有限差分法的基本知识

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,8.1,预备知识,三类典型的偏微分方程,一根紧拉着的均匀柔软弦，长为,l,，两端固定在,X,轴上,O,、,L,两点，当它在平衡位置附近做垂直于,OL,方向的微小横向振动时，求这根弦上各点的运动规律。,O,L,x,y,8.1.1,波动方程,一维波动方程,最典型的一维波动问题是均匀弦的横向振动问题。,讨论如何将这一物理问题转化为数学上的定解问题。要确定弦的运动方程，需要明确：,确定弦的运动方程,（,2,）被研究的物理量遵循哪些物理定理？牛顿第二定律,.,（,3,）按物理定理写出数学物理方程（即建立泛定方程）,要研究的物理量是什么？,弦沿垂直方向的位移,条件：均匀柔软的细弦，在平衡位置附近产生振幅极小的,横振动。不受外力影响。,研究对象：,线上某点在,t,时刻沿垂直方向的位移。,简化假设：,由于弦是柔软的，弦上的任意一点的张力沿弦的切线方向。,在弦上任取一小段 它的弧长为：,由于假定弦在平衡位置附近做微小振动， 很小，从而,可以认为这段弦在振动中没有伸长，由胡克定律可知，弦上每一点所受张力在运动过程中保持不变，与时间无关。即 点处的张力记为 。,由于振幅极小， 张力与水平方向的夹角很小。,横向：,其中：,作用在这段弦上的力有张力和惯性力，下面根据牛顿运动定律，写出它们的表达式和平衡条件。,也就是说，张力,是一个常数。,横向：,由中值定理：,纵向：,一维波动方程,令：,-,非齐次方程,自由项,-,齐次方程,忽略重力作用：,a,就是弦的振动传播速度,假设外力在 处外力密度为： 方向垂直于 轴。,等号两边用中值定理：并令,为单位质量在 点处所受外力。,当存在外力作用时：,等号两边除以,弦振动方程中只含有两个自变量： 。由于它描写的是弦的振动，因而它又称为一维波动方程。类似可以导出二维波动方程（如膜振动）和三维波动方程，它们的形式分别为：,二维波动方程：,三维波动方程：,建立数学物理方程是一个辩证分析的过程。,由于客观事物的复杂性，要求对所研究的对象,能够抓住事物发展的主要因素，摈弃次要因素，,使问题得到适度的简化。,均匀杆的纵振动,考虑一均匀细杆，沿杆长方向作微小振动。假设在垂直杆长方向的任一截面上各点的振动情况,(,即偏移平衡位置位移,),完全相同。试写出杆的振动方程。,在任一时刻,t,，此截面相对于平衡位置的位移为,u(x, t),。,在杆中隔离出一小段,(,x, x,+ d,x,),，分析受力：,通过截面,x,，受到弹性力,P(x,t)S,的作用,通过截面,x + dx,受到弹性力,P(x + dx, t)S,的作用,P(x, t),为单位面积所受的弹性力,(,应力,),，沿,x,方向为正,根据,Newton,第二定律，就得到：,根据胡克定律,静止空气中一维微小压力波的传播,设,为空气的密度，,u,为压力诱导的速度，由一维欧拉方程：,动力学方程,连续性方程,物态方程,考虑到微小压力波，,u,是一阶小量， 是二阶小量,代入,得,对,t,求导，得,利用,得,一维声波方程。,静止空气中三维声波方程,微幅水波动方程,式中：,水面波高为,为声波速度,水波速度为,双曲型,方程,8.1.2,扩散方程（抛物型方程）,问题：一根长为,l,的均匀导热细杆，截面为一个单位面积。侧面绝热，内部无热源。其热传导系数为,k,，比热为,c,，线密度为,。求杆内温度变化的规律。,A,B,一维热传导方程的推导,热传导现象：当导热介质中各点的温度分布不均匀时，有,热量从高温处流向低温处。,所要研究的物理量：,分析：设杆长方向为,x,轴，考虑杆上从,到,的一段,(,代表,),，,设杆中温度分布为,满足,的物理规律：,均匀物体：,物体的密度为常数,各向同性：,物体的比热和热传导系数均为常数,假设,条件：,利用,Fourier,热力学定律和能量守恒定律来建立热传导方程。,由,Fourier,热力学定律，单位时间内通过,A,端面的热量为：,单位时间内通过,B,端面的热量为：,在,dt,时段内通过微元的两端流入的热量,在任意时段,内，,同时在此时段内,微元内各点的温度由,流入微元的热量,升高为,为此所需的热量为,由能量守恒定律可得：,由,和,的任意性可得,即：,其中,内部有热源的情况：,其中,分析：设热源强度,(,单位时间在单位长度中产生的热量,),为,F,(,x,t,),，代表段的吸热为,Fdxdt,。,根据热学中的傅立叶定律,在,d,t,时间内从,d,S,流入,V,的热量为：,从时刻,t,1,到,t,2,通过,S,流入,V,的热量为,高斯公式（矢量散度的体积分等于该矢量的沿着该体积的面积分）,热场,三维热传导方程的推导,流入的热量导致,V,内的温度发生变化,流入的热量：,温度发生变化需要的热量为：,三维热传导方程,热场,有热源三维热传导方程,一维浓度扩散方程,动量输运方程,C,为物质浓度，,为扩散系数。,u,为速度，,f,x,为流体体积力，,为流体粘性系数。,显然，热传导、物质扩散、动量输运这些过程属于同一类物理现象，可用同一类型方程来描述。,抛物型,方程,8.1.3,稳态方程,(,调和方程,),稳态问题也是自然界中普遍存在的一类物理现象，表征物理过程达到平衡状态的情况，因此物理量不随时间变化，但随空间发生变化。因此，稳态问题描述物理量的空间分布状态或场的空间分布。,热传导问题，控制方程为：,设场内热源为稳态的，即为,f(x, y, z),流场温度不随时间变化，即,T=T( x, y, z ),则有,这就是稳态方程，称为泊松方程。,如果场内无热源，,g( x,y,z,t )=0,，则有：,这个方程又称为拉普拉斯方程。,其中：,又如在理想势流场中，存在速度势, (,x, y, z,),，速度与, (,x, y, z,),的关系为：,带入连续方程中,由上所述，泊松方程或拉普拉斯方程是表征稳态问题的控制方程。,得,椭圆型,方程,三类典型的偏微分方程,振动与波（振动波，电磁波）传播满足波动方程（双曲型）,热传导问题和扩散问题满足热传导方程（抛物型）,静电场和引力势满足拉普拉斯方程或泊松方程（椭圆型方程）,8.1.3,有限差分法的基本知识,1,、差分方程,2,、截断误差,3,、收敛性,4,、稳定性,8.1.3,差分方程,有限差分法和有限元法是解偏微分方程的两种主要的数值方法。由于数字电子计算机只能存储有限个数据和作有限次运算，所以任何一种适用于计算机解题的方法，都必须把连续问题离散化，最终化成有限形式的代数方程组。,有限差分法求解偏微分方程的基本过程是：首先将求解区域划分为差分网格，用有限个网格点代替连续的求解域，将待求解的变量（如密度、速度等）存储在各网格点上，并将偏微分方程中的微分项用相应的差商代替，从而将偏微分方程转化为代数形式的差分方程，得到含有离散点上的有限个未知变量的差分方程组。求出该差分方程组的解，也就得到了网格点上流动变量的数值解。,差分法概述,模型方程,为了抓住问题的实质，同时又不使讨论的问题过于复杂，常用一些简单的方程来阐明关于一些离散方法的概念。这些方程就叫做模型方程。常用的模型方程：,对流方程：,对流扩散方程：,热传导方程：,Poisson,方程：,Laplace,方程：,模型方程,模型方程,1,区域的剖分,(,区域的离散化）,x,t,0,离散网格点,高等数学中，我们学习过,Taylor,公式：,2,微分方程离散,(,差分方程）,高等数学中，我们学习过,Green,公式：,2,积分插值法,o,H,x,t,E,F,G,L1,L2,L3,L4,o,x,t,j-1,j,j+1,n-1,n,n+1,E,F,G,H,o,x,t,j-1,j,j+1,n,n+1,E,F,G,H,),1,1,(,),1,1,(,),1,(,),1,(,-,+,+,+,+,-,j,n,j,n,j,n,j,n,H,G,F,E,依次为,，在网格中，点,现在换一种方式，如图,差分方程的建立过程,以对流方程说明差分方程的建立过程。,1.,划分网格,选定步长 和 ，然后在坐标平面用平行于坐标轴的两族直线划分网格：,2.,针对某一点，用差商近似代替导数,对流方程在 点为,差分方程的建立过程,时间导数用一阶向前差商近似代替：,空间导数用一阶中心差商近似代替：,则对流方程在 点对应的差分方程为,差分方程和其,定解条件,一起，称为相应微分方程,问题的差分格式。上述初值问题的差分格式可改写为：,观察上述差分格式可看出：若知道第 层的 ，可,由一个差分式子直接算出第 层的 ，故称这类格式,为显示格式。,显式有限差分模板：,时间推进：,例 考虑长度为,1,的均匀直杆，其表面是绝热的，而且杆截面足够细，可,以把断面上的所有点的温度看成是相同的。 轴取为沿,杆轴方向， 对应杆的端点，则杆内温度分布,随时间变化由下面的扩散方程来描述：,时间导数用一阶向前差商近似代替：,空间导数用二阶中心差商近似代替：,取 ，则最终的差分方程：,显式有限差分模板：,0.0,0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,1.0,0.0,0.5,1.0,1.5,2.0,2.5,3.0,100,100,0,0,0,0,0,0,0,0,0,100,100,100,100,100,100,100,100,100,100,100,100,50,50,62.5,62.5,68.8,68.8,0,25,25,37.5,37.5,45.3,0,0,12.5,12.5,21.9,21.9,0,0,0,6.25,6.25,14.1,0,0,0,0,6.25,6.25,0,0,0,6.25,6.25,14.1,0,0,12.5,12.5,21.9,21.9,0,25,25,37.5,37.5,45.3,50,50,62.5,62.5,68.8,68.8,如仍取 而为缩短计算时间，时间步长 取 ，则最终的差分方程：,0.0,0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,1.0,0.0,0.5,1.0,1.5,100,100,0,0,0,0,0,0,0,0,0,100,100,100,100,100,100,100,0,200,0,100,-100,0,0,100,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,100,0,100,-100,100,0,200,8.1.4,截断误差,上例中，令 表示差分方程的精确解利用,Taylor,级数将,上式中邻近节点的解在,(i,，,n),点展开，整理并略去上标后可得,上式就是与差分方程等价的微分方程式。一般地说，任何一个微,分方程的差分方程,其差商都可以用,Taylor,级数表示，这样都可,以得到一个与差分方程对应的新的微分方程，该微分方程称为差,分方程的修正方程式。,8.1.5,相容性,上式中的 就是差分方程与微分方程的差别，称之为,截断误,差,。显然 与 、 成正比，一般情况下，当步长趋向零时,有限差分方程的截断误差是趋向于零的，则称有限差分方程与相应的偏微分方程是,相容,的。,一个可用的偏微分方程的差分表达式必须是相容的。否则在,、 趋近零时，差分方程不能趋于原微分方程，差分方程的解就不能代表微分方程的解，差分求解就失去了意义,!,8.1.6,收敛性,一个差分格式能否在实际中使用，最终要看能否任意地逼近微分方程的解。这样对于每一个差分格式，人们便从两个方面加以考虑：一是引入收敛性的概念，考察差分格式在理论上的准确解能否任意逼近微分方程的解；二是引入稳定性的概念，考察差分格式在实际计算中的近似解能否任意逼近差分方程的解。,8.1.7,稳定性,