与轴的转向相同，,M,B,方向与轴的转向相反。,解,(2),计算扭矩,T,。,由图,2-27(b),可得,T,1,+,M,A,=0,T,1,= -,M,A,=-143.24Nm,由图,2-27(c),可得,T,2,+,M,A,-,M,B,=0,T,2,=,M,B,-,M,A,=-47.75Nm,(3),绘制扭矩图如图,2-27(d),所示。由图可知，,AB,段所承受的扭矩最大，其值为,-143.24,Nm,。,2.3.3,扭转,3.,圆轴扭转时的应力与强度条件,1,）圆轴扭转时横截面上的应力,在小变形的情况下，扭转时的变性特征的特点：各圆周线的形状大小及圆周线之间的距离均无变化；各圆周线绕轴线转动了不同的角度；所有纵向线仍近似地为直线，只是同时倾斜了同一角度,。 如图,2-29,所示。,2.3.3,扭转,3.,圆轴扭转时的应力与强度条件,2,）圆轴扭转时的强度条件,要综合考虑扭矩和抗扭截面系数,Wp,，按这两个因素来确定最大切应力。 对于等截面圆轴，圆轴扭转的强度条件计算公式为,【,例,2,10】,一阶梯圆轴如图,2-31(a),所示，轴上受到外力偶矩,M,1,=6,kNm,，,M,2,=4,kNm,，,M,3,=2kNm,，轴材料的许用切应力,=60,MPa,，试校核此轴的强度。,解,(1),绘制扭矩图如图,2-31(b),所示。 ,(2),校核,AB,段的强度。,解,(3),校核,BC,段的强度。,综合（,2,）、（,3,）可知，该轴强度足够。,2.3.3,扭转,4.,圆轴扭转变形与刚度计算,圆轴扭转时，任意两横截面产生相对角位移，称为扭角。扭角是扭转变形的变形度量。,圆轴扭转变形的刚度条件为：最大单位长度扭转角,max,不超过许用的单位长度扭转角,。精密机器的轴：,=0.25,0.50(/m),；一般传动轴：,=0.50,1.00(/m),；要求不高的轴：,=1.00,2.5(/m),。,【,例,2.11】,汽车传动轴输入的力偶矩,M,=1.5kNm,，直径,d,=75mm,，轴的许用扭转角,=0.50/m,，材料的切变模量,G,=80,GPa,，试校核此传动轴的刚度。,解,(1),计算扭矩,T,。,此传动轴横截面上的扭矩为,T=M,=1.5kNm,。,(2),计算极惯性矩,I,p,。,(3),校核轴的刚度。,所以，此传动轴刚度足够。,学习情境,4,直梁的弯曲,2.4.1,直梁平面弯曲的概念,作用于杆件上的外力垂直于杆件的轴线，使杆的轴线由直线变为曲线，这种变形称为弯曲变形。如图,2-32,所示。以弯曲变形为主的直杆称为直梁，简称梁。在计算简图中，通常以梁的轴线表示梁。,2.4.1,直梁平面弯曲的概念,梁的轴线和横截面的对称轴构成的平面称为纵向对称面，如图,2-33,所示。梁的外载荷都作用在纵向对称面内时，则梁的轴线在纵向对称面内弯曲成一条平面曲线，这种变形称为平面弯曲。它是最常见、最基本的弯曲变形。,2.4.1,直梁平面弯曲的概念,工程中，粱的结构形式很多，但按支座情况可以分为三种，如图,2-34,（,a,）所示 。,2.4.2,梁的弯曲内力,1.,梁的载荷的简化,作用在梁上的载荷，一般可以简化为三种形式,:,1),集中力,指通过一微小段梁作用在梁上的横向力只如图,2-35,所示的,F,。,2),集中力偶,指通过一微小段梁作用在梁轴平面内的外力偶，如图,2-35,所示的力偶,M,。,3),分布裁荷,在梁的部分长度或全部长度上连续分布的横向力。若均匀分布，则称为均布裁荷,用裁荷集度,q,来表示，单位为,N/m,，如图,2-35,所示的,q,。粱的自重等，就属此类。,2.4.2,梁的弯曲内力,2.,梁的弯曲内力,剪力和弯矩,求梁的内力的方法仍然是截面法。如图,2-36,所示的简支梁,AB,，在其上作用二集中力,F,1,、,F,2,，用截面法，假想地沿截面将梁截分为两段。取左段为研究对象，图,2-36(b),所示，可列平衡方程求得,剪力,FQ=FA-F1,弯矩,M=FAx-F1,（,x-a,）,当然，也可取右段为研究对象求得剪力和弯矩，如图,2-36,（,c,）所示。,2.4.2,梁的弯曲内力,2.,梁的弯曲内力,剪力和弯矩,为了使同一截面取左、右不同的两段时求得的剪力和弯矩符号相同，把剪力和弯矩的符号规定如图,2-37,所示。,【,例,2.12】,如图,2-38,所示，求简支梁,n,-,n,截面的弯矩。,解：取,n,-,n,截面得左段为研究对象，如图,2-38,（,b,）所示。列平衡方程求支反力,2.4.2,梁的弯曲内力,3.,弯矩图,工程中，梁横截面上的剪力和弯矩沿梁的轴线发生变化。若以横坐标,x,表示梁的横截面位置，则梁在各横截面上的剪力,FQ,和弯矩,M,可以写成,x,的函数：,F,Q,=,F,Q,(,x,),M=,M,(,x,),为了直观地反映梁上各横截面上弯矩的大小及变化规律，可根据弯矩方程,用横坐标,x,表示梁的横截面的位置,纵坐标分别表示剪力,FQ,和弯矩,M,的大小而画出的图形，分别称为剪力图和弯矩图。,2.4.2,梁的弯曲内力,3.,弯矩图,弯矩图的规律为：,梁受集中力或集中力偶作用时，弯矩图为直线，并且在集中力作用处，弯矩发生转折；在集中力偶作用处，弯矩发生突变，突变量为集中力偶的大小。,梁受到均布载荷作用时，弯矩图为抛物线，且抛物线的开口方向与均布载荷的方向一致。,梁的两端点若无集中力偶作用，则端点处的弯矩为,0,；若有集中力偶作用时，则弯矩为集中力偶的大小。,【,例,2.13】,如图,2-39,（,a,）所示简支梁,AB,在梁的全长受均布载荷,q,的作用,试画出梁的弯矩图。,解,（,1,）求支座反力 取整个梁为研究对象，由平衡方程求得反力为,2.4.3,弯曲时的强度计算,1.,弯曲时的强度条件,求出梁横截面上的剪力和弯矩后,为了解决梁的强度问题,必须进一步研究横截面上各点的应力分布情况。若梁横截面上只有弯矩而无剪力，则所产生的弯曲称为纯弯曲。,梁内危险截面上的最大弯曲正应力不超过材料的许用弯曲应力，计算公式为,【,例,2.16】,火车车箱轮轴受力如图,2-42(,a,),所示。已知,d,1=160mm,，,d,2=130mm,，,L,=1.58m,，,a,=0.267m,，,b,=0.16m,，,P,=62.5kN,=100MPa,，试校核该轴的强度。,解,(1,）画出轴的计算简图（如图,2-42,（,b,）所示）。,（,2,）求支座反力。,由于受力情况对称，两支座反力必然相等，即,N,A,=,N,B,=62.5kN,（,3,）作弯矩图。,M,C,=0,，,M,D,=0,M,A,=-,Pa,=-62.51030.267=-16.7kN,m,M,B,=-,Pa,=-16.7kN,m,作弯矩图如图,2-42(c),所示。,【,例,2.16】,解（,4,）强度校核。,AB,段有,M,max,，则,另外，在车轴外伸端与车轮接触处，因车轴直径较小（,d,2=13cm,），也可能是危险截面，必须校核。此处弯矩为,=,Pb,=62.51030.16=10kNm,。,故此车轴是安全的。,2.4.3,弯曲时的强度计算,2.,提高梁强度的主要措施,1,）降低最大弯矩,Mmax,数值,（,1,）合理安排梁的支承。如图,2-43,所示,2.4.3,弯曲时的强度计算,2.,提高梁强度的主要措施,1,）降低最大弯矩,Mmax,数值,（,2,）合理安排载荷如图,2-45,所示,2.4.3,弯曲时的强度计算,2.,提高梁强度的主要措施,2),合理选择梁的截面,合理的截面应该是,:,用最小的截面面积（即用材料少），得到大的抗弯截面模量,Wz,。如图,2-46,（,a,）所示）抗弯截面模量大，承载能力强。,2.4.3,弯曲时的强度计算,2.,提高梁强度的主要措施,3,）采用变截面梁。如图,2-47,所示的钻床的横梁和阶梯轴等。,2.4.4,梁弯曲时的刚度条件,根据工程实际的需要，梁的最大挠度和最大转角不超过某一规定值。由此梁的刚度条件为,如图,2-48,所示，挠曲线为,AB,1,。,结束,